2021-2022学年浙江省嘉兴市平湖城关中学高三数学理月考试卷含解析

2021-2022学年浙江省嘉兴市平湖城关中学高三数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递减的是
（A）y= -ln|x| （B）y=x3 （C）y=2|x|（D）y=cosx-
（
参考答案：
A
略
2. 设点P（）满足不等式组，则的最大值和最小值分别为（）
A B C D
参考答案：
A
略
3. 函数的图象大致是
参考答案：
D
4. 己知集合，则= ( )A． {0,1,2} B．[0,2] [C．{0,2} D．（0,2）
参考答案：
A
5. 函数的单调递减区间是（）
A. B. C. D.
参考答案：
【知识点】导数法求函数的单调区间.B12
【答案解析】A 解析：函数的定义域为，由得：，所以函数的单调递减区间是，故选A.
【思路点拨】先求定义域，然后求导函数小于零的解集.
6. 已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|（x+2）（x﹣1）＞0}，则A∩B等于（）
A．（0，3）B．（1，3）C．（2，3）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）
参考答案：
B
【考点】交集及其运算．
【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．
【解答】解：集合A={x|0＜x＜3}，
B={x|（x+2）（x﹣1）＞0}={x|x＜﹣2或x＞1}，
所以A∩B={x|1＜x＜3}=（1，3）．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．
7. 已知集合，，若
，则a，b之间的关系是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
先设出复数z，利用复数相等的定义得到集合A看成复平面上直线上的点，集合B可看成复平面上圆的点集，若A∩B＝?即直线与圆没有交点，借助直线与圆相离的定义建立不等关系即可．
【详解】设z＝x+yi，,则（a+bi）（x﹣yi）+（a﹣bi）（x+yi）+2＝0
化简整理得，ax+by+1＝0即，集合A可看成复平面上直线上的点，
集合B可看成复平面上圆x2+y2=1的点集，
若A∩B＝?，即直线ax+by+1＝0与圆x2+y2=1没有交点，
，即a2+b2＜1
故选：C．
【点睛】本题考查了复数相等的定义及几何意义，考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，属于中档题．
8. 设α、β是两个不重合的平面，m、n是两条不重合的直线，则以下结论错误的是（）
A．若α∥β，m?α，则m∥βB．若m∥α，m∥β，α∩β=n，则m∥n
C．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥βD．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
参考答案：
C
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】若α∥β，m?α，根据面面平行的性质，可得m∥β；
若m∥α，m∥β，α∩β=n，根据线面平行的性质，可得m∥n；
若“m?α，n?α，m∥β，n∥β，且m∩n=O”，则“α∥β”成立，但条件中缺少了“m∩n=O”，故结论“α∥β”不一定成立；
若m∥α，经过m的平面与α相交于a，则可得m中m∥a，由于m⊥β，所以a⊥β，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β．
【解答】解：若α∥β，m?α，根据面面平行的性质，可得m∥β，故A正确；
若m∥α，m∥β，α∩β=n，根据线面平行的性质，可得m∥n，故B正确；
若“m?α，n?α，m∥β，n∥β，且m∩n=O”，则“α∥β”成立，但条件中缺少了“m∩n=O”，故结论“α∥β”不一定成立，得C错误；
若m∥α，经过m的平面与α相交于a，则可得m中m∥a，由于m⊥β，所以a⊥β，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β，故D正确．
故选：C．9. 若直线截得的弦最短，则直线的方程是（）
A． B．
C． D.
参考答案：
D
略
10. 设集合，，则A∩B等于（）
A.(0,4)
B. (4,9)
C. (－1,4)
D. (－1,9)
参考答案：
A
【分析】
利用一元二次不等式的解法化简集合，再化简集合，由交集的定义求解即可.
【详解】中不等式变形得，
解得，所以，
由中不等式解得，所以，
则，故选A .
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,·=-2，则与的夹角为
.
参考答案：
12. 设全集U={1,2,3,4,5}，若集合A={3,4,5}，则__________.
参考答案：
{1,2}
【分析】
利用补集定义直接求解即可．
【详解】∵全集，集合，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．
13. 若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：
①、；
②对于的任意子集、，当且时，有；
③对于的任意子集、，当且时，有；
则称是集合的一个“—集合类”.
例如：是集合的一个“—集合类”。

已知集合，则所有含的“—集合类”的个数为 .
参考答案：
10
14. 函数的单调递减区间是▲。

参考答案：
15. 若行列式中元素4的代数余子式的值为，则实数x的取值集合为．
参考答案：
【考点】OY：三阶矩阵．
【分析】求得元素4的代数余子式，展开，利用二倍角公式，及特殊角的三角函数值，即可求得实数
x的取值集合．
【解答】解：行列式中元素4的代数余子式A13==，
则cos2﹣sin2=，则cosx=，
解得：x=2kπ±，k∈Z，
实数x的取值集合，
故答案为：．
【点评】本题考查行列式的代数余子式求法，行列式的展开，二倍角公式，特殊角的三角形函数值，
考查计算能力，属于中档题．
16.
函数的最大值为。

参考答案：
答案：5
17. 在△ABC中，已知，给出下列结论：
①由已知条件，这个三角形被唯一确定；
②△ABC一定是钝角三角形；
③；
④若，则△ABC的面积是.
其中正确结论的序号是_______
参考答案：
②③
【分析】
根据正弦定理及三角形面积公式，余弦定理，逐一分析选项即可.
【详解】因为(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，设，可解得
，对于①，边长不确定，所以①错误，对于②由余弦定理
，可知A为钝角，△ABC一定是钝角三角形，所以②正确，对于③由正弦定理知,③正确，对于④由，
又,,故④错误.
【点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理，三角形面积公式求面积，属于中档题.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分14分）
已知数列中，，且当时，，.
记的阶乘！
（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列为等差数列；
（3）若，求的前n项和. ks5u
参考答案：
解：（1）, ，
！…………………………………………2分又，！………………………………………………………3分
（2）由两边同时除以得即…4分∴数列是以为首项，公差为的等差数列…………………………5分
，故……………………………6分（3）因为………………8分记=
………10分记的前n项和为
则①
∴②
由②-①得：
……………………………………………………………………………………13分∴=……………14分
19. 已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为，A、B是椭圆C的左、右顶点，P是椭圆C上异于A、B的动点，且△APB面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线AP与直线交于点D，证明：以BD为直径的圆与直线PF相切．参考答案：
解析：（1）由题意可设椭圆的方程为．
由题意知解得．
故椭圆的方程为．……………………4分
（2）由题意，设直线的方程为.
则点坐标为，中点的坐标为．
由得．
设点的坐标为，则．
所以，．………………………………………6分因为点坐标为，
当时，点的坐标为，点的坐标为.
直线轴，此时以为直径的圆与直线相切．…8分当时，则直线的斜率.
所以直线的方程为．
点到直线的距离．…………10分
又因为，所以．故以为直径的圆与直线相切．
综上得，以为直径的圆与直线相切．………………………………………12分
略
20. 已知函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线经过点（0,1），求实数的值；
（Ⅱ）求证：当时，函数至多有一个极值点；
（Ⅲ）是否存在实数，使得函数在定义域上的极小值大于极大值？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
参考答案：
（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）当且仅当时，函数在定义域上的极小值大于极大值．
试题分析：（Ⅰ）对进行求导，利用导数的几何意义以及两点间斜率计算公式可得
试题解析：（Ⅰ）由，得.
所以，.
所以由得
.………………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）证明：当时，
当时，，函数
在上单调递增，无极值；
当
时，令
，则
.
由得，则
①当，即时，，在上单调递减， 所以在
上至多有一个零点，即在上
至多有一个零点.
所以函数
在
上至多有一个极值点.
②当，即时，及随的变化情况如下表：
因为，
所以在
上至多有一个零点，即
在
上至多有一个零点.
所以函数在上至多有一个极值点.
综上，当
时，函数
在定义域上至多有一个极值点.…………………………………………8分
（Ⅲ）存在实数，使得函数在定义域上的极小值大于极大值. 的取值范围是.
由（Ⅱ）可知当时，函数至多有一个极值点，不可能同时存在极大值与极小值.
当时，，无极值；
当
时，
及
随的变化情况如下表：
考点：（1）利用导数研究函数在某点处的切线；（2）导数与极值单调性的关系.
21. （本题满分15分）设椭圆：，直线过椭圆左焦点且不与
轴重合，与椭圆交于，当与轴垂直时，，为椭圆的右焦点，为椭圆上任意一点，若面积的最大值为。

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线绕着旋转，与圆：交于两点，若，求的面积的取值范围。

参考答案：
（21）（Ⅰ）设椭圆半焦距为①，将代入椭圆方程得，∴
②；又由已知得③；由①②③解得、、。

所求椭圆方程为：。

（Ⅱ）设直线：即，圆心到的距离，由圆性质：
，又，得。

联立方程组，消去得。

设，则，。

（令）。

设，对恒成立，在上为增函数，，所以，。

略
22. （本题满分12分）
已知函数，
（1）求为何值时，在上取得最大值；
（2）设，若是单调递增函数，求的取值范围．
参考答案：
（1）
当时，；当时，.
在上是减函数，在上是增函数.
在上的最大值应在端点处取得.
即当时，在上取得最大值.………………5分（2）是单调递增的函数，恒成立。

又，
显然在的定义域上，恒成立
，在上恒成立。

下面分情况讨论在上恒成立时，的解的情况当时，显然不可能有在上恒成立;
当时，在上恒成立;
当时，又有两种情况：
①；
②且
由①得无解；由②得
综上所述各种情况，当时，在上恒成立的取值范围为……………………12分。