鲁京津琼专用2020版高考数学一轮复习专题2函数概念与基本初等函数Ⅰ第9练函数性质的应用练习含解析

第练 二次函数与幂函数
[基础保分练]
．若函数＝＋(－)＋在区间(－∞，]上是减函数，则实数的取值范围是( )
．(·河北省武邑中学调研)已知幂函数＝()的图象通过点()，则该函数的解析式为( ) ．＝1
22x ．＝12x ．＝32x ．＝52x
．若幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是( )
．(，＋∞) ．[，＋∞)
．(－∞，＋∞) ．(－∞，)
．若函数()＝＋(－)＋在区间(－∞，)内不是单调函数，则实数的取值范围是( ) ．(－∞，－] ．(－∞，－)
．(－，＋∞) ．[－，＋∞)
．(·哈尔滨师范大学附属中学月考)幂函数()＝2
243()816m m m m x －＋－＋在(，＋∞)上单调递增，则的值为( )
．．．．或
．若函数()＝＋＋对于一切实数都有(＋)＝(－)，则下列可能正确的是( ) ．()<()<() ．()<()<()
．()<()<() ．()<()<()
.已知函数＝，＝，＝的图象如图所示，则，，的大小关系为( )
．<<．<<
．<<．<<
．若函数()＝－－有且仅有一个零点，则实数的值为( )
．．－
．或－．
．设幂函数()＝α的图象过点()，则函数()＝.
．(·酒泉市敦煌中学诊断)已知幂函数()＝223m m x
－－＋(∈)为偶函数，且在区间(，＋∞)上
是单调增函数，则()＝.
[能力提升练]
．(·延安模拟)已知二次函数()满足(＋)＝(－)，且()在[]上是增函数，若()≥()，则实数的取值范围是( )
．[，＋∞)．(－∞，]
．[]．(－∞，]∪[，＋∞)
．函数()＝的定义域为(－∞，＋∞)，则实数的取值范围是( )
．(－∞，＋∞)
．函数()＝952431()m m m m x －＋－－是幂函数，对任意，∈(，＋∞)且≠，满足>，若，∈且＋>，<，则()＋()的值( )
．恒大于．恒小于
．等于．无法判断
．(·德州期末)已知当∈[]时，函数＝(－)的图象与＝＋的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是( )
．(]∪[，＋∞) ．(]∪[，＋∞)
．(，)∪[，＋∞) ．(，]∪[，＋∞)
．若二次函数()＝＋＋(>)在区间[]上有两个不同的零点，则的取值范围为．
．已知函数()＝，给出下列命题：
①若>，则()>；②若<<，则()－()>－；③若<<，则()<()；④若<<，则<.
其中正确命题的序号是．
答案精析
基础保分练
．
．[当＝时，函数()＝－－为一次函数，则－是函数的零点，即函数仅有一个零点；
当≠时，函数()＝－－为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程－－＝有两个相等实根，
∴Δ＝＋＝，解得＝－.
综上，当＝或＝－时，函数仅有一个零点．]
．
．
解析∵幂函数()＝－－＋(∈)为偶函数，
∴幂指数为偶数，
∵幂函数()＝－－＋(∈)在区间(，＋∞)上是单调增函数．
∴幂指数为正数，即－－＋>，
解得－<<，所以＝－，－，
∴对取值，得到当＝－成时，
幂指数为，不合题意，
当＝－时，幂指数为，符合题意，
∴解析式为()＝，则()＝.
能力提升练
． [由(＋)＝(－)可知，函数()图象的对称轴为＝＝，又函数()在[]上单调递增， 所以由()≥()可得≤≤.]
． [由题意，函数的定义域为(－∞，＋∞)，
即＋＋≠的解集为，即方程＋＋＝无解，
当＝时，＝，此时无解，符合题意；
当≠时，Δ＝()－×<，
即－<，所以<<，
综上可得，实数的取值范围是，
故选.]
． [函数()＝95
2431()m m m m x －＋－－是幂函数，
所以－－＝，
解得＝或＝－.
当＝时，()＝；
当＝－时，()＝.
又因为对任意，
∈(，＋∞)且≠，
满足>，
所以函数()在(，＋∞)上是增函数，
所以函数的解析式为()＝，函数()＝是奇函数且是增函数．
若，∈且＋>，<，
则，异号且正数的绝对值较大，
所以()＋()恒大于，故选.]
．[根据题意，知＝(－)在区间上为减函数，在上为增函数，函数＝＋为增函数．
分两种情况讨论：
①当<≤时，有≥，在区间[]上，＝(－)为减函数，且其值域为[(－)]，函数＝＋为增函数，其值域为[＋]，此时两个函数的图象有个交点，符合题意；
②当>时，有<，＝(－)在区间上为减函数，上为增函数，函数＝＋为增函数，在∈[]上，其值域为[＋]，若两个函数的图象有个交点，则有(－)≥＋，解得≤或≥.又为正数，
故≥.
综上所述，的取值范围是(]∪[，＋∞)，故选.]
．[)
解析设()＝(－)(－)，
≤<≤，则＝(－)·(－)∈[).
．①④
解析结合函数的解析式逐一考查所给的说法：
①函数()＝单调递增，且()＝，据此可知，若>，则()>，①正确；
②令＝，＝，满足<<，
则()－()＝－＝，而－＝－＝，不满足()－()>－，②错误；
③令＝，＝，满足<<，
而()＝×＝，()＝×＝，不满足()<()，
③错误；
④如图所示的幂函数()＝图象上有两点，，满足<，不妨设点横坐标为，点横坐标为，
则中点的横坐标为，
则的值为点的纵坐标，
的值为点的纵坐标，
很明显<，即<，④正确．
综上可得，正确命题的序号是①④.。