河北省唐山市2013届高三9月摸底考试(数学文)WORD版

试卷类型：B
唐山市2012-2013学年度高三年级摸底考试
文科数学
第I 卷 一、选择题（共60分） （1）复数
3322i i
i i
+--
-+的虚部为 (A ）2i （B ）－2i （C ）2 （D ）－2
(2)设集合U ＝AUB, A={1，2，3}， A B={1}，则U C B ＝ （A ）{2} (B) {3} (C) {1，2，3} (D) {2，3}
(3)已知x ，y 满足1133x y x y x y -≥-⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
，则z=2x －y 的最大值为
(A) 2 (B)1 (C) －1 (D) 3
(4)已知双曲22
212
x y a -＝1的离心串为2，则该双曲线的实轴长为
（A ）2 （B ）4
(5)若tnn θ=2，则cos2θ＝ （A ）
45 （B ）－4
5
（C ）35 （D ）－35
(6）下列函数中，既是偶函数，又在区间(0. 3)内是增函数的是
(A) y=22x x
-+ (B) y=coss
(C ）y=0.5log ||x (D) y=x ＋x －
1
(7)在三棱锥P －ABC 中，PA ＝
侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为
（A ）π (B)
3
π
(C)4π （D) 43π
(8) 要得到函数sin()3y x π=-的图象，只需将函数sin()6
y x π
=-的图象
(A)向左平移6π个单位 (B)向右平移6π
单位
(C)向左平移2π个单位 (D 向右平移2
π
个单位
(9）空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积
为
（A ）8＋
（B ）6＋
（C ）8＋
（B ）6＋
(10）一名小学生的年龄和身高（单位：cm) 的数据如下：
年龄x
6 7 8 9
身高y
118 126 136 144
由散点图可知，身高y 与年龄x 之间的线性回归直线方程为8.8y x a =+，预测该学生10岁时的身高为
(A) 154 .(B) 153 (C) 152
(D) 151
参考公式：回归直线方程是：,y bx a a y bx =+=-
(11)己知△ABC 的外心、重心、垂心分别为O ，G ，H ，若OH OG λ=，则λ= （A ）
13 （B ）1
2
（C ）3 （D ）2 (12)已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ＋1）＝－f （x ）。

当x ∈［0,1］时，f （x ）＝
1
2
－x ，若g （x ）＝f （x ）－m （x ＋1）在区间（－1,2］有3个零点，则实数m 的取值范围是 （A ）（－
14，16） （B ）（－14，1
6
］ （C ）11[,]64- （D ）11(,)..64www zxxk com -
第II 卷
二、城空题：本大题共4小颐，每小题5分，共20分。

(13)函数ln(1)
y x =+的定义域为＿＿＿＿＿
(14)执行右圈所示的程序框图，则输出的z 是＿＿＿＿＿ （15)以抛物线y 2＝4x 上的点A(4.，4)为圆心，且与抛物线的准线相切的圆被x 轴截得的弦长为＿＿＿＿
(16）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
若(a －b)sinB ＝asinA －csin C.，且a 2＋b 2－6(a+b)＋18＝0，则AB BC BC CA CA AB ++＝＿＿＿
三、解答题：本大题共70分。

考题(22). (23), (24)题为选考题．解答应写出文字说明、证明过理或演算步理． （17) (本题满分12分） 已知数列{n a }的前n 项和Sn ＝
2(81)7
n
-. （I ）求数列{n a }的通项公式n a ； （II ）设2log n n b a =，求
12231
111n n b b b b b b ++++。

(18)（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC. AB=AC=l ，∠BAC=120，B 1C ＝3。

（I ）求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积：
（II ）求异面直线B 1C 与A 1
C
1所成角的大小．
(20)（本小题满分12分）
设动点M(x, y)到直线y=3的距离与它到点F(0, 1)，点M 的轨迹为曲线E.
（I ）求曲线E 的方程：
（II ）过点F 作直线l 与曲线E 交于A, B 两点，且AF FB λ=．当2λ≤≤3时，求 直线l 斜率k 的取值范围·
(21)（本小胭满分12分）
已知函致f (x)＝x 3十bx 2＋cx+d.
（I)当b=0时，证明：曲线y=f(x)与其在点(0, f(0))处的切线只有一个公共点；
〔1(）若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切找为12x.+y －13=0,记函数y=f(x)的两个极值点为x 1，x 2，当x 1＋x 2＝2时，求f(x 1)+f(x 2)。

请考生在第(22), (23), (24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． (22)（本小题清分10分）选修4-1几何证明选讲
如图，圆O 的圆心O 在Rt △ABC 的直角边BC 上，该圆与直角边AB 相切，与斜边
AC 交于D ，E ，AD ＝DE ＝EC ，AB （I ）求BC 的长； （II ）求圆O 的半径。

(23)（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线C 1方程为ρ=2sin （θ+
3π），曲线C 2：方程为ρsin(θ+ 3
π)=4.以极点O 为原点，极轴方向为x 轴正向建立直角坐标系xOy.
（1）求曲线C 1，C 2的直角坐标方程
（n ）设A. B 分别是C 1，C 2上的动点，求｜AB ｜的最小值．
(24)（本小题满分IO 分）选修4-5:不等式选讲 设f(x)=｜x ＋1｜一｜x －2｜.
（I ）若不等式f(x)}≤a 的解集为1(,]2
-∞．求a 的值； （II ）若x ∃∈R. f(x)十4m ＜m 2，求m 的取值范围．
唐山市2012—2013学年度高三年级摸底考试
文科数学参考答案
一、选择题：
A 卷：ADCBC ADBAC DB
B 卷：CDABD ADBAB CB 二、填空题：
（13）(－1，0)∪(0，2] （14）17 （15）6
（16）－27
2
三、解答题： （17）解：
（Ⅰ）a 1＝S 1＝ 2
7(81－1)＝2．
…1分
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝ 2 7(8n －1)－ 2 7(8n －1－1)＝23n －
2．
当n ＝1时上式也成立，所以a n ＝23n －
2（n ∈N *）． …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n ＝log 223n －2
＝3n －2， …7分 所以 1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝11×4＋14×7＋…＋1(3n －2)(3n ＋1)
＝ 1 3[(1－ 1 4)＋( 1 4－ 1 7)＋…＋(13n －2－13n ＋1
)]
＝ 1 3(
1－13n ＋1)
＝n 3n ＋1
． …12分
（18）解：
（Ⅰ）如图，因为AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，所以BB 1⊥平面ABC ． 又BC ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥BC ． 由AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝120︒，得
BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120︒＝3． 在Rt △B 1BC 中，BB 1＝B 1C 2－BC 2＝6． …4分 所以三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积
V ＝ 1 2AB ·AC sin 120︒·AA 1＝ 1 2×1×1×32×6＝324． …6分
（Ⅱ）因为AC ∥A 1C 1，所以∠B 1CA 为异面直线B 1C 与A 1C 1所成角或其补角． 由（Ⅰ），BB 1⊥平面ABC ，则BB 1⊥AC ． 在Rt △B 1BA 中，AB 1＝AB 2＋BB 21＝7．
…9分 在△B 1CA 中，cos ∠B 1CA ＝AC 2＋B 1C 2－AB 2
12AC ·B 1C
＝ 1
2，∠B 1CA ＝60︒，
所以异面直线B 1C 与A 1C 1所成角的大小为60︒． …12分 （19）解：
（Ⅰ）因为6件产品中有1级品3件，从中随机抽取1件，该产品是1级品的概率
P 1＝ 3 6＝ 1
2． …4分 （Ⅱ）记这6件产品中有1级品为a 1，a 2，a 3，2级品为b 1，b 2，3级品为c ． 从中随机抽取2件，可能得结果为
(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c )， (a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，c )， (a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，c )， (b 1，b 2)，(b 1，c )， (b 2，c )，共15种． …8分 其中2件产品都是1级品的结果为
(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，共3种． …10分
故所求概率P 2＝315＝ 1
5． …12分 （20）解：
（Ⅰ）根据题意，|y －3|＝3·x 2＋(y －1)2． 化简，得曲线E 的方程为3x 2＋2y 2＝6． …4分 （Ⅱ）直线l 方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 方程，得 (2k 2＋3)x 2＋4kx －4＝0． …6分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则
x 1＋x 2＝－4k
2k 2＋3， ①
x 1x 2＝－4
2k 2＋3
． ②
AF →＝λFB →即(－x 1
，1－y 1
)＝λ(x 2
，y 2
－1)，
由此得x 1＝－λx 2．
③ 由①②③，得 1 2＋34k 2＝λ
(λ－1)2
＝
1
(
λ－
1λ
)
2．
…9分
因为2≤λ≤3，所以22≤λ－1λ
≤233，从而 3
4≤
1
(
λ－
1λ
)
2≤2， 解不等式 3 4≤ 1 2＋34k 2≤2，得 1
2≤k 2≤3．
故k 的取值范围是[
－3，－22]∪[
2
2，3]
．
…12分
（21）解：
（Ⅰ）当b ＝0时，f (x )＝x 3＋cx ＋d ，f '(x )＝3x 2＋c ． f (0)＝d ，f '(0)＝c ． …2分
曲线y ＝f (x )与其在点(0，f (0))处的切线为y ＝cx ＋d ． 由⎩⎨⎧y ＝x 3＋cx ＋d ，y ＝cx ＋d ，
消去y ，得x 3＝0，x ＝0． 所以曲线y ＝f (x )与其在点(0，f (0))处的切线只有一个公共点即切点． …4分
（Ⅱ）由已知，切点为(1，1)． 又f '(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，于是 ⎩⎨⎧f (1)＝1，f '(1)＝－12，即⎩⎨⎧1＋b ＋c ＋d ＝1，3＋2b ＋c ＝－12，
得c ＝－2b －15，d ＝b ＋15． …7分
从而f (x )＝x 3＋bx 2－(2b ＋15)x ＋b ＋15，f '(x )＝3x 2＋2bx －2b －15．
依题设，x 1＋x 2＝－2b
3，故b ＝－3．
…9分
于是f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋12，f '(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)． 当
12分 （22）解：
（Ⅰ）由已知及由切割线定理，有AB 2＝AD ·AE ＝ 1 3AC · 2
3AC ，
所以AC 2＝ 9
2AB 2． …3分
由勾股定理得，BC ＝AC 2－AB 2＝7．
…5分
（Ⅱ）设圆O 与BC 的交点为F ，圆O
由割线定理，得CF ·CB ＝CE ·CD ＝ 1 3AC
8分
即(7－2r )×7＝14，解得r ＝ 5
2． …10分
（23）解：
（Ⅰ）曲线C 1的极坐标方程化为ρ＝sin θ两边同乘以ρ，得ρ2＝ρsin θ＋3ρcos θ则曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝y ＋3x ，即x 2＋y 2－3x －y ＝0． …3分
曲线C 2的极坐标方程化为 1 2ρsin θ＋3
2ρcos θ＝4，
则曲线C 2的的直角坐标方程为 1 2y ＋3
2x ＝4，即3x ＋y －8＝0． …6分
（Ⅱ）将曲线C 1的直角坐标方程化为(
x －32)2＋(y － 1
2)
2＝1，
它表示以(
32， 1
2)
为圆心，以1为半径的圆．
该圆圆心到曲线C 2即直线3x ＋y －8＝0的距离
d ＝|3×32＋ 1
2－8|
2
＝3， …8分 所以|AB |的最小值为2．
…10分
（24）解：
（Ⅰ）f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，
2x －1，－1≤x ≤2，3，x ≥2．其图象如下：
当x ＝ 1
2时，f (x )＝0．
当x ＜ 1 2时，f (x )＜0；当x ＞ 1
2时，f (x )＞0．
所以a ＝0．
（Ⅱ）不等式f (x )＋4m ＜m 2，即f (x )＜m 2－4m ．
因为f (x )的最小值为－3，所以问题等价于－3＜m 2－4m ． 解得m ＜1，或m ＞3．
故m的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．…10分。