初三数学寒直升班教师版第4讲 直线型动态几何综合

动态几何问题指图形中的点、线或部分图形按照一定的方式或速度运动变化，从而探索出一些变化过程中的函数关系的问题或存在性问题。

是近几年中考的一个热点类问题。

主要包括求解线段长度、线段比例、周长、面积等函数关系；或在运动过程中产生的一些特殊图形、图形关系等问题。

解题时要善于观察运动过程中的不变性。

解决动态几何问题的三步曲：
1．用自变量表示线段长（自变量一般为动点运动速度或某条线段长）； 2．分析运动停止条件，求出自变量取值范围；
3．分析运动轨迹，重点关注临界情况，找到分类讨论标准。

如图，在平行四边形ABCD 中，4cm AD =，60A ∠=︒，BD AD ⊥．一动点P 从A 出发，以每秒1cm 的速度沿A →B →C 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM AD ⊥． （1）当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求APE △的面积；
（2）当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →C 的路线运动，且在AB 上以每秒1cm 的速度匀速运动，在BC 上以每秒2cm 的速度匀速运动．过Q 作直线QN ，使QN//PM ．设点Q 运动的时间为t 秒010t ≤≤（），直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为S cm 2．求S 关于t 的函数关系式． （1）当点P 运动2秒时，2cm AP =，
由60A ∠=︒，知1AE =cm
，PE
．∴APE S =
△2
． （2）当06t ≤≤时，点P 与点Q 都在AB 上运动，设PM 与AD 交于点G ，QN 与AD 交于点F ，则AQ t =，2t AF =
，QF ，2AP t =+，12
t AG =+
，
PG =． ∴此时两平行线截平行四边形ABCD
的面积为S =
． 当68t ≤≤时，点P 在BC 上运动，点Q 仍在AB 上运动． 设PM 与DC 交于点G ，QN 与AD 交于点F ，则AQ t =，2t AF =
，42
t DF =-
，QF =，
6BP t =-，10CP t =-
，10PG t =
-（
BD = 故此时两平行线截平行四边形ABCD
的面积为2
S =+- 当810t ≤≤时，点P 和点Q 都在BC 上运动． 设PM 与DC 交于点G ，QN 与DC 交于点F ，
M D C A
P
B
E
则202CQ t =-，(202)3QF t =-，10CP t =-，103PG t =-（）． ∴此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为2
233031503S t t =
-+． 故S 关于t 的函数关系式为2
2
33
(0t 6)53103343(68)333031503(810)t S t t t t t t ⎧+
≤≤⎪⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪
⎪-+≤≤⎪⎪⎩
． 如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =．动点P 从点A 出发沿AC 向终点C 运动，同时动
点Q 从点B 出发沿BA 向点A 运动，到达A 点后立刻以原来的速度沿AB 返回．点P ，Q 运动速度均为每秒1个单位长度，当点P 到达点C 时停止运动，点Q 也同时停止．连结PQ ，设运动时间为(0)t t >秒．
（1）求线段AC 的长度； （2）求APQ △的面积S 关于t 的函数关系式，并写出t 的取值范围； （3）伴随着P ，Q 两点的运动，线段PQ 的垂直平分线为l ： ①当l 经过点A 时，射线QP 交AD 于点E ，求AE 的长； ②当l 经过点B 时，求t 的值．
（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ∠=︒，225AC AB BC =+=； （2）如图1，过点P 作PH AB ⊥于点H ，AP t =，3AQ t =-， 则90AHP ABC ∠=∠=︒，∵PAH CAB ∠=∠，
∴AHP ABC ∽△△，∴AP PH
AC BC
=
， ∵AP t =，5AC =，4BC =，
∴45PH t =，∴14
(3)25S t t =⋅-⋅，
即226
55
S t t =-+，t 的取值范围是：03t ＜＜．
同理当35t ≤≤时，226
55
S t t =-．
2226
,0355
26,355
5t t t S t t t ⎧-+<<⎪⎪∴=⎨⎪-≤≤⎪⎩．
（3）①如图2，∵线段PQ 的垂直平分线为l 经过点A ， ∴AP AQ =，∴3t t -=，∴ 1.5t =，∴ 1.5AP AQ ==， 延长QP 交AD 于点E ，过点Q 作QO//AD 交AC 于点O ，
∴AQO ABC ∽△△，∴
AO AQ QO
AC AB BC
==
， ∴52AQ AO AC AB =⋅=，2AQ
OQ BC AB
=⋅=，∴1PO AO AP =-=，∵OQ//BC//AD ，
∴APE OPQ ∽△△，∴AE AP OQ OP =，∴3AP
AE OQ OP
=⋅=．
②如图③，（i ）当点Q 从B 向A 运动时l 经过点B ， BQ BP AP t ===，QBP QAP ∠=∠，
∵90QBP PBC ∠+∠=︒，90QAP PCB ∠+∠=︒， ∴PBC PCB ∠=∠，∴CP BP AP t ===，
∴11
5 2.522
CP AP AC ===⨯=，∴ 2.5t =；
（ii ）如图4，当点Q 从A 向B 运动时l 经过点B ， 3(3)6BP BQ t t ==--=-，AP t =，5PC t =-，
过点P 作PG CB ⊥于点G ，
则PG//AB ，∴PGC ABC ∽△△，∴
PC PG GC
AC AB BC
==
， ∴3(5)5PC PG AB t AC =⋅=-，4
(5t)5PC CG BC AC =⋅=-，
∴44
4(5)55
BG t t =--=，由勾股定理得222BP BG PG =+，
即22
2
43(6)(5)55t t t ⎛⎫⎡⎤-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，解得4514t =．
在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上，4OA =，2OC =，点P ，点Q 分别是边BC ，边AB 上的点，连结AC ，PQ ，点1B 是点B 关于PQ 的对称点． （1）若四边形OABC 为矩形，如图1， ①求点B 的坐标；
②若:1:2BQ BP =，且点1B 落在OA 上，求点1B 的坐标；
（2）若四边形OABC 为平行四边形，如图2，且OC AC ⊥，过点1B 作1//B F x 轴，与对角线AC 、边OC 分别交于点E 、点F ．若11:1:3B E B F =，点1B 的横坐标为m ，求点1B 的纵坐标，并直接写出m 的取值范围．
图1 图2 C Q
A
（1）①∵4OA =，2OC =， ∴点B 的坐标为(4, 2)；
②如图1，过点P 作PD OA ⊥，垂足为点D ， ∵:1:2BQ BP =，点B 关于PQ 的对称点为1B ， ∴11:1:2B Q B P =，
∵11190PDB PB Q B AQ ∠=∠=∠=︒， ∴11PB D B QA ∠=∠， ∴11PB D B QA △∽△， ∴1112PB PD AB B Q ==，
∴11B A =，
∴13OB =，即点1(3,0)B ；
（2）∵四边形OABC 为平行四边形，OA =4，OC =2，且OC ⊥AC ， ∴∠OAC =30°， ∴点(1,C ， ∵11:1:3B E B F =，
∴点1B 不与点E ，F 重合，也不在线段EF 的延长线上， ①当点1B 在线段FE 的延长线上时，
如图2，延长1B F 与y 轴交于点G ，点1B 的横坐标为m ，1//B F x 轴，11:1:3B E B F =， ∴1B G m =， 设OG =a ，
C Q
A
D 1
B
则GF =
，OF =，
∴2CF =-，
∴4EF =-
，12B E =，
∴116B G B E EF FG =+++，
∴a =+，即Q
的纵坐标为
m
的取值范围是1717m ≤≤+
②当点1B 在线段EF （除点E ，F ）上时，
如图3，延长1B F 与y 轴交于点G ，点1B 的横坐标为m ，F//x 轴，
11:1:3B E B F = ， ∴1B G m =， 设OG =a ，
则GF =
，OF =
，
∴2CF =-，
∴4FE =
，1334
B F EF ==，
∴11(3)3B G B F FG ===-=+，
∴a =+ ，即点1B
的纵坐标为+，
故m 的取值范围是15
37
m ≤≤．
如图，四边形ABCD 为矩形，4AB =，3AD =，动点M 从D 点出发以1个单位/秒的速度沿DA 向终点A 运动，动点N 从A 点出发以2个单位/秒的速度沿AB 向终点B 运动．当其中一点到达终点时，运动结束．过点N 作NP AB ⊥交AC 于点P ，连接MP ．已知动点运动了x 秒． （1）请直接写出PN 的长；（用含x 的代数式表示）
（2）试求MPA △的面积S 与时间x 秒的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并求出S 的
最大值； （3）在这个运动过程中，MPA △能否为一个等腰三角形．
若能，求出所有x 的对应值；若不能，请说明理由．
（1）3
2
PN x =；
D
C
M
P
A
N
（2）2
1139(3)22224S AM AN x x x ⎛
⎫=⋅=-⋅=--+ ⎪⎝
⎭
其中02x <≤， ∴当32
x =时，S 取得最大值9
4；
（3）由（1）可知：5
2AP x =．
①若AM AP =，则532x x -=，解得6
7
x =，
②若AM MP =，则过P 点作PQ AD ⊥于Q ，
易得AQPN 是矩形，3
2
AQ PN x ==，2PQ AN x ==
又3AM PM x ==-，则35
3322
MQ x x x =--=-，
∴()2
22
5(2)332x x x ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，解得1236037x x ==，（舍去），∴3637x =，
另解：过点M 作ME AC ⊥.
3
sin sin 5
AME BAC ∠=∠=
∴335AE x =-，∴3(3)5
AE x =- 又12AE AP =，∴315(3)522x x -=⨯，解得36
37
x =;
③若AP MP =，则过P 点作PH AD ⊥于H ，
易得AHPN 是矩形，32AH PN x ==，且()11
322
AH AM x ==-，
∴31(3)22x x =-，解得34
x =． 综上所述，若MPA △可以成为等腰三角形，满足条件的x 的值可以为63637374
，，．
如图1，矩形ABCD 的两条边在坐标轴上，点D 与坐标原点O 重合，且AD =8，AB =6．如图2，矩形ABCD 沿OB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P 从A 点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD 的边AB 经过点B 向点C 运动，当点P 到达点C 时，矩形ABCD 和点P 同时停止运动，设点P 的运动时间为t 秒． （1）当5t =时，请直接写出点D 、点P 的坐标；
（2）当点P 在线段AB 或线段BC 上运动时，求出PBD △的面积S 关于t 的函数关系式，并写出相应t 的取值范围；
（3）点P 在线段AB 或线段BC 上运动时，作PE ⊥x 轴，垂足为点E ，当PEO △与BCD △相似时，求出相应的t 值．
B
C
()
A P O B
C
A
D
（1）延长CD 交x 轴于M ，延长BA 交x 轴于N ，如图1所示： 则CM x ⊥轴，BN x ⊥轴，AD//x 轴，BN//DM ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠BAD =90°，CD =AB =6，BC =AD =8，∴10BD ==，
当5t =时，5OD =，∴15BO =，∵AD//NO ，∴ABD NBO △∽△， ∴23AB AD BD BN NO BO ===，即6823
BN NO ==，∴BN =9，NO =12， ∴1284OM =-=，963DM =-=，918PN =-=，∴(4,3)D -，(12,8)P -；
（2）如图2所示：当点P 在边AB 上时，6BP t =-，∴11
(6)842422
S BP AD t t =⋅=-⨯=-+；
②当点P 在边BC 上时，6BP t =-，∴11
(6)631822
S BP AB t t =⋅=-⨯=-；
综上所述：424(06)
318(16t 14)t t S t -+≤≤⎧=⎨-<≤⎩
；
（3）设点43,55D t t ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
；
①当点P 在边AB 上时，4
88,5
5P t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，
若PF CD OE CB =
时，8654885t
t =+，解得：6t =； 若PE CB OE CD =
时，8854685
t
t =+，解得：20t =（不合题意，舍去）； ②当点P 在边BC 上时，1314,655P t t ⎛⎫
-++ ⎪⎝⎭
，
若PE CD OE BC =
时，36
6518145
t t +=-，解得：6t =；
若PE BC OE CD =
时，36
8516145
t t +=-，解得：19013t =（不合题意，舍去）； 综上所述：当6t =时，PEO △与BCD △相似．
图 1
B C P A D
P
N
A M D E
如图1，矩形OABC 顶点B 的坐标为,3)(8，定点D 的坐标为(12,0)，动点P 从点O 出发，以
每秒2个单位长度的速度沿x 轴的正方向匀速运动，动点Q 从点D 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的负方向匀速运动，PQ 两点同时运动，相遇时停止．在运动过程中，以PQ 为斜边在x 轴上方作等腰直角三角形PQR ．设运动时间为t 秒． （1）当t =_______时，PQR △的边QR 经过点B ；
（2）设PQR △和矩形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；
（3）如图2，过定点(5,0)E 作EF BC ⊥，垂足为F ，当PQR △的顶点R 落在矩形OABC 的内部时，过点R 作x 轴、y 轴的平行线，分别交EF 、BC 于点M 、N ，若45MAN ∠=︒，求t 的值．
图1 图2
C C B
B P A D O E P A D x M R
（1）PQR △的边QR 经过点B 时，ABQ △构成等腰直角三角形，
∴AB AQ =，即34t =-，∴1t =．即当1t =秒时，PQR △的边QR 经过点B ． （2）①当01t ≤≤时，如答图1-1所示．设PR 交BC 于点G ， 过点P 作PH BC ⊥于点H ，则2CH OP t ==，3GH PH ==．
139
83(223)3622
OABC OPGC S S S t t t =-=⨯-++⨯=-矩形梯形；
②当12t <≤时，如图1-2所示．
设PR 交BC 于点G ，RQ 交BC 、AB 于点S 、T ．
过点P 作PH BC ⊥于点H ，则2CH OP t ==，3GH PH ==． QD =t ，则4AQ AT t ==-，
∴3(4t)t 1BT BS AB AQ ==-=--=-．
2
11
83(223)3(1)22
OABC BST OPGC S S S S t t t =--=⨯-++⨯--矩形梯形△21
5192
t t =--+
图1-1 C B O P A D C
P A
D G S T B
③当
2＜t ≤4时，如答图1-3所示．
设RQ 与AB 交于点T ，则4AT AQ t ==-．
123PQ t =-，∴3t)2
PR RQ ==
-． 2222211117
(123t)(4)142822424
PQR AQT S S S PR AQ t t t =-=-=---=-+△△.
综上所述，S 关于t 的函数关系式为：
22
39
6(01)21
519(12)271428(2t 4)4t t S t t t t t ⎧-≤≤⎪⎪⎪=--+<≤⎨⎪⎪-+<≤⎪⎩
．
（3）∵(5,0)E ，∴3AE AB ==， ∴四边形ABFE 是正方形．
如答图2，将AME △绕点A 顺时针旋转90°，得到'ABM △，其中AE 与AB 重合． ∵45MAN ∠=︒， ∴45EAM NAB ∠+∠=︒， ∴45BAM NAB ∠'+∠=︒， ∴MAN M AN ∠=∠'．
连接MN ．在MAN △与'M AN △中， ''AM AM MAN M AN AN AN =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴'(SAS)MAN M AN △≌△． ∴MN M N M B BN ='='+ ∴MN EM BN =+．
设EM m =，BN n =，则3FM m =-，3FN n =-． 在Rt FMN △中，由勾股定理得：222FM FN MN +=， 即222(3)(3)()m n m n -+-=+， 整理得：3()90mn m n ++-=． ①
C R P
A
D T
B
图1-4
C
F N O E P A D M R
S
延长NR 交x 轴于点S ，则11
(123)22
m EM RS PQ t ====-，
∵11
(123)22
QS PQ t ==-，4AQ t =-，
∴11
(123)(4)222
n BN AS QS AQ t t t ===-
=---=-．
∴3m n
=，
代入①式，化简得：2430n n +-=，
解得2n =-+
2n =-
∴1
22
2
t -=-
解得：8t =-
∴若∠MAN =45°，则t 的值为(8-秒．
（1）如图，在梯形ABCD 中，10cm AB BC ==，6cm CD =，90C D ∠=∠=︒，动点P 、Q 同时以每秒1cm 的速度从点B 出发，点P 沿BA 、AD 、DC 运动，点Q 沿BC 、CD 运动，P 点与Q 点相遇时停止，设P 、Q 同时从点B 出发x 秒时，P 、Q 经过的路径与线段PQ 围成的图形的面积为y (cm 2)，则y 与x 之间的函数关系的大致图象为（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
（2）如图，直角梯形ABCD 中，AB //CD ，90DAB ∠=︒，顶点A 的坐标是(0,2)，点B 、C 、
D 的坐标分别是(2,2)、1,4)（、04（，），一次函数y x t =+的图象l 随t 的不同取值变化时，位于l 的右下方由l 和梯形的边围成的图形面积为S （阴影部分）．则能反映S 与t （04t ≤<）之
间的函数图象是（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
如图，在等边ABC △中，6AB =，AD ⊥BC 于点D ．点P 在边AB 上运动，过点P 作PE ∥BC ，与边AC 交于点E ，连结ED ，以PE 、ED 为邻边作PEDF ．设PEDF 与ABC △重叠部分图形的面积为y ，线段AP 的长为(06)x x <<．
（1）求线段PE 的长．（用含x 的代数式表示） （2）当四边形PEDF 为菱形时，求x 的值． （3）求y 与x 之间的函数关系式．
（4）设点A 关于直线PE 的对称点为点'A ，当线段'A B 的垂直平分线与直线AD 相交时，设其交点为Q ，当点P 与点Q 位于直线BC 同侧（不包括点Q 在直线BC 上）时，直接写出x 的取值范围． （1）∵PE//BC ，∴APE ABC △∽△，
又∵ABC △是等边三角形，∴APE △是等边三角形， ∴(06)PE AP x x ==<<；
（2）∵四边形PEDF 为菱形，∴PE DE x ==，又∵APE △是等边三角形，则AE PE =， ∴
AE DE =，∴DAC ADE ∠=∠，又∵
90ADE EDC DAC C ∠+∠=∠+∠=︒，
∴EDC C ∠=∠，∴DE EC =，∴11
322
DE EC AE AC AB =====．即3x =. （3）当3x =，即P 是AB 的中点时，1
2
PE BC =
，则F 与B 重合． 则当03x <≤时，重合部分就是平行四边形PEDF ，如图1．
等边ABC △
中，sin 606AD AB =⋅︒==APE △中，
sin 60AM AP x =⋅︒，
则DM =，
则y x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，
即2y =+； 当36x <<时，重合部分是梯形PEDB ，如图2．
则11()(3)22y PE BD DM x ⎛⎫
=+⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭
＝，
即2y x x =； （4）情形一：当'A 在BC 上方时，如图3所示，当'A B 的中垂线正好经过点D 时，'3A D BD ==，
则'3AA =
．则11'3)22AM AA ==
，∴1
3)
3x AP ===x 的取值范
围是：03x <<
情形二：当'A 在BC 上时，PQ//AD ，如图4所示，11
'6322
AP A P BP AB ====⨯=．
A P E
B
情形三：当'A 在BC 下方时，如图5所示，当'A B 的中垂线正好经过点D 时，'3A D BD ==，
则'3AA =
．则11'3)22AM AA ==
，∴1
3)
3x ==+ 则x
的取值范围是：33x <<
综上所示，x
的取值范围为03x <<
33x <<
A P
E
B M
A
P
M
E
图1 图2
A
()B F Q D
C
P
E
'
A P
E
A
()(')F B D A C
A
P
E
()
F
B
D Q C
'
A
图3 图4
图5
如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，BC =30C ∠=︒. 点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动. 设点D 、E 运动的时间是t 秒(0)t ＞. 过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接DE 、EF . （1）求证：AE DF =； （2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由； （3）当t 为何值时，DEF △为直角三角形？请说明理由. （1）在DFC △中，90DFC ∠=︒，30C ∠=︒，2DC t =，∴DF t =，
又∵AE t =，∴AE DF =；
（2）能.理由如下：∵AB BC ⊥，DF
BC ⊥，∴AE//DF .
又AE DF =，∴四边形AEFD 为平行四边形 ∵·tan 335350AB BC =⨯==，210.AC AB ∴==10 2.
AD AC DC t ∴=-=- 若使AEFD 为菱形，则需AE AD =. 即102t t =-，10.3
t = 即当10
3t =时，四边形AEFD 为
菱形；
（3）①90EDF ∠=︒时，四边形EBFD 为矩形.
在Rt AED △中，30ADE C ∠=∠=︒，∴2AD AE =. 即1022t t -=，52
t =
②90DEF ∠=︒时，由（2）知EF//AD ，∴90ADE DEF ∠=∠=︒，∵9060A C ∠=︒-∠=︒，
∴cos60AD AE =⋅︒. 即1
1022
t t -=， 4.t =
③90EFD ∠=︒时，此种情况不存在.
综上所述，当5
2
t =或4时，DEF △为直角三角形.
如图，四边形OABC 为直角梯形，(4,0)A ，(3,4)B ，(0,4)C ．点M 从O 出发以每秒2个单
位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．
（1）点_______（填M 或N ）能到达终点；
（2）求AQM △的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；
（3）是否存在点M ，使得AQM △与CNQ △相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
（1）点M 需要2秒运动到点A ，点N 需要3秒运动到点C ， 所以点M 能到达终点；故答案为M ； （2）存在．∵(4,0)A ，(3,4)B ，(0,4)C ， ∴4OA OC ==，3BC =， ∴OCA △为等腰直角三角形， ∴42AC =，45PAQ ACO ∠=∠=︒， ∴PAQ △和CQN △为等腰直角三角形，
∴PA PQ =，CN NQ =，2CQ CN =，2AQ AP =， ∵2OM t =，BN t =，42AM t =-，3CN t =-，
∴1PQ PA t ==+，2(1)AQ t =+，2(3)CQ t =-，
∴211
(1)(42)2(02)22
S PQ AM t t t t t =⋅⋅=⋅+⋅-=-++≤≤；
（3）∵QAM QCN ∠=∠，
∴当
MA QA
NC QC =
，MAQ NCQ ∽△△，423t t -=-， 解得1t =，此时M 点的坐标为(2,0)
当
MA QA
CQ NC =
时，MAQ QCN △△∽= 解得1
2
t =，此时M 点的坐标为(1,0)
综上所述，当M 点的坐标为(2,0)或(1,0)时，AQM △与CNQ △相似．。