冀教版数学八年级上册专训2巧用勾股定理求最短路径的长.docx

专训2 巧用勾股定理求最短路径的长
名师点金：求最短距离的问题，第一种是通过计算、比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)．
用计算法求平面中的最短问题
1．如图，A，B两块试验田相距200 m，C为水源地，AC＝160 m，BC＝120 m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到试验田A，B；
乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到线段AB上的H处，再从H分别向试验田A，B修筑水渠．
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由．
(2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
(第1题)
用平移法求平面中的最短问题
2．如图，小明在广场上先向东走10 m，又向南走40 m，再向西走20 m，又向南走40 m，再向东走70 m．则小明到达的终点与原出发点的距离是________．
(第2题)
(第3题)
3．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________．
用对称法求平面中的最短问题
4．某岛争端持续，我国海监船加大对该岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝45海里，OB＝15海里，该岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向此岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．
(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；
(2)求我国海监船行驶的路程BC的长．
(第4题)
5．高速公路的同一侧有A，B两城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km.要在高速公路上A′，B′之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最短．求这个最短距离．【导学号：42282077】
(第5题)
用展开法求立体图形中的最短问题类型1圆柱中的最短问题
6．如图，已知圆柱体底面圆的半径为6
π
，高为8，AB，CD分别是两底面的
(第6题)
直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是________．
类型2圆锥中的最短问题
7．如图，观察图形解答下面的问题：
(1)此图形的名称为________．
(2)请你与同伴一起做一个这样的图形，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________．
(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC 爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？
(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程．【导学号：42282078】
(第7题)
类型3长方体中表面的最短问题
8．如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃．求小虫爬行的最短路程．
(第8题)
类型4长方体容器壁的最短问题
9．有一个如图所示的长方体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深为AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．
(1)小虫应该走怎样的路线才能使爬行的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．
(2)求小虫爬行的最短路线长．
(第9题)
答案
1．解：(1)△ABC是直角三角形．理由如下：
因为AC2＋BC2＝1602＋1202＝40 000，AB2＝2002＝40 000，所以AC2＋BC2＝AB2.
所以△ABC是直角三角形．
(2)甲方案所修的水渠较短．
因为△ABC是直角三角形，由题可知∠ACB＝90°，CH⊥AB，
所以△ABC 的面积＝12AB ·CH ＝12
AC ·BC. 所以CH ＝AC ·BC AB ＝160×120200
＝96(m )． 因为AC ＋BC ＝160＋120＝280(m )，CH ＋AH ＋BH ＝CH ＋AB ＝96＋200＝296(m )，
所以AC ＋BC<CH ＋AH ＋BH ，
所以甲方案所修的水渠较短．
2．100 m 点拨：如图，作AC ⊥BC 于C ，连接AB.因为AC ＝40＋40＝80(m )，BC ＝70－10＝60(m )，所以AB 2＝602＋802＝1002
，则AB ＝100 m . (第2题)
3．10
4．解：(1)如图，连接AB ，作AB 的垂直平分线与OA 交于点C ，C 点即为所求．
(2)连接BC ，设BC ＝x 海里，则CA ＝x 海里，
在Rt △OBC 中，BO 2＋OC 2＝BC 2
，
∴152＋(45－x)2＝x 2.
解得x ＝25.
∴我国海监船行驶的路程BC 的长为25海里．
(第4题) 5．解：如图，作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则点P即为所建的出口．此时A，B 两城镇到出口P的距离之和最短，最短距离为AC的长．作AD⊥BB′于点D，在Rt△ADC中，AD＝A′B′＝8 km，DC＝6 km.所以AC2＝AD2＋DC2＝100，所以AC＝10 km.所以这个最短距离为10 km.
(第5题) 6．10 点拨：将圆柱体的侧面沿AD剪开并铺平得长方形AA′D′D，连接AC，如图所示．线段AC就
是小虫爬行的最短路程．根据题意，得AB＝6
π×2π×
1
2
＝6.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2
＝62＋82＝102.所以AC＝10.
(第6题)
7．解：(1)圆锥 (2)扇形
(3)能．把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC 为蜗牛爬行的最短路线．
(4)在Rt △ASC 中，由勾股定理，得AC 2＝102＋52
＝125.即AC ＝55，
故蜗牛爬行的最短路程为5 5. (第7题)
8．解：小虫从E 处沿盒子表面爬到C 处去吃蜜糖的较短路径可分为三种情况：
情况一：如图①，连接EC ，
在Rt △EBC 中，EB ＝12＋8＝20(cm )，BC ＝12
×30＝15(cm )． 由勾股定理，得EC 2＝202＋152
＝625，EC ＝25 cm .
(第8题)
情况二：如图②，连接EC.
由勾股定理，得EC2＝122＋(8＋15)2＝673.
情况三：如图③，连接EC.
由勾股定理，得EC2＝82＋(12＋15)2＝793.
因为625＜673＜793，
所以，小虫爬行的最短路程是25 cm.
9．解：(1)如图所示，作点A关于BC的对称点A′，连接A′G，与BC交于点Q，连接AQ. AQ＋QG为最短路线．
(第9题)
(2)∵AE＝40 cm，AA′＝120 cm，
∴A′E＝80 cm.
又∵EG＝60 cm，△A′EG是直角三角形，∴A′G2＝802＋602＝10 000，
∴A′G＝100 cm.
∴AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100 cm.
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∴最短路线长为100 cm.
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