北师大版高中数学选修4-5课时训练不等式的证明反证法放缩法几何法

课堂练习(八)
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，则( ) A ．∠B ＝π
2
B ．∠B <π
2
C ．∠B >π
2
D ．∠B ＝π
3
[解析] 假设∠B ≥π
2，则b 最大，有b >a ，b >c ，
∴1a >1b ，1c >1b .
∴1a ＋1c >2b
，与题意中的1a ＋1c ＝2
b
矛盾．
∴∠B <π2.
[答案] B
2．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( ) ①否定原结论的假设；②原命题的条件； ③公理、定理、定义等；④原结论． A ．①② B ．①②④ C ．①②③
D ．②③
[解析] 由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反情况作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．
[答案] C
3．用反证法证明命题“如果a >b ，那么3a >3
b ”时，假设的内容是( ) A ．3a ＝3b
B ．3a <3b
C ．3a ＝3b 且3a <3b
D ．3a ＝3b 或3a <3b
[解析] 应假设3a ≤3b ，即3a ＝3b 或3a <3
b . [答案] D 4．已知p ＝a ＋
1a －2
，q ＝－a 2
＋4a (a >2)，则( )
A ．p >q
B ．p <q
C ．p ≥q
D ．p ≤q
[解析] ∵p ＝(a －2)＋1
a －2
＋2， 又a －2>0，
∴p ≥2＋2＝4，而q ＝－(a －2)2
＋4， 根据a >2，可得q <4，∴p >q . [答案] A
5．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1
211－1，则( )
A ．M ＝1
B ．M <1
C ．M >1
D ．M 与1大小关系不定
[解析] M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1
211
－1<
＝2102
10＝1.故选B. [答案] B 二、填空题
6．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设应为__________．
[解析] “至少有一个不大于”的反面应是“都大于”． [答案] 假设三内角都大于60° 7．若a >b >0，m >0，n >0，则a b ，b a ，
b ＋m a ＋m ，a ＋n
b ＋n
，按由小到大的顺序排列为________．
[解析] 由不等式a >b >0，m >0，n >0，知b a <b ＋m a ＋m <1，且b a <b ＋n
a ＋n
<1， 得a b >
a ＋n
b ＋n >1， 即1<
a ＋n
b ＋n <a
b
. [答案] b a <
b ＋m a ＋m <a ＋n b ＋n <a
b
8．设x >0，y >0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y
1＋y
，则A ，B 的大小关系为__________．
[解析] B ＝x 1＋x ＋y 1＋y >x 1＋x ＋y ＋y 1＋x ＋y ＝x ＋y
1＋x ＋y
＝A ，即A <B .
[答案] A <B 三、解答题
9．已知a >0，b >0，且a ＋b >2， 求证：1＋b a ，1＋a b 中至少有一个小于2.
[证明] 假设1＋b a
，1＋a b
都不小于2，
则
1＋b a ≥2，1＋a
b
≥2.
∵a >0，b >0，
∴1＋b ≥2a,1＋a ≥2b ，
∴2＋a ＋b ≥2(a ＋b )，即2≥a ＋b ， 这与a ＋b >2矛盾．
故假设不成立．即1＋b a ，1＋a b
中至少有一个小于2.
10．已知△ABC 三边长是a ，b ，c ，且m 是正数，求证：a
a ＋m ＋
b
b ＋m >
c
c ＋m
.
[证明] 设f (x )＝
x
x ＋m
＝1－
m
x ＋m
(x >0，m >0)．
易知函数f (x )(x >0)是增函数． 则f (a )＋f (b )＝a
a ＋m ＋
b
b ＋m
>
a (a ＋
b )＋m ＋b
(a ＋b )＋m
＝
a ＋b
(a ＋b )＋m
＝f (a ＋b )．
又在△ABC 中，a ＋b >c >0， ∴f (a ＋b )>f (c )＝c
c ＋m
，
∴
a
a ＋m ＋
b
b ＋m >
c
c ＋m
.
[能力提升练]
1．已知x ＝a ＋1a －2(a >2)，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2 (b <0)，则x ，y 之间的大小关系是( )
A ．x >y
B ．x <y
C ．x ＝y
D ．不能确定
[解析] 因为x ＝a －2＋1
a －2
＋2≥2＋2＝4(a >2)， 而b 2
－2>－2(b <0)，
即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2 <⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12-2
＝4. 所以x >y . [答案] A
2．若|a |<1，|b |<1，则( ) A ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab ＝1
B ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab <1
C ．⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪a ＋b 1＋ab ≤1
D ．⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪a ＋b 1＋ab ≥1
[解析] 假设⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪a ＋b 1＋ab ≥1，
故|a ＋b |≥|1＋ab |
⇒a 2
＋b 2
＋2ab ≥1＋2ab ＋a 2b 2
⇒a 2
＋b 2
－1－a 2b 2
≥0
⇒a 2
(1－b 2
)－(1－b 2
)≥0
⇒(a 2
－1)(1－b 2
)≥0.
由上式知a 2－1≤0,1－b 2≤0或a 2－1≥0,1－b 2
≥0. 与已知矛盾，故⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a ＋b 1＋ab <1.
[答案] B
3．设a ，b ∈R ，给出下列条件：
①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2
＋b 2
>2；⑤ab >1.
其中能推出“a ，b 中至少有一个实数大于1”的条件是________．
[解析] 对于①，a ，b 均可小于1；对于②，a ，b 均可等于1；对于④⑤，a ，b 均可为负数；对于③，若a ，b 都不大于1，则a ＋b ≤2，与③矛盾．故若③成立，则“a ，b 中至少有一个实数大于1”成立．
[答案] ③
4．若0<a <1n ，n ≥2，且n 为正整数，已知a 2
<a －b ，求证：b <1n ＋1
.
[证明] 由已知得b <a －a 2
＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122
＋1
4
.
令f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122
＋14，则f (x )在⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12内是增函数，
又n ≥2，n 为正整数，且0<a <1
n
，
因此a ，1n ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤
0，12，
∴f (a )<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n
， 从而b <－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122
＋14<－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －122
＋1
4＝－1n 2＋1n .
又－1n 2＋1n ＝n －1n 2<n －1n 2－1＝1
n ＋1，
故b <1
n ＋1
.。