cfzAAA宁夏回族自治区石嘴山市2013届高三3月第一次联考调研数学试题(文科)

宁夏回族自治区石嘴山市2013届高三3月第一次联考调研
数学试题（文科）
一、选择题
1．设全集U=R ，集合{|3}A x x =≤，{|6}B x x =≤，则集合()
U C A B = （ ）
A ．{|36}x x ≤<
B ．{|36}x x <<
C ．{|36}x x <≤
D ．{|36}x x ≤≤
2．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，
则复数12
z z 对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．若抛物线的焦点坐标为（0，2），则抛物线的标准方程是（ ）
A ．x y 42
= B ．y x 42
= C ．x y 82
= D ．y x 82
=
4
从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为a x y
+=95.0ˆ，则=a （ ） A ．3.25 B ．2.6 C ．2.2 D ．0
5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）
A ．3
B ．32
C ．
4
3
3 D ．233
6．已知3
2
sin =
α，则=-)2cos(απ（ ） A ．35
-
B ．35
C ．91
-
D ．9
1 7．设a ，b 是平面α内两条不同直线，l 是平面α外的一条直线， 则“a l ⊥，b l ⊥”是“α⊥l ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
8．已知向量a ，b 满足1||||||=+==b a b a ，
则向量a ，b 夹角的余弦值为（ ）
A ．2
1
B ．－21
C ．2
3
D ．2
3-
9．如图所示的算法流程图中，若x
x f 2)(
=，2
)(x x g =，则=)3(h
A ．8
B. －1
C. 9
D. 1
3cm
2cm
2cm
2cm
1cm
10．已知圆C 的圆心在射线x y 2=（0≥x ）上，且与x 轴相切，
被y 轴所截得的弦长为32，则圆C 的方程是（ ）
A ．20)4()2(2
2
=-+-y x
B ．16)4()2(2
2=-+-y x C ．1)2()1(2
2
=-+-y x
D ．4)2()1(2
2
=-+-y x
11．数列{}n a 满足⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
<≤-<≤=+1
21,122
10,21n n n n n a a a a a ，若531=a ，则数列{}n a 的第2013项为（ ）
A ．
5
3
B ．
5
2
C ．
5
1 D ．
5
4 12．已知二次函数c bx ax x f ++=2
)(的导数为)('x f ，且0)0('>f ，对于任意实数x 都有0)(≥x f ，
则)
0(')
1(f f 的最小值为（ ） A. 3 B. 2
5
C. 2
D.
2
3 二、填空题
13．在等差数列{}n a 中，若67812a a a ++=，则此数列的前13项之和为_______。

14．给出如下三个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；
②命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”； ③“x R ∀∈，则211x +≥”的否定为“x R ∃∈，则2
11x +≤”。

其中不正确命题的序号是
15．设双曲线2
2
41x y -=的两条渐近线与直线2x =围成的三角形区域（包括边界）为D ， 点(,)P x y 为D 内的一个动点，则目标函数12z x y =-的最小值为__________。

16．已知三棱锥P －ABC 中，底面△ABC 是边长为3的等边三角形，侧棱长都相等，半径为2
的球O 过三棱锥P －ABC 的四个顶点，则PA 的长为 。

三、解答题
17．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3
C π
=，5b =，△ABC 的面积为103。

（1）求a 、c 的值； （2）求sin()6
A π
+的值。

18．已知四棱锥P －ABCD 的底面是菱形，PB ＝PD ，E 为PA 的中点。

（1）求证：PC ∥平面BDE ；
（2）求证：平面PAC ⊥平面BDE 。

19．从甲、乙两名运动员的若干次训练成绩中随机抽取6次，分别为：
甲：7.7 7.8 8.1 8.6 9.3 9.5
乙：7.6 8.0 8.2 8.5 9.2 9.5
（1）根据以上的茎叶图，对甲、乙运动员的成绩作比较，写出
两个结论；
（2）从甲、乙运动员六次成绩中各随机抽取1次成绩，求甲、
乙运动员的成绩至少有一个高于8.5分的概率；（3）经过对甲、乙运动员若干次成绩进行统计，发现甲运动员成绩均匀分布在[7.5，9.5]之间，乙运动员成绩均匀分布在[7.0，10]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.5分的概率。

20．已知椭圆C 的焦点为F 1（－1，0），F 2（1，0），点P （－1，
2
2
）在椭圆C 上。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）若抛物线2
2y px =（0p >）与椭圆C 相交于点M 、N ， 当△OMN （O 是坐标原点）的面积取得最大值时，求p 的值。

21．已知函数ln ()1
a b x
f x x +=
+在点（1，(1)f ）处的切线方程为2x y +=。

（1）求a 、b 的值；
（2）对函数()f x 定义域内的任一个实数x ，()m
f x x
<恒成立，求实数m 的取值范围。

22．选修4-1：几何证明选讲
如图，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，过点A 作⊙O 1的 切线交⊙O 2于点C ，过点B 和两圆的割线，分别交⊙O 1、 ⊙O 2于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P 。

（1）求证：AD ∥EC ；
（2）若AD 是⊙O 2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD 的长。

23．选修4-4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3
3x t y t
=-⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），在极坐标系
（与直角坐标系
xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 的极
坐标方程为2
4cos 30ρρθ-+=。

（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的取值范围。

甲
乙
8 7 7 6
6 1 8 0 2 5 5 3 9 2 5
24．选修4-5：不等式选讲
设函数()|1|||,f x x x a a R =-+-∈。

（1）当4a =时，求不等式()5f x ≥的解集； （2）若()4f x ≥对x R ∈恒成立，求a 的取值范围。

2013年石嘴山市高三年级第一次联考试卷
数 学（文科）参考答案
二、填空题
13. 52 14. ①③ 15. 2
2
3- 16. 2或2分） 三、解答题
17. (本小题满分12分)
1
sin 2
ABC S ab C ∆I =
=解：（） 5sin
83
a a π
∴⨯⨯
==得 (3)
)
2222cos ,c a b ab C c =+-=
7== ……（6分） sin ,sin sin sin a c a C A A C c II =∴===（） ……（8分） 2222225781
cos 22577b c a A bc +-+-===⨯⨯ ……（10分）
1113
sin()sin cos cos sin 6667214
A A A πππ+=+=+⨯= ……（12分）
18. (本小题满分12分)
（Ⅰ）证明：连接AC 交BD 于点O ，连接EO 因为E ，O 分别为PA ，AC 的中点， 所以EO ∥PC ．………… (2分) 因为EO ⊂平面BDE ，PC ⊄平面
BDE ， ………… (4分)
所以PC ∥平面BDE ． ………… (6分) （Ⅱ）证明：连结OP 因为PB PD =
所以OP BD ⊥． ………… (8分) 在菱形ABCD 中，BD AC ⊥，因为OP AC O = ………… (10分)
所以BD ⊥平面PAC ， ………… (11分) 因为BD ⊂平面BDE ， 所以平面PAC ⊥平面BDE ………… (12分)
19. (本小题满分12分)
(Ⅰ)① 由样本数据得5.85.8==乙甲，
x x ，可知甲、乙运动员平均水平相同； ②由样本数据得44.0,49.02
2
==乙甲s s ，乙运动员比甲运动员发挥更稳定；
③甲运动员训练成绩的中位数为1.8，乙运动员训练成绩的中位数为2.8
④甲运动员训练成绩的极差为1.9，乙运动员训练成绩的极差为1.8，乙运动员比甲运动员发挥更稳定 ……… (4分) (Ⅱ)设甲乙成绩至少有一个高于5.8分为事件A ,则3
2
66431)(=⨯⨯-
=A P ………… (8分) (Ⅲ)设甲运动员成绩为x ，则[]5.9,5.7∈x 乙运动员成绩为y ，[]10,7∈y
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≤≤≤≤5.01075.95.7y x y x ……(10分) 设甲乙运动员成绩之差的绝对值小于5.0的事件为B ,则
3
1
32221)(=⨯+-
=B P ………(12分) 20. (本小题满分12分)
解：(Ⅰ)依题意，设椭圆C 的方程为122
22=+b y a x ，
||||221PF PF a +=……2分，22=，所以2=a ，
1=c ，所以122=-=c a b ……（4分）
椭圆C 的方程为12
22
=+y x ……… (5分) (Ⅱ)根据椭圆和抛物线的对称性，设) , (00y x M 、) , (00y x N -（0 , 00>y x ），
OMN ∆的面积0000)2(2
1y x y x S =⨯=，) , (00y x M 在椭圆上，122
02
0=+y x ，
所以002
02
0202022
221y x y x y x =⋅≥+=，
当且仅当
002
y x =时，等号成立 ……（9
分）
3
解⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧==+002
020212
y
x y x （0 , 00>y x ）得⎪⎩⎪⎨⎧==22100y x
) , (00y x M 即)2
2
, 1(M 在抛物线px y 22=上， 所以12)22(
2⨯=p ，解得41=p
……（12分） (注：OMN ∆的面积0000)2(2
1
y x y x S =⨯=的最值也可用二次函数法求解) 21. (本小题满分12分)
解：（Ⅰ）由2
(1)(ln )
ln ()()1(1)b
x a b x a b x
x f x f x x x +-++=⇒'=++
而点))1(,1(f 在直线2=+y x 上1)1(=⇒f ，又直线2=+y x 的斜率为1(1)1f -⇒'=-
故有⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧-==⇒-=-=12
14
212b a a b a ……（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得)0(1ln 2)(>+-=x x x x f 由x m x f <)(及m x x
x x x <+-⇒>1
ln 20
令2
2/)1(ln 1)1()ln 2()1)(ln 1()(1ln 2)(+--=+--+-=⇒+-=x x
x x x x x x x x g x x x x x g
令1
()1ln ()10(0)h x x x h x x x
=--⇒'=--<>，故)(x h 在区间),0(+∞上是减函数，故
当10<<x 时，0)1()(=>h x h ，当1>x 时，0)1()(=<h x h
从而当10<<x 时，()0g x '>，当1>x 时，0)(/
<x g
)(x g ⇒在)1,0(是增函数，在),1(+∞是减函数，故1)1()(max ==g x g
要使m x x x x <+-1
ln 2成立，只需1>m 故m 的取值范围是),1(+∞ ……（12分）
(备注：也可以用数形结合的方法，相应给分)
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，若都选，则按所做的第一题记分。

22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 解：（I ）连接AB
∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D ，
又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E ，∴AD ∥EC . ……（5分） （II ）设BP ＝x ，PE ＝y ，∵PA ＝6，PC ＝2， ∴xy ＝12 ①
∵AD ∥EC ，∴PD PE ＝
AP PC ，∴9＋x y ＝6
2
②
由①、②解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3
y ＝4 (∵x >0，y >0)
∴DE ＝9＋x ＋y ＝16，
∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2
＝DB ·DE ＝9×16，∴AD ＝12. ……（10分）
23．（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
（I ）直线l 0y -+=. ……（2分）
曲线C 的直角坐标方程为：2
2
430x y x +-+=【或2
2
(2)1x y -+=】. ………(5分) （II ）曲线C 的标准方程为2
2
(2)1x y -+=，圆心(2,0)C ，半径为1；
∴圆心(2,0)C 到直线l 的距离为:d ==…………(8分)
所以点P 到直线l 的距离的取值范围是1]-+ …………(10分)
24．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解:：(Ⅰ)541≥-+-x x 等价于
1255x x <⎧⎨-+≥⎩ 或1435x ≤≤⎧⎨≥⎩ 或4
255
x x >⎧⎨
-≥⎩， 解得：0x ≤或5x ≥．
故不等式()5f x ≥的解集为{0x x ≤或5}x ≥． ……(5分) (Ⅱ)因为: ()1(1)()1f x x x a x x a a =-+-≥---=-（当1x =时等号成立）
所以min ()1f x a =-…8分.
由题意得：14a -≥， 解得3-≤a 或5≥a 。

…(10分)
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。