数字信号处理课程设计报告基于inverse_sinc_fir的数字低通滤波器

南华大学数字信号处理课程设计
学院：电气工程学院
学生姓名：潘艺
专业班级：电子091班
题目编号：0204
设计题目： inverse sinc技术低通滤波器
起止时间： 2012年12月26日至2013年1月11日指导老师：陈忠泽
2013年1月15日
一、设计要求与目的
了解和掌握设计Inverse Sinc FIR的数字低通滤波器的原理和低通滤波器的原理。

基于Inverse Sinc Lowpass思想设计一个数字低通滤波器。

数字低通滤波器的设计指标：
（1）通带截止频率=0.49192πrad，
（2）过渡带宽度=0.09πrad，
（3）滚降=36dB，id=45。

二、Inverse Sinc FIR的数字低通滤波器设计思想
1、基本原理
（1）FIR滤波器简介
FIR滤波器（有限脉冲响应滤波器）是一种既能够保证幅度特性满足技术要求，又能够做到有严格的线性相位特性。

其系统函数为：
H(Z)= ∑-
=-
1
) (
N n
n
z n
h
H(Z)是
1
-
Z的N-1 的多次项，他在Z平面内有N-1个零点，在原点有一个N-1重极点。

因此H(Z)永远稳定。

稳定和线性相位是FIR滤波器最突出的特点。

数字滤波器一般需要用递归模型来实现，因而有时也称之为递归滤波器。

FIR滤波器的冲激响应只能延续一定时间，在工程实际中可以采用递归的方式实现，也可以采用非递归的方式实现。

3、设计内容
1 确定“数字低通滤波器”设计指标；
2 设计Inverse Sinc Lowpass；
而数字低通滤波器的性能指标：
（1）通带截止频率=0.49192πrad，
（2）过渡带宽度=0.09πrad，
（3）滚降=36dB，id=45。

实际带宽减去理想带宽/理想带宽=滚降系数，阻带滚降越厉害，阻带内的最小衰减就越大。

总结数字低通的设计步骤： 设fs=8000Hz 通带截
止
频
率
ω
pc =0.49192
πrad ，
Hz 68.19672/f s pc pc ==Ωπω=1.96768kHz
过渡带宽度0.09500
d
tz s p i rad rad ωπωωπ∆≤
=-=，0.36tz f kHz ∆= 阻带起始频率st ω=0.09πrad +0.49192πrad =0.58192πrad ，
Hz 68.23272/f s st st ==Ωπω
b).因为H d (e
ω
j )={
,
0,ωτj e -
其他
||c
ωω≤
首先由所需低通滤波器的过渡带求截止频率c Ω
c Ω=2
1
(pc Ω+st Ω)=2147.68Hz
其对应的数字频率为
c ω=
s
c
f Ω=2s
c
ΩΩπ
=0.53692π 通带最大衰减为p α，阻带最小衰减为s α
通带最大衰减a p =1dB
阻带最小衰减a s =36dB
Inverse Sinc Lowpass滤波器设计
Matlab程序：
通过matlab中的fadtool工具和Inverse Sinc Filter Design Dialog Box能够很好的协助设计Inverse Sinc Lowpass滤波器。

%fdesign.isinclp('Fp,Fst,Ap,Ast')
%Ast —attenuation in the stopband in decibels (the default units). Also called Astop.
%Ap —amount of ripple allowed in the passband in decibels (the default units). Also called Apass.
%Fp — frequency at the start of the passband. Specified in normalized frequency units. Also called Fpass.
%Fst — frequency at the end of the stopband. Specified in normalized frequency units. Also called Fstop.
d = fdesign.isinclp(0.49192, 0.58192,1,36);%前两个频率需归一化和后两个单位dB hd = design(d,'equiripple'); fvtool(hd);
Normalized Frequency (⨯π rad/sample)
M a g n i t u d e (d B )
Magnitude Response (dB)
Normalized Frequency (⨯π rad/sample)
P h a s e (r a d i a n s )
P hase Response
求得h(n)长度为33，系数如下：
h=[0.006378391 -0.015779155 -0.024288317 0.001128761 0.017887846 -0.010458761 -0.02262474 0.01946766 0.026849823 -0.033645542 -0.031051936 0.057605389 0.035526688 -0.108429032 -0.045473089 0.321975694 0.552994587 0.321975694
-0.045473089 -0.108429032 0.035526688 0.057605389 -0.031051936 -0.033645542 0.026849823 0.01946766 -0.02262474 -0.010458761 0.017887846 0.001128761 -0.024288317 -0.015779155 0.006378391] 其中，
h(0)= 0.0063783905466236416=h(32) h(1)= -0.015779155415281004=h(31) h(2)= -0.024288316897730373=h(30) h(3)= 0.0011287610293565845=h(29) ……
h(15)= 0.32197569395966075=h(17) h(16)= 0.55299458675125945=h(16)
则设计的Inverse Sinc FIR 的数字低通滤波器的系统函数为：
∑-=-=
1
)()(N n
n
L z n h z H
根据上述所求h （n)即可求得)(z H L
Samples
A m p l i t u d e
Impulse Response
脉冲响应
Samples
A m p l i t u d e
Step Response
阶跃响应
-1
-0.5
0.5
1
Real P art
I
m
a
g
i
n
a
r
y
P
a
r
t
32
P ole/Zero P lot
极零点图
三、滤波器的不同结构对性能指标的影响
在理想状态下，对于同一个传递函数几乎对应着无数种等效结构，然而这些结构却并不一定都能实现。

在无限参数字长的情况下，所有能实现传递函数的结构之间，其表现完全相同。

然而，在实际中，由于参数字长有限的限制，各实现结构的表现并不相同。

下面我们就将对比直接型线性相位结构和直接型多相滤波结构在本例中对性能指标的影响。

在MA TLAB中可以利用FDATOOL工具箱构建不同类型的数字滤波器。

在此为了使对比效果明显，我们不妨先将将上述初步设计的Inverse Sinc FIR的数字低通滤波器的设计参数的字长（即转移函数中的系数）进行保留小数点后3位的进一步的缩减。

缩减后的参数如下：
Numerator=[0.028 0.053 0.071 0.053 0.028]
Denominator=[1.000 -2.026 2.148 -1.159 0.279]
将上述参数输入FDATOOL中的filter coefficients工具中如下图所示。

filter coefficients工具工作界面
1、利用直接型结构构建数字滤波器
G hp(z)=
4
-
3
-
2
-
1
-
4
-
3
-
2
-
1
-
279
.
159
.
1
-
148
.
2
.026
2
-
000
.
1
028
.
053
.
071
.
053
.
028
.
z
z
z
z
z
z
z
z
+
+
+
+
+
+
Y(n)=[0.028x(n)+0.053x(n-1)+0.071x(n-2)+0.053x(n-3)+0.028x(n-4)]+[x(n)-2.026x(n-1)+2.148x (n-2)-1.159x(n-3)+0.279x(n-4)]
x(n) 0.028 1 y(n)
0.053 2.026 0.071 -2.148
0.053 1.159
直接型I 型结构流图
直接型线性相位结构滤波器的典型频率响应表达式为：
()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛--+
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=∑-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=21cos 2211210N n n h N h H N n g ωω
选择filter structure 选项框中的 Direct-Form I Transposed 选项，点击窗口下方的Import
Filter 按钮，构建直接型线性相位结构的Inverse Sinc FIR 的数字低通滤波器，结果如图所示：
Direct-Form I 结构的滤波器幅频响应图
读图可以得直接型多相滤波结构的滤波器技术指标（f pc ，∆f tz ，单位为kHz ；
roll α,单位为dB ）如表1所示：
性能指标
初始设计指标 直接型线性相位结构
△ f pc
1.96768 1.967285 -0.000395 ∆f tz
0.36
0.346192
-0.013808
从表1中可以看出，采用直接型多相滤波结构构成的滤波器： ⑴滤波器幅频曲线在通带和阻带内波动较均匀。

⑵出现了衰减roll α上升了1.14677dB ，
⑶ f pc ，∆f tz 分别较初始设计分别减少了0.000395kHz 和0.013808kHz 。

2、利用级联结构构建数字滤波器
将G hp (z)= 4
-3-2-1-4
-3-2-1-279.0159.1-148.2.0262-000.1028.0053.0071.0053.0028.0z
z z z z z z z ++++++因式分解， syms z
factor((0.028*z^0
+0.053*z^(-1)+0.071*z^(-2)+0.053*z^(-3)+0.028*z^(-4) )/(1.000*z^0-2.026*z^(-1) +2.148*z^(-2)-1.159*z^(-3)+0.279*z^(-4)) )
G hp (z) =0.028(1+1.5464*z^(-1) + z^(-2) )(1+0.3466*z^(-1) + z^(-2))/( (1-1.0646*z^(-1) +0.7549z^(-2) )(1-1.0646*z^(-1) + 0.3696z^(-2))
G hp (z)=)
0.3696z + 1.0646z -)(1 0.7549z +1.0646z -(1)
z 0.3466z +)(1z 1.5464z +0.028(12
-1-2-1--2-1-2-1++ 得到：
x(n) 1 0.028 1 1 y(n)
级联型的结构流图
选择Edit 下拉菜单中点击 Convert to Second-order Sections 选项，将构建好的Direct-Form I 结构的Inverse Sinc FIR 的数字低通滤波器转换为级联滤波器，结果如下图所示。

级联型结构滤波器幅频响应图
α,单读图可以得直接型线性相位结构的滤波器技术指标（f pc，∆f tz，单位为kHz；roll
位为dB）如表2所示：
性能指标）初始设计指标直接型线性相位结构△
f pc 1.96768 1.967773 0.000093
∆f tz0.36 0.355469 -0.004531
α36 36.12895 0.12895
roll
由图3和表1可以看出：
⑴滤波器幅频曲线在通带和阻带内波动较均匀。

α上升了0.12895dB，
⑵出现了衰减
roll
⑶f pc，∆f tz分别较初始设计分别增加了0.000093kHz和减少了0.004531kHz。

两种结构滤波器对指标影响比较与原因分析
比较表1和表2发现：在参数字长仅保留了小数点后3位的情况下，两种结构的滤波器较初始设计在性能指标方面均有误差。

但是级联型结构滤波器结构误差受有限参数字长的影
α与设计要求相应的性响较Direct-Form I更小一些，主要表现在：直接型线性相位结构和
p
能间的差的绝对值。

此外，直接型和级联型的幅频响应曲线的通带的波动均不稳定，这是其一大缺点。

造成这一现象的原因是：直接型线性相位结构滤波器的系数不是直接决定单个零极点，因而不能很好的进行滤波器性能的控制；此外直接型线性相位结构滤波器的极点对参数的变化过于敏感，从而使得系统的频率响应对参数的变化也特别敏感，也就是对参数的有限字长运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。

小结
在受实际条件限制，参数字长有限的情况下，级联型结构滤波器结构对参数变化的反应要比Direct-Form I结构的更低，性能指标误差更小，滤波器失真更小，滤波效果更好，更能符合设计指标的要求。

四、参数字长对性能指标的影响
在实际的数字滤波器的设计中，由于计算机或DSP芯片等的字长和存储空间有限，所
以也只能对设计参数取有限的字长进行设计。

然而，如果字长太短，则设计的滤波器误差就会太大，造成滤波效果不佳。

下面就将以上述性能指标为依据，初始设计的Inverse Sinc FIR 的数字低通滤波器为例，研究不同参数字长对性能指标的影响。

并为合适参数字长的确定探索规律。

将计算获得的低通数字滤波器的系数输入FDATOOL的filter coefficients工具中，并点击Import Filter按钮，生成数字滤波器。

在Direct-Form I Transposed结构滤波器下，运用
FDATOOL左下侧一列按键中的按钮，在filter arithmetic下拉菜单下选择Fixed Point
选项，进入下图所示的界面。

Set quantization parameters工作界面
通过改变numerator word length的值便可以改变参与构建滤波器的参数字长。

1、参数字长取2位对性能指标的影响
将numerator word length、numerator frac. length的值均改为2，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如下图所示：
参数字长取2位时的滤波器幅频响应曲线图
图7中的虚线为供参考的理想字长下生成的滤波器的幅频响应曲线，图中实线为参数字长取为2位时的滤波器幅频响应曲线。

从图中可以看出：字长为2位时，滤波器幅频响应曲线是条直线，远远不能满足设计指标的要求。

2、参数字长取4位对性能指标的影响
将numerator word length、numerator frac. length的值均改为4，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如下图所示：
参数字长取4位时的滤波器幅频响应曲线图
虚线为供参考的理想字长下生成的滤波器的幅频响应曲线，图中实线为参数字长取为4位时的滤波器幅频响应曲线。

从图中可以看出：字长为4位时，滤波器的各项性能指标离设计指标偏差很大，滤波器失真明显，滤波效果很差，远远不能满足设计指标的要求。

3、参数字长取6位对性能指标的影响
将numerator word length、numerator frac. length的值均改为6，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如下图所示：
参数字长取6位时的滤波器幅频响应曲线图
由图可以看出，当参数字长取为6位时，幅频曲线失真进一步减小，已经初具低通滤波器的形制。

但性能指标远未达到设计要求，误差还是很大。

4、参数字长取8位对性能指标的影响
将numerator word length、numerator frac. length的值均改为8，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如下图所示：
参数字长取8位时的滤波器幅频响应曲线图
由图可以看出，当参数字长取为8位时，幅频曲线失真进一步减小，但仍可以看出。

性能指标与设计要求的差值继续减小，也已不明显；通带最大衰减频率和阻带最小衰减频率与设计指间标误差还是有一定的差距，距离设计要求仍可以进一步接近。

5、参数字长取10位对性能指标的影响
将numerator word length、numerator frac. length的值均改为10，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如下图所示：
参数字长取10位时的滤波器幅频响应曲线图
由图看出，当参数字长取为10位时，幅频曲线失真进一步减小，但程度已经很小，失真几乎可以忽略。

截止频率改善的程度也变得很小；通带最大衰减和阻带最小衰减仍然和设计要求仍有一定的差距，不可以忽略。

6、参数字长取12位对性能指标的影响
将numerator word length、numerator frac. length的值均改为12，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如下图所示：
参数字长取12位时的滤波器幅频响应曲线图
由图看出，当参数字长取为12位时，幅频曲线失真进一步减小，但程度已经很小，失真几乎可以忽略。

截止频率改善的程度也变得很小；通带最大衰减和阻带最小衰减仍然和设计要求仍有一定的差距，不可以忽略。

7、参数字长取14位对性能指标的影响
将numerator word length、numerator frac. length的值均改为14，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如下图所示：
参数字长取14位时的滤波器幅频响应曲线图
由图看出，当参数字长取为14位时，幅频曲线失真进一步减小，但程度已经很小，失真几乎可以忽略。

截止频率改善的程度也变得很小；通带最大衰减和阻带最小衰减仍然和设计要求仍有一定的差距，不可以忽略。

8、参数字长取16位对性能指标的影响
将numerator word length、numerator frac. length的值均改为16，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如下图所示：
参数字长取16位时的滤波器幅频响应曲线图
由图可以看出，当参数字长取为16位及以上时，幅频曲线失真几乎为零，设计的曲线与要求的曲线几乎完全重合。

截止频率，同组带衰减也与设计要求几乎完全相同。

设计的滤波器各项性能指标达到设计要求。

小结
总结以上8个步骤发现：参数字长越长，设计出的滤波器就越符合设计指标要求，误差越小，稳定性越好。

且当参数字长达到16位及以上位时，设计的滤波器便可达到设计性能指标。

总结
通过本课程设计，我掌握了Inverse Sinc Lowpass滤波器的设计原理以及步骤，学会了应用MATLAB编写程序，学会了其强大的fadtool工具和Inverse Sinc Filter Design Dialog Box，熟悉了它的使用方法与注意事项。

在设计过程中，发现有很多知识点存在盲点，在查阅了相关资料后方有所感悟，数字信号处理博大精深，不是一朝一夕就能完全掌握，还有待于老师的孜孜教诲，学习需要与实践相结合，自己推公式是个很有必要的过程，通过本次设计，我受益匪浅，好好学习，知识体系结构还有待完善。