2015高考数学一轮总复习课件：2.4 函数的概念、解析式及定义域

2．若已知函数的解析式，求函数的定义域，是指 出使函数恒有意义的自变量的取值范围．
3．求函数定义域时，一般遵循以下原则： ①f(x)是整式时，定义域是全体实数． ②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一 切实数． ③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负 值时的实数的集合．
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④对数函数的真数大于零；当对数或指数函数的底 数中含参数时，底数须大于零且不等于 1.
⑤y＝tan x 中，x≠kπ＋π2(k∈Z)． ⑥零指数幂的底数不能为零． ⑦若 f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算合 成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义 域的交集． ⑧对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题 具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑨由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意 义外，还要符合问题的实际意义．
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二、函数的定义域 例2(1)设 f(x)＝lg22＋－xx，则 fx2＋f2x的定义域为 ( B) A．(－4，0)∪(0，4) B．(－4，－1)∪(1，4) C．(－2，－1)∪(1，2) D．(－4，－2)∪(2，4)
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【点评】对于映射 f：M→N 的理解要抓住以下三 点：
①集合 M，N 及对应法则 f 是确定的，是一个整体， 是一个系统；
②对应法则 f 具有方向性，即强调从集合 M 到集 合 N 的对应，它与从 N 到 M 的对应关系是不同的；
③对于 M 中的任意元素 a，在 N 中有唯一元素 b 与之相对应．其要害在“任意”、“唯一”两词上．集 合 N 中的元素可以没有原象．
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三、函数解析式
例3(1)已知函数 f(x)(x≠0)，且 f(x)满足 f1x＋1xf(－
x)＝2x，则 f(2)的值是( D )
A．2.5
3
C．3.5
D．4.5
(2)已知 f(x)是一次函数，且 f[f(x)]＝4x＋3，则 f(x)
的解析式为_____f(_x_)_＝_－__2_x_－__3_或__f_(x_)_＝__2_x_＋__1_____；
【知识要点】 1．函数的概念 设 A，B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应 关系 f，使对于集合 A 中的___任__意__一__个_数__x___，在集合 B 中都有__唯__一____确定的数 f(x)和它对应，那么称 f：A→B 为 从 集 合 A 到 集 合 B 的 一 个 ___函__数___ ， 记 作 ： ____y＝__f_(_x_)，__x_∈__A______，其中 x 叫做自变量，x 的取值 范围 A 叫做函数的___定__义__域_____；与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 __值__域____．显然{f(x)|x∈A}⊆B.
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1．a，b 为实数，集合 M＝ba，1，N＝{a，0}，f：
x→2x 表示把集合 M 中的元素 x 映射到集合 N 中为 2x，
则 a＋b＝( C )
A．－2
B．0
C．2
D．±2
【解析】1ba× ×22＝ ＝a0， ，⇒ab＝＝20，. ⇒a＋b＝2.
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【解析】对于①，f(x，y)＝|x－y|≥0，满足(1)，f(x， y)＝|x－y|＝|y－x|＝f(y，x)，满足(2)，f(x，y)＝|x－y| ＝|(x－z)＋(z－y)|≤|x－z|＋|z－y|＝f(x，z)＋f(z，y)，满 足(3)，故①能够成为关于 x，y 的广义“距离”；
2．函数 f(x)＝ x－2＋x－1 3的定义域是( D ) A．[2，＋∞) B．[2，3) C．(－∞，3)∪(3，＋∞) D．[2，3)∪(3，＋∞) 【解析】由xx－－23≥≠00得 2≤x<3 或 x>3，故选 D.
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3．若函数 y＝f(x)的定义域为 M＝{x|－2≤x≤2}， 值域为 N＝{y|0≤y≤2}，则函数 y＝f(x)的图象可能是 (B )
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四、分段函数与创新函数 例4(1)若对任意 x∈A，y∈B，(A⊆R，B⊆R)有唯 一确定的 f(x，y)与之对应，则称 f(x，y)为关于 x、y 的 二元函数．现定义满足下列性质的二元函数 f(x，y)为 关于实数 x、y 的广义“距离”； (1)非负性：f(x，y)≥0， 当且仅当 x＝y 时取等号； (2)对称性：f(x，y)＝f(y， x); (3)三角形不等式：f(x，y)≤f(x，z)＋f(z，y)对任意 的实数 z 均成立．今给出三个二元函数： ①f(x，y)＝|x－y|；②f(x，y)＝(x－y)2；③f(x，y) ＝ x－y.能够成为关于的 x、y 的广义“距离”的函数 的序号是____①____．
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【解析】(1)令 2sinx＝0，得 x＝0 或 π 或 2π；
令 2sin x＝1，得 x＝π6或56π； 令 2sin x＝2，得 x＝π2. 由映射定义可知，A 中最多有 0、π6、π2、56π、π、2π 这 6 个元素．
(2)由于 y＝5 x5＝x 与 y＝|x|的对应法则不同，所以 A 错；由于 y＝ln ex＝x(x∈R)与 y＝eln x＝x(x>0)的定义 域不同，故 B 错；对于 C 选项，由于 y＝ （x＋3）x－（1x－1）＝x＋3(x≠1)与 y＝x＋3 的定义域不 同，故 C 错；而选项 D，y＝x0＝1(x≠0)与 y＝x10＝1(x≠0) 则完全相同，从而正确选项为 D.
(3)已知函数 f(x)＝2xa＋x 3x≠－32，且对不等于－32
的任何实数 x，满足 f[f(x)]＝x，则 a 的值为___－__3___．
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【解析】(1)将 f1x＋1xf(－x)＝2x 中的 x 换成－1x， 得 f(－x)－xf1x＝－2x.
解方程组f1x＋1xf（－x）＝2x， f（－x）－xf1x＝－2x，
(2)m＝0 时，显然符合题意．m≠0 时，由 m>0 且
Δ≤0，得 0<m≤1.
∴所求 m 的范围是[0，1]，故选 C.
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【点评】1.函数定义域：函数 y＝f(x)(x∈A)是一种 特殊的映射 f：A→B(A，B 是非空数集)，其原象集 A 就是函数的定义域．
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一、映射与函数的概念
例1(1)已知 f：x→2sin x 是集合 A(A⊆[0，2π])到集
合 B 的一个映射，若 B＝{0，1，2}，则 A 中的元素个
数最多为( A )
A．6
B．5
C．4
D．3
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(2)下列各组函数中，表示同一函数的是( D ) A．y＝5 x5与 y＝ x2 B．y＝ln ex 与 y＝eln x C．y＝（x－1）x－（1x＋3）与 y＝x＋3 D．y＝x0 与 y＝x10
(2)定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x＋2)＝2f(x)，当 x2－x，x∈[0，1），
x∈[0，2)时，f(x)＝－12x－32，x∈1，2，若 x∈[－ 4，－2)时，f(x)≥4t －21t恒成立，则实数 t 的取值范围是 ( D)
A.－2，0∪(0，1) B.－2，0∪1，＋∞ C.－2，1 D.－∞，－2∪0，1
第二章 函 数
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第二页，编辑于星期五：十二点 三十一分。
第4讲 函数的概念、解析式及 定义域
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【学习目标】 1．了解映射的概念，了解构成函数的要素，会求 一些简单函数的定义域、值域及函数解析式； 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择适当的 方法(图象法、列表法、解析法)表示函数； 3．了解简单的分段函数，并能简单应用； 4．掌握求函数定义域及解析式的基本方法．
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2．映射的概念 设 A，B 是两个集合，如果按照某种对应关系 f， 对于集合 A 中的____任__何__一__个____元素，在集合 B 中都 有 ___唯__一__确__定_____ 的 元 素 和 它 对 应 ， 那 么 这 样 的 ____对__应______(包括集合 A，B，以及集合 A 到集合 B 的对应关系 f)叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作： “___f_：__A_→__B____”． 3．函数的特点 ①函数是一种特殊的映射，它是由一个__非__空_数__集___ 到另一个__非__空__数__集____的映射； ②函数包括定义域 A、值域 B 和对应法则 f，简称 函数的___三__要__素____； ③关键是___对_应__法__则__f__．
解得 f(－x)＝x2－1x. ∴f(x)＝x2＋1x， 从而 f(2)＝22＋12＝4.5，故选 D.
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(2)设 f(x)＝ax＋b，则 f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b) ＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，
∴aab2＝＋4b，＝3，解得ab＝＝－－23，或ab＝＝21，. 故所求的函数为 f(x)＝－2x－3 或 f(x)＝2x＋1. (3)由题可得 f[f(x)]＝2a·2·xa＋2xxa3＋x＋33＝（2a＋a62x）x＋9 ＝x 对于 x≠－32恒成立，即(2a＋6)x2＋(9－a2)x＝0 对 于 x≠－32恒成立，所以有2aa2－＋96＝＝00，，解得 a＝－3.故 应填－3.
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【点评】根据已知条件求函数的解析式常用待定系 数法、换元法、配凑法、赋值法、解方程组法等．
①当所求函数的解析式的形式已知(如二次函数、 指数函数等)常用待定系数法．
②已知 f[g(x)]的表达式，求 f(x)的表达式，常用配 方法或换元法．
③由简单的函数方程求函数的表达式，常用赋值法 及解方程组法．
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4．函数的表示法 函数的表示法：_解__析__法___、__列_表__法___、__图_象__法___． 5．判断两个函数为同一个函数的方法 两个函数的___定__义__域__和_对__应__法__则____完全相同(当值 域未指明时)，则这两个函数相等． 6．分段函数 若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用 几个式子表示函数，这种形式的函数叫__分__段__函__数____． 注意：不要把分段函数误认为是多个函数，它是一 个整体，分段处理后，最后写成一个函数表达式．
对于②，不妨令 x＝y＝2，则有 x－x＋2 y＝x＋2 y－y ＝1，此时(x－y)2＝4，而x－x＋2 y2＝x＋2 y－y2＝1.
故 f(x，y)≤f(x，z)＋f(z，y)不成立，所以②不满足； 对于③，f(x，y)＝ y－x无意义．故③也不满足．
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(2)若函数 y＝ mx2－6mx＋9的定义域是 R，则 m
的取值范围是( C ) A．m≤0 或 m≥1
B．m≥1
C．0≤m≤1
D．0<m≤1
【解析】(1)由 f(x)＝lg22＋－xx，求得 f(x)的定义域为(－
2，2)，∴fx2＋f2x应满足－－22<<x22x<<22，， 解得－4<x<－1 或 1<x<4，故选 B.
【解析】注意定义域和值域的限制，只有 B 正确．
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4．设函数 f(x)＝1x－2＋xx2，－x2≤，1x，>1，则 ff（12）＝ 15 ___1_6____．
【解析】∵f(2)＝4，∴ff（12）＝f14＝1－116＝1156.
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