高中数学 第1章 三角函数 1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象教案(含解析)新人教A版必修4

1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解参数A 、ω、φ对函数y ＝A sin(ωx ＋
φ)的图象的影响，能够将y ＝sin x 的图象进
行变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．(重、难点)
2.会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图；能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象确定解析式．(重点)
3.求函数解析式时φ值的确定．(易混点)
1.通过观察参数A 、ω、φ对函数y ＝
A sin(ωx ＋φ)图象变化的影响，领会由简单
到复杂、由特殊到一般的化归思想，提升学生直观想象素养.
2.通过对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象和性质的研究，使学生体会数形结合思想的作用，提升数学抽象素养.
1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响
2．ω(ω＞0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响
3．A (A ＞0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响
4．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
①先平移后伸缩
y ＝sin x 的图象
―――――――――――――――→向左（φ＞0）或向右（φ＜0）
平移|φ|个单位长度
y ＝sin(x ＋φ)的图象
―――――――――――→横坐标变为原来的1
ω倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)的图象―――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍
横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图
象．
②先伸缩后平移
y ＝sin x
的图象―――――――――――→横坐标变为原来的1
ω倍
纵坐标不变
y ＝sin ωx
的图象
――――――――――――――→向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平移|φ|ω
个单位长度
y ＝sin(ωx ＋φ)的图象――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍
横坐标不变
y ＝A sin(ωx
＋φ)的图象．
思考：由函数y ＝sin ωx 的图象平移多少个单位得到y ＝sin(ωx ＋φ)个单位？为什么？ [提示] 平移|φ|ω
个单位，而不是平移|φ|单位，原因是图象的变换是针对x 而言，并
非针对ωx 而言．
5．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A ＞0，ω＞0中参数的物理意义
1．函数y ＝sin 4x 的图象可由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到( ) A ．所有点的横坐标变为原来的4倍 B ．所有点的横坐标变为原来的14
C ．所有点的纵坐标变为原来的4倍
D ．所有点的纵坐标变为原来的1
4
B [y ＝sin x 图象上所有点的横坐标变为原来的1
4后变为y ＝sin 4x 的图象．]
2．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度 B ．向右平移π
12个单位长度
C ．向左平移π3个单位长度
D ．向右平移π
3
个单位长度
B [y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，故只需将y ＝sin 4x 图象向右平移π12个单位即可得
到．]
3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为5，则A ＝________．
4 [由已知得A ＋1＝5，故A ＝4.]
4．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x －π6的频率为________，相位为________，初相为________．
14π12x －π6 －π6[频率为1T ＝1
22π＝14π， 相位为12x －π6，初相为－π6
.]
作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)
的图象
【例1】 用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在一个周期内的简图．
思路点拨：列表、描点、连线、成图是“五点法”作图的四个基本步骤，令3x ＋π6取0，π2，π，3π
2
，2π即可找到五点．
[解] 先画函数在一个周期内的图象．令X ＝3x ＋π6，则x ＝13⎝
⎛⎭⎪⎫
X －π6，列表如下：
X 0 π2 π 3π
2
2π
x
－
π18 π9 5π18 4π9 11π18
y 0 2 0 －2 0
1．本例中把“一个周期内”改为“⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3”
，又如何作图？
[解] ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，∴3x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，13π6，
列表如下：
3x ＋π
6
π6
π2
π
3π2
2π
13π
6
x 0 π9 5π18 4π9 11π
18 2π3 y
1
2
－2
1
描点，连线
2．本例中，把“五点法”改为“图象变换法”，怎样画法？ [解] 法一：(先平移再伸缩)
y ＝sin x ―――――――――→向左平移π
6个单位
y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6
横坐标变为原来的1
3倍
纵坐标不变y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6――――――――――→纵坐标变为原来的2倍横坐标不变y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6.
法二：(先伸缩再平移)
y ＝sin x ―――――――――――→横坐标变为原来的13倍纵坐标不变y ＝sin 3x ―――――――――→向左平移π
18个单位y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋π6―――――――――――→纵坐标变为原来的2倍横坐标不变
y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6.
1．确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象一般有两种方法： (1)“五点法”； (2)图象变换法．
2．用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x 轴相交的点．
3．用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的步骤是： 第一步：列表：
ωx ＋φ 0 π2 π 32π 2π x
－
φω
π2ω－φω
πω－φω
3π2ω－φω
2πω－φω
y 0 A 0 －A 0
第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．
1．已知f (x )＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，画出f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象． [解] 列表：
x
－π2
－
3π8
－π8 π8 3π8 π2 2x －π
4
－
5π4
－π －
π2
0 π2 3π4 f (x ) 2 1
1－ 2
1
1＋ 2
2
三角函数图象之间的变换
【例2】 (1)将函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3的图象向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为____________．
(2)将y ＝sin x 的图象怎样变换可得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象？
思路点拨：(1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式． (2)法一：y ＝sin x →纵坐标伸缩→横坐标伸缩和平移→向上平移． 法二：左右平移→横坐标伸缩→纵坐标伸缩→上下平移．
(1)y ＝－2cos 2x －3 [y ＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π3个单位长度，
得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3＝2cos(2x ＋π)＝－2cos 2x ，
再向下平移3个单位长度得y ＝－2cos 2x －3的图象．]
(2)[解] 法一：(先伸缩法)①把y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，
得到y ＝2sin x 的图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2倍，得y ＝2sin 2x
的图象；③将所得图象沿x 轴向左平移π8个单位，得y ＝2sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π8的图象；
④将所得图象沿y 轴向上平移1个单位， 得y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象．
法二：(先平移法)①将y ＝sin x 的图象沿x 轴向左平移π4个单位，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的
图象；②将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象；③把所
得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象；④将所得图象沿y
轴向上平移1个单位，得y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1的图象．
1．本例(2)中，若两个函数若互换，那么将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1图象怎样变换可得
到函数y ＝sin x 的图象？
[解]y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1――――――――――→向下平移1个单位 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4――――――――――→纵坐标变为原来的1
2倍横坐标不变y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4―――――――――→横坐标变为原来2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4――――――――→向右平移π
4个单位
y ＝sin x . 2．本例(2)中把“y ＝sin x ”改为“y ＝cos x ”，该怎样变换？
[解]y ＝cos x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2，
y ＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2――――――――→向右平移π4个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ―――――――――→横坐标变为原来1
2倍
纵坐标不变
y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π4
―――――――――→纵坐标变为原来2倍横坐标不变y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ――――――――→向上平移1个单位y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.
由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：
(1)y ＝sin x ――――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――――→周期变换
y ＝sin(ωx ＋φ) ――――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．
(2)y ＝sin x ――――→周期变换y ＝sin ωx ――――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω
)]＝sin(ωx ＋φ)――――→振幅变换y
＝A sin(ωx ＋φ)．
提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω
个单位，这是很易出错的地方，
应特别注意．
2．(1)要得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( )
A ．向左平移π8个单位
B ．向右平移π
8个单位
C ．向左平移π4个单位
D ．向右平移π
4
个单位
(2)把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π
6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再
把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x ＋π3，
则f (x )的解析式是( )
A ．f (x )＝3cos x
B ．f (x )＝3sin x
C ．f (x )＝3cos x ＋3
D ．f (x )＝sin 3x (1)A (2)A [(1)因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4
＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4
＝sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π8， 所以将y ＝sin 2x 的图象向左平移π
8个单位，
得到y ＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象．
(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3――――→纵坐标伸长到原来的3
2
倍
y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x ＋π3
――――――→横坐标缩短到原来的1
2
倍
y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3――――――→向左平移π
6个单位
y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3 ＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2
＝3cos x ．]
已知函数图象求解析式
【例3】 (1)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )
A ．y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4＋4
B ．y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋4
C ．y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4＋2
D ．y ＝4cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π4＋2 (2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)中A ＞0，ω＞0，|φ|＜π
2，且图象如图所示，求其解析
式．
思路点拨：由最大(小)值求A 和B ，由周期求ω，由特殊点坐标解方程求φ. (1)A [由函数f (x )的最大值和最小值得
A ＋
B ＝6，－A ＋B ＝2，所以A ＝2，B ＝4，
函数f (x )的周期为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2×4＝4π.又ω＞0，
所以ω＝12，又因为点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，6在函数f (x )的图象上， 所以6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2＋φ＋4，所以cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋φ＝1， 所以π4＋φ＝2k π，k ∈Z ，所以φ＝2k π－π
4，k ∈Z ，
又|φ|＜π2
，
所以φ＝－π4，所以f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x －π4＋4.]
(2)[解] 法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A ＝3，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π6＝π，所以ω
＝2，又由点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，根据五点作图原理(可判为“五点法”中的第一点)－π6×2＋φ＝0得φ＝π
3
，
所以f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 法二：(方程法)由图象知，振幅A ＝3，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π6＝π，所以ω＝2，
又图象过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝3sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，－π3＋φ＝k π(k ∈Z )．又因为|φ|＜π2，所以k ＝0，φ＝π3，
所以f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.
法三：(变换法)由图象知，振幅A ＝3，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π6＝π，所以ω＝2，且f (x )＝A sin(ωx
＋φ)是由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位而得到的，解析式为f (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝
3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.
确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω已知)或代入图象与x 轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－φ
ω
，0作为突破
口．“五点”的ωx ＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π
2；
“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π
2；
“第五点”为ωx ＋φ＝2π.
3.设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R 的部分图象如图所示，则A ＋ω＋φ＝________．
3＋
π6 [由图象可以看出A ＝2，由T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6
－π3＝2π，由2πω＝2π得ω＝1，又
2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋φ＝2且－π2＜φ＜π2得φ＝π6，所以A ＋ω＋φ＝2＋1＋π6＝3＋π6.]
三角函数图象与性质的综合应用
1．如何求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴方程？
提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x 轴．
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π＋
π
2(k ∈Z )，则x ＝（2k ＋1）π－2φ
2ω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程
为x ＝（2k ＋1）π－2φ2ω
(k ∈Z )；
函数y ＝A cos(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝
k π(k ∈Z )，则x ＝k π－φ
ω(k ∈Z )，所以函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程为x ＝
k π－φ
ω
(k ∈Z )． 2．如何求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称中心？
提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)图象的对称中心即函数图象与x 轴的交点．
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，则x ＝
k π－φω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫k π－φω，0(k ∈Z )成中心
对称；
函数y ＝A cos(ωx ＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π＋π
2
(k ∈Z )，则x ＝
（2k ＋1）π－2φ
2ω
(k ∈Z )，所以函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象关于点
⎝ ⎛⎭
⎪⎫（2k ＋1）π－2φ2ω，0(k ∈Z )成中心对称． 【例4】 (1)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，且f (x )在区间
⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝( )
A ．23
B ．143
C ．263
D ．38
3
(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0≤φ＜π)是R 上的偶函数，其图象关于点
M ⎝
⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值． 思路点拨：(1)先由题目条件分析函数f (x )图象的对称性，何时取到最小值，再列方程求
ω的值．
(2)先由奇偶性求φ，再由图象的对称性和单调性求ω.
(1)B [因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，所以直线x ＝π6＋
π
32＝π4是函数f (x )图象的一条对称轴． 又因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，
所以当x ＝π
4
时，f (x )取得最小值．
所以π4ω＋π3＝2k π－π2，k ∈Z ，解得ω＝8k －10
3
(k ∈Z )．
又因为T ＝2πω≥π3－π6＝π
6，所以ωω＞0，
所以k ＝1，即ω＝8－103＝14
3
.]
(2)[解] 由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即函数f (x )的图象关于y 轴对称， ∴f (x )在x ＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1. 依题设0≤φ＜π，∴解得φ＝π
2.
由f (x )的图象关于点M 对称，可知 sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫3π4ω＋π2＝0，即3π4ω＋π2＝k π，解得ω＝4k 3－23，k ∈Z .
又f (x )在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数， 所以T ≥π，即2π
ω
≥π.
∴ω≤2，又ω＞0，
∴k ＝1时，ω＝2
3；k ＝2时，ω＝2.
故φ＝π2，ω＝2或2
3
.
1．将本例(2)中“偶”改为“奇”，“其图象关于点M ⎝
⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上
是单调函数”改为“在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2
，π2上为增函数”，试求ω的最大值．
[解] 因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝sin φ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0. 因为f (x )＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤－
π2ω，π2ω上是增函数． 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2
，π2⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω，于是⎩⎪⎨⎪⎧ω＞0，
－3π2
≥－π2ωπ2≤π2ω，
，解得0＜ω≤13， 所以ω的最大值为1
3
.
2．本例(2)中增加条件“ω＞1”，求函数y ＝f 2
(x )＋sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π8，π8的最大值．
[解] 由条件知f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x .
由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8得2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，sin 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22
，22，
y ＝f 2
(x )＋sin 2x ＝cos 2
2x ＋sin 2x ＝1－sin 2
2x ＋sin 2x ＝－⎝
⎛⎭⎪⎫sin 2x －122
＋54.
所以当sin 2x ＝12时，y max ＝5
4
.
1．正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法
正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和余弦型函数y ＝A cos(ωx ＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数，当φ＝k π±π
2(k ∈Z )时为偶函数；
对于函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数，当φ＝k π±π
2(k ∈Z )时为奇函
数．
2．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx ＋φ看作一个整体，可令“z ＝ωx ＋φ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间而求出函数的单调区间．若ω＜0，则可利用诱导公式先将x 的系数转变为正数，再求单调区间．
1．本节课的重点是五点法作图、图象变换及由三角函数的图象确定解析式，难点是图象变换及由三角函数的图象确定解析式．
2．函数图象的画法有两种：一是五点法；一是图象变换法． 3．A ，ω，φ对函数图象的影响．
(1)φ的不同取值，决定着y ＝A sin(ωx ＋φ)的起始位置(x ＝0)；
(2)ω的取值，决定了函数图象的横坐标的取值情况，进而决定了函数的周期； (3)A 的取值情况，决定了函数图象的最高点和最低点，即函数的值域．
1．下列判断正确的是( )
A ．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8的图象向右平移π8个单位可得到函数y ＝sin x 的图象
B ．将函数y ＝sin 3x 的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍即可得到函数y ＝sin x
的图象
C ．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x －π12的图象
D ．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象是由函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π6个单位得到的 B [A 错，应该向左平移π8个单位；C 错，横坐标伸长到原来的2倍，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x －π6；
D 错，应该向右平移π24
个单位，只有B 正确．]
2．函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
3x ＋π6的周期、振幅、初相分别是( )
A ．3π，13，π
6
B ．6π，13，π
6
C ．3π，3，－π
6
D ．6π，3，π
6
B [y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π6的周期T ＝2π13
＝6π，振幅为13，初相为π
6
.]
3．由y ＝3sin x 的图象变换到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x ＋π3的图象主要有两个过程：先平移后伸缩
和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位．
π32π3[y ＝3sin x ―――――→向左平移
π
3个单位y ＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3
――――――――→横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，
y ＝3sin x ―――――――――→横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ――――――――→向左平移2π
3个单位 y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π
3.] 4．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π6＋3(x ∈R )，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的
图象．
[解] (1)列表：
x 2＋
π
6
π
2
π
3π
2
2π
f(x)3630 3 (2)描点画图：。