高中数学第三章变化率与导数32导数的概念及其几何意义北师大版1-1!

3.2 导数的概念及其几何意义
学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.
知识点一 导数的概念
思考1 平均变化率与瞬时变化率有何区别、联系？
答案 平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；当Δx 趋于0时，平均变化率Δy
Δx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处
的瞬时变化率，它是一个固定值. 梳理
知识点二 导数的几何意义
如图，P n 的坐标为(x n ，f (x n ))(n ＝1，2，3，4，…)，P 的坐标为(x 0，y 0)，直线PT 为过点P 的切线.
思考1 割线PP n 的斜率k n 是多少？ 答案 割线PP n 的斜率k n ＝
f x n －f x 0
x n －x 0
.
思考2 当点P n 无限趋近于点P 时，割线PP n 的斜率k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ 答案 k n 无限趋近于切线PT 的斜率k .
梳理 (1)切线的定义：当P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线.
(2)导数f ′(x 0)的几何意义：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝lim Δx →0
f x 0＋Δx －f x 0
Δx
＝f ′(x 0).
(3)切线方程：曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0).
类型一 利用定义求导数
例1 求函数f (x )＝3x 2
－2x 在x ＝1处的导数. 解 ∵Δy ＝3(1＋Δx )2
－2(1＋Δx )－(3³12
－2³1) ＝3(Δx )2
＋4Δx ，
∴Δy Δx ＝3 Δx 2
＋4Δx Δx ＝3Δx ＋4， ∴f ′(1)＝lim Δx →0 Δy
Δx ＝lim Δx →0
(3Δx ＋4)＝4.
反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f x 0＋Δx －f x 0
Δx ；
(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0
Δy
Δx
. 跟踪训练1 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2
＋3x 在x ＝2处的导数. 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数
f ′(2)＝lim Δx →0
f 2＋Δx －f 2 Δx
，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2
＋3(2＋Δx )－(－
22
＋3³2)＝－(Δx )2
－Δx ，
于是f ′(2)＝lim Δx →0 － Δx 2
－Δx
Δx ＝lim Δx →0 (－Δx －1)＝－1.
类型二 求切线方程
命题角度1 求在某点处的切线方程 例2 已知曲线y ＝2x 2
上一点A (1，2)，求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程.
解 (1)k ＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0
2 1＋Δx 2
－2³1
2
Δx
＝lim Δx →0 4Δx ＋2 Δx
2
Δx ＝lim Δx →0 (4＋2Δx )＝4，
∴点A 处的切线的斜率为4.
(2)点A 处的切线方程是y －2＝4(x －1)， 即4x －y －2＝0.
反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练2 曲线y ＝x 2
＋1在点P (2，5)处的切线与y 轴交点的纵坐标是 . 答案 －3
解析 lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 2＋Δx 2
＋1－22
－1
Δx ＝lim Δx →0 (4＋Δx )＝4，
曲线y ＝x 2
＋1在点(2，5)处的切线方程为y －5＝4(x －2)， 即y ＝4x －3.∴切线与y 轴交点的纵坐标是－3.
命题角度2 曲线过某点的切线方程
例3 求抛物线y ＝14x 2过点(4，7
4)的切线方程.
解 设切线在抛物线上的切点为(x 0，14x 2
0)，
∵lim Δx →0 14 x 0＋Δx 2
－14x 20Δx ＝lim Δx →0 (12x 0＋14Δx )＝1
2x 0.
∴14x 20－7
4x 0－4＝12
x 0， 即x 2
0－8x 0＋7＝0，解得x 0＝7或x 0＝1，
即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，1
4)，
故切线方程为y －494＝72(x －7)或y －14＝1
2(x －1)，
化简得14x －4y －49＝0或2x －4y －1＝0， 即为所求的切线方程.
反思与感悟 过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，y 0)；
(2)建立方程f ′(x 0)＝
y 1－y 0
x 1－x 0
； (3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程.
跟踪训练3 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3
相切的直线方程. 解 lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 2 x ＋Δx － x ＋Δx 3
－2x ＋x
3
Δx
＝lim Δx →0
[2－3x 2
－3x Δx －(Δx )2
]＝2－3x 2
.
设切点坐标为(x 0，2x 0－x 3
0).
∴切线方程为y －2x 0＋x 3
0＝(2－3x 2
0)(x －x 0). 又∵切线过点(－1，－2)，
∴－2－2x 0＋x 3
0＝(2－3x 20)(－1－x 0)， 即2x 30＋3x 2
0＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32
.
∴切点坐标为(0，0)或⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，38. 当切点坐标为(0，0)时，切线斜率为2， 切线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0.
当切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，38时，切线斜率为－194， 切线方程为y ＋2＝－19
4(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0.
综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的切线方程为 2x －y ＝0或19x ＋4y ＋27＝0.
类型三 导数的几何意义的综合应用
例4 已知曲线f (x )＝x 2
＋1与g (x )＝x 3
＋1在x ＝x 0处的切线互相垂直，求x 0的值. 解 因为f ′(x 0)＝lim Δx →0 x 0＋Δx 2
＋1－ x 2
0＋1
Δx
＝lim Δx →0
(Δx ＋2x 0)＝2x 0，
g ′(x 0)＝lim Δx →0 x 0＋Δx 3＋1－ x 3
0＋1
Δx
＝lim Δx →0
[(Δx )2
＋3x 0Δx ＋3x 2
0]
＝3x 2
0，
k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，
因为切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，
即6x 3
0＝－1，解得x 0＝－3
366
. 引申探究
若将本例的条件“垂直”改为“平行”，则结果如何？ 解 由例4知，f ′(x 0)＝2x 0，g ′(x 0)＝3x 2
0，
k 1＝2x 0，k 2＝3x 20，由题意知2x 0＝3x 2
0，得x 0＝0或2
3
.
反思与感悟 导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何等知识相联系.
跟踪训练4 已知直线l ：y ＝4x ＋a 与曲线C ：y ＝x 3
－2x 2
＋3相切，求a 的值及切点坐标. 解 设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0). ∵k c ＝lim Δx →0
f x ＋Δx －f x
Δx
＝lim Δx →0 x ＋Δx 3
－2 x ＋Δx 2
＋3－ x 3
－2x 2
＋3
Δx
＝3x 2
－4x ，
由题意可知k ＝4，即3x 2
0－4x 0＝4， 解得x 0＝－2
3
或x 0＝2，
∴切点的坐标为(－23，49
27
)或(2，3).
当切点为(－23，4927)时，有4927＝4³(－23)＋a ，a ＝121
27.
当切点为(2，3)时，有3＝4³2＋a ，a ＝－5. ∴当a ＝12127时，切点坐标为(－23，49
27)；
当a ＝－5时，切点坐标为(2，3).
1.设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2
(a ，b 为常数)，则( ) A.f ′(x )＝a B.f ′(x )＝b C.f ′(x 0)＝a D.f ′(x 0)＝b
答案 C
解析 f ′(x 0)＝lim Δx →0
f x 0＋Δx －f x 0
Δx
＝lim Δx →0
(a ＋b ²Δx )＝a .
2.曲线f (x )＝9
x
在点(3，3)处的切线的倾斜角等于( )
A.45°
B.60°
C.135°
D.120° 答案 C
解析 ∵f ′(x )＝lim Δx →0
f x ＋Δx －f x
Δx
＝9lim Δx →0 1x ＋Δx －1
x Δx ＝－9lim Δx →0 1 x ＋Δx x ＝－9
x 2，
∴f ′(3)＝－9
9
＝－1，
又∵直线的倾斜角范围为[0°，180°)，∴倾斜角为135°.
3.如图，函数y ＝f (x )的图像在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于(
)
A.－4
B.3
C.－2
D.1
答案 D
解析 由题干中的图像可得函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线是l ，与x 轴交于点(4，0)，与y 轴交于点(0，4)，则可知l ：x ＋y ＝4，∴f (2)＝2，f ′(2)＝－1，∴代入可得f (2)＋f ′(2)＝1，故选D.
4.已知函数y ＝ax 2
＋b 在点(1，3)处的切线斜率为2，则b
a
＝ . 答案 2
解析 lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 a 1＋Δx 2
＋b － a ＋b Δx ＝2a ，
由题意知2a ＝2，∴a ＝1.
①
又点(1，3)在y ＝ax 2
＋b 的图像上， ∴a ＋b ＝3.
②
由①②可得b ＝2，∴b a
＝2.
5.求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，12处的切线方程.
解 因为lim Δx →0 f 2＋Δx －f 2
Δx ＝lim Δx →0 12＋Δx －1
2Δx
＝lim Δx →0 －12 2＋Δx
＝－1
4.
所以这条曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线斜率为－14，
由直线的点斜式方程可得切线方程为
y －1
2＝－14
(x －2)，即x ＋4y －4＝
0.
1.导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0
f x 0＋Δx －f x 0
Δx
＝f ′(x 0).
2.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，
f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.
40分钟课时作业
一、选择题
1.已知y ＝f (x )的图像如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是(
)
A.f ′(x A )>f ′(x B )
B.f ′(x A )<f ′(x B )
C.f ′(x A )＝f ′(x B )
D.不能确定 答案 B
解析 由导数的几何意义，知f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A 、B 处切线的斜率，由图像可知f ′(x A )<f ′(x B ).
2.下列点中，在曲线y ＝x 2
上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( )
A.(0，0)
B.(2，4)
C.(14，1
16) D.(12，14
) 答案 D
解析 ∵lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2
Δx ＝2x ，又切线的倾斜角为π
4，
∴直线斜率为tan π
4＝1，则2x ＝1，
∴x ＝12，y ＝14，则切点为(12，14
).
3.若曲线y ＝x 2
＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A.a ＝1，b ＝1 B.a ＝－1，b ＝1 C.a ＝1，b ＝－1 D.a ＝－1，b ＝－1
答案 A
解析 由题意，知k ＝lim Δx →0 0＋Δx 2
＋a 0＋Δx ＋b －b Δx ＝1，
∴a ＝1.又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A. 4.设f (x )为可导函数，且满足lim x →0
f 1 －f 1－x
x
＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))
处的切线的斜率是( ) A.1 B.－1 C.1
2 D.－2
答案 B 解析 ∵lim x →0
f 1 －f 1－x
x
＝－1，
∴lim x →0
f 1－x －f 1
－x
＝－1，∴f ′(1)＝－1.
5.设P 0为曲线f (x )＝x 3
＋x －2上的点，且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标为( ) A.(1，0)
B.(2，8)
C.(1，0)或(－1，－4)
D.(2，8)或(－1，－4)
答案 C
解析 根据导数的定义可求得f ′(x )＝3x 2
＋1，由于曲线f (x )＝x 3
＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，所以f (x )在P 0处的导数值等于4，设P 0(x 0，y 0)，故f ′(x 0)＝3x 2
0＋1＝4，解得x 0＝±1，这时P 0点的坐标为(1，0)或(－1，－4)，故选C.
6.设P 为曲线C ：f (x )＝x 2
＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[π4
，
π
2
]，则点P 的横坐标的取值范围为( ) A.(－∞，1
2]
B.[－1，0]
C.[0，1]
D.[－1
2
，＋∞)
答案 D
解析 设点P 的横坐标为x 0，则点P 处的切线倾斜角α与x 0的关系为 tan α＝f ′(x 0)＝lim Δx →0
f x 0＋Δx －f x 0
Δx
＝2x 0＋2.
∵α∈[π4，π
2]，∴tan α∈[1，＋∞)，
∴2x 0＋2≥1，即x 0≥－1
2.
∴x 0的取值范围为[－1
2，＋∞).
二、填空题
7.已知函数f (x )＝2x －3，则f ′(5)＝ . 答案 2
解析 f ′(5)＝lim Δx →0
f 5＋Δx －f 5
Δx
＝2.
8.如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则f (f (0))＝ ；
lim Δx →0
f 1＋Δx －f 1
Δx
＝ .(用数字作答)
答案 2 －2
解析 ∵f (0)＝4，∴f (f (0))＝f (4)＝2，
f ′(1)＝lim Δx →0
f 1＋Δx －f 1
Δx
＝－2.
9.曲线y ＝x 3
在点(1，1)处的切线与x 轴，直线x ＝2所围成的三角形的面积为 . 答案 83
解析 ∵k ＝lim Δx →0
1＋Δx 3
－1
3
Δx ＝3，
∴曲线y ＝x 3
在点(1，1)处的切线方程为
y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0，
则切线与x 轴，直线x ＝2所围成的三角形面积为12³(2－23)³4＝8
3
.
10.若抛物线y ＝x 2
－x ＋c 上一点P 的横坐标是－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为 . 答案 4
解析 设抛物线在P 点处切线的斜率为k ，
k ＝lim Δx →0 －2＋Δx 2
－ －2＋Δx ＋c － 6＋c
Δx ＝－5，
∴切线方程为y ＝－5x ，
∴点P 的纵坐标为y ＝－5³(－2)＝10， 将P (－2，10)代入y ＝x 2－x ＋c ，得c ＝4. 三、解答题
11.已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a ，b ，c 的值.
解 因为抛物线过点P ，所以a ＋b ＋c ＝1， ①
又lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0a 2＋Δx 2
＋b 2＋Δx ＋c － 4a ＋2b ＋c
Δx
＝4a ＋b ，
由题意知4a ＋b ＝1，
② 又抛物线过点Q ，∴4a ＋2b ＋c ＝－1， ③
由①②③解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.
12.设函数f (x )＝x 3
＋ax 2
－9x －1(a <0)，若曲线y ＝f (x )的斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行，求a 的值. 解 f ′(x 0)＝lim Δx →0
Δy
Δx
＝lim Δx →0
[3x 2
0＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2
]
＝3x 2
0＋2ax 0－9.
f ′(x )＝3(x 0＋a
3
)2
－9－a 2
3
，
当x 0＝－a 3时，f ′(x 0)取到最小值－9－a 2
3.
∵函数f (x )斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， ∴该切线的斜率为－12.
11 ∴－9－a 23＝－12，解得a ＝±3，又a <0，∴a ＝－3.
13.已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求适合f ′(x 0)＋2＝g ′(x 0)的x 0的值.
解 由导数的定义知，f ′(x 0
)＝lim Δx →0 x 0＋Δx 2－x 2
Δx ＝2x 0，
g ′(x 0)＝lim Δx →0 x 0＋Δx 3－x 3
0Δx ＝3x 2
.
因为f ′(x 0)＋2＝g ′(x 0)，
所以2x 0＋2＝3x 20，即3x 2
0－2x 0－2＝0.
解得x 0＝1－73或x 0＝1＋7
3.。