2019-2020学年人教A版数学必修第一册课件：5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切

cos(α＋β)＝－ 1－sin2（α＋β） ＝－ 1－－352＝－45. 所以 cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＝－45×1123－－35×153＝－3635， cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝－45×1123＋－35×153＝－6635.
.
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【解】 (1)cos 105°＝cos(60°＋45°)
＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°
＝1× 2－ 3× 2＝ 22 2 2
2－ 4
6 .
(2)tan
75°＝tan
(45°＋30°)＝1t－anta4n5°45＋°ttaann3300°°＝11＋ －
tan α－tan β __1_＋__ta_n__α_t_a_n_β____
简记符号 条件
T(α＋β)
α，β，α＋β≠ kπ＋π2(k∈Z)
T(α－β)
α，β，α－β≠ kπ＋π2(k∈Z)
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■名师点拨 公式的记忆方法
(1)理顺公式间的联系． C(α＋β)←以－―β代→β C(α－β)←诱导―公→式 S(α－β)←以－―β代→β S(α＋β) (2)注意公式的结构特征和符号规律． 对于公式 C(α－β)，C(α＋β)，可记为“同名相乘，符号反”． 对于公式 S(α－β)，S(α＋β)，可记为“异名相乘，符号同”． (3)两角和与差的正切公式中，α，β，α＋β，α－β 均不等于 kπ ＋π2(k∈Z)，这是由正切函数的定义域决定的．
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判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意的．( √ ) (2)存在 α，β∈R，使得 sin(α－β)＝sin α－sin β 成立．( √ ) (3)对于任意 α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β 都不成立．( × ) (4)存在 α，β∈R，使 tan(α＋β)＝tan α＋tan β 成立．( √ ) (5)对任意 α，β∈R，tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ都成立．( × )
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求下列各式的值．
(1)sin
105°；(2)tan
165°；(3)sin
47°－sin 17°cos sin 73°
30° .
解：(1)sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋
cos 45°·sin 60°＝ 22×12＋ 22× 23＝
解决给值求角(值)问题的常用策略 (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和 与差，再根据公式求解． (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的 取值范围确定该角的大小．
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若 sin π4－α＝－12，sin π4＋β＝ 23，其中π4 <α<π2，π4<β<π2，求 α＋β 的值． 解：因为π4<α<π2，π4<β<π2， 所以－π4<π4－α<0，π2<π4＋β<34π. 所以 cos π4－α＝ 1－sin2πα＝ 23， cos π4＋β＝－ 1－sin2π4＋β＝－12，
1．已知 cos α＝－45，且 α∈π2，π，则 tanπ4－α＝(
)
A．－17
B．－7
C．17
D．7
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解析：选 D.由 cos α＝－45，且 α∈π2，π，得 sin α＝35，所以
tan
α＝csoins
α＝－3， α4
所以 tanπ4－α＝1t＋antaπ4n－π4ttaannαα＝1－1－－3434＝7.故选 D.
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解决给角求值问题的方法 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后 局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形， 否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正 负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时 要逆用或变用公式．
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(变问法)若本例的条件不变，求 sin 2α 的值． 解：由本例解析可知 sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝ 5 ×－4＋12×－3
13 5 13 5 ＝－5665.
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给值求角(值) 已知 tan α＝2，tan β＝－13，其中 0＜α＜π2，π2＜β＜π. (1)求 tan(α－β)； (2)求 α＋β 的值． 【解】 (1)因为 tan α＝2，tan β＝－13， 所以 tan(α－β)＝1t＋antaαn－αttaannββ＝21＋ －1323＝7.
第三十页，编辑于星期六：二十三点 二十分。
所以 cos (α＋β)＝cos π4＋β－π4－α
＝cos π4＋β·cos π4－α
＋sin π4＋βsin π4－α
＝－12× 23＋
23×－12＝－
3 2.
又因为π2<α＋β<π，
所以 α＋β＝56π.
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1．(2019·北京清华附中月考)若 tan α＝3，tan β＝43，则 tan(α－β)
题
核心素养 逻辑推理
数学运算、 逻辑推理
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问题导学 预习教材 P217－P220，并思考以下问题： 1．两角和的余弦公式是什么？与两角差的余弦公式有什么不 同？ 2．两角和与差的正弦、正切公式是什么？
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两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式
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(1)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝35×2 5 5－45× 55＝2255. (2)tan α＝csions αα＝2， tan β＝csions ββ＝43. 所以 tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ＝－2.
等于( )
A．3
B．－3
C．13
D．－13
解析：选 C.tan(α－β)＝1t＋antaαn－αttaannββ＝1＋3－343×43＝13.
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2．函数 y＝sin2x＋π4＋sin2x－π4的最小值为(
)
A． 2
B．－2
C．－ 2
D． 3
解析：选 C.因为 y＝sin2x＋π4＋sin2x－π4＝sin 2xcosπ4＋ cos 2x·sinπ4＋sin 2xcosπ4－cos 2xsinπ4＝ 2sin 2x，所以所求函数 的最小值为－ 2.
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2．已知 α∈π2，π，sin α＋π4＝35，则 sin α＝(
)
A．
2 10
B．7102
C．－102或7102
D．－7102
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解析：选 B.由已知，可得34π<α＋π4<54π，cos α＋π4＝－45，
所以 sin α＝sin
(3)
sin 73°
＝sin（17°＋30°co）s 1－7°sin 17°cos 30°＝
sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30° cos 17°
＝cos
17°sin 30° cos 17°
＝sin 30°＝12.
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给值(式)求值的解题策略 (1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知 角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知 角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已 知角”．
第二十页，编辑于星期六：二十三点 二十分。
)
A.7 5 2
B.
2 5
7
4
C.5
D.3
答案：A
sin 75°＝________，tan 1π2＝________．
答案：
6＋ 4
2
2－ 3
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给角求值
求值：(1)cos 105°；
(2)tan 75°；
sin 50°－sin 20°cos 30°
(3)
cos 20°
给值求值 已知π2＜β＜α＜34π，cos(α－β)＝1123，sin(α＋β)＝－35，求 cos 2α 与 cos 2β 的值． 【解】 因为π2＜β＜α＜34π， 所以 0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜32π. 所以 sin(α－β)＝ 1－cos2（α－β） ＝ 1－11232＝153，
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3 3
3 3
＝33－＋ 33＝12＋66 3＝2＋ 3.
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(3)原式＝sin（20°＋30°co）s 2－0°sin 20°cos 30°＝ sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30°－sin 20°cos 30°
cos 20° ＝cos 2c0o°s 2s0in°30°＝sin 30°＝12.
名称
公式
简记符号 条件
两角和 的余弦 两角和 的正弦
cos(α＋β)＝ ___c_os__α_c_o_s_β_－__s_in__α_s_in__β___
sin(α＋β)＝ __s_in__α_c_o_s_β_＋__c_o_s_α_s_i_n_β____
C(α＋β)
S(α＋β)
α，β∈R
两角差 的正弦
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已知
tan
α＝2，则
tanα＋π4
＝(
)
A．－3
B．3
C．－4 答案：A
D．4
cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°的值等于( )
A．12 C．0 答案：C
B．－12 D．1
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设 α∈0，π2，若 sin α＝35，则 2sinα＋π4等于(
α＋π4 －π4
＝sin
α＋π4cos
π4－cos
α＋π4
·
sin
π＝ 4
22×35＋45＝7102.
故选 B.
第二十四页，编辑于星期六：二十三点 二十分。
3．已知 cos α＝ 55，cos β＝35，其中 α，β 都是锐角．求： (1)sin(α－β)的值； (2)tan(α＋β)的值． 解：因为 cos α＝ 55，cos β＝35且 α、β 都是锐角． 所以 sin α＝ 1－cos2 α＝255， sin β＝ 1－cos2 β＝45.
sin(α－β)＝ ___si_n__α_c_o_s _β_－__c_o_s_α_s_in__β___
S(α－β)
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名称 两角和 的正切
两角差 的正切
公式
tan(α＋β)＝
tan α＋tan β __1_－__t_a_n_α_t_a_n__β___
tan(α－β)＝
第二十七页，编辑于星期六：二十三点 二十分。
(2)因为 tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ＝21－ ＋1323＝1，
又因为 0＜α＜π2，π2＜β＜π，所以π2＜α＋β＜32π，在π2与32π之间，
只有5π的正切值等于 4
1.所以
α＋β＝54π.
第二十八页，编辑于星期六：二十三点 二十分。
6＋ 4
2 .
第十四页，编辑于星期六：二十三点 二十分。
(2)tan 165°＝tan(180°－15°)＝－tan 15°＝－tan(45°－
30°)
＝－1t＋anta4n5°45－°ttaann3300°°
1－ ＝－
3 3＝
3－2.
1＋
3 3
第十五页，编辑于星期六：二十三点 二十分。
sin 47°－sin 17°cos 30°
第五章 三角函数
第 2 课时 两角和与差的正弦、 余弦、正切公式
第一页，编辑于星期六：二十三点 二十分。
第五章 三角函数
考点
学习目标
理解两角和与差的正 两角和与差的正弦、余
弦、余弦、正切公式的 弦、正切公式
推导过程
能够运用两角和与差
两角和与差的正弦、余 的正弦、余弦、正切公
弦、正切公式的应用 式解决求值、化简等问