广西桂林市、崇左市、百色市2017届高三下学期第一次联合模拟(一模)考试理数试卷含答案

广西桂林市、崇左市、百色市
2017届高三下学期第一次联合模拟(一模）考试
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷(共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1。

已知集合}04|{2<-=x x M ，},821|{Z x x N x ∈≤≤=，则=M N ( ） A ．)2,0[ B ．}1,0{ C ．}2,1,0{ D ．}3,2,1,0{
2。

若R a ∈，i 为虚数单位,则“1=a ”是“复数i a a a )3()2)(1(+++-为纯虚数”的（ ） A ．充要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分非必要条件 D ．既非充分又非必要条件
3。

已知数列}{n a 满足021=-+n n a a ,若2
1
2=
a ，则数列}{n a 的前11项和为（ ） A ．256 B ．41023 C ．10242047 D ．2048
4095
4.在区间]1,0[上随机取两个数，则这两个数之和小于2
3
的概率是( )
A ．81
B ．83 C. 85 D ．8
7
5. 如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（ ）
A ．7.0
B ．75.0 C. 8.0 D ．9.0 6。

设实数2log 3=a ,2ln =b ，⎰
=
π
sin 1
xdx
c ,则( ）
A ．c a b >>
B ．a c b >> C. c b a >> D ．b c a >>
7.如图所示,某货场有两堆集装箱,一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是（ ）
A ．6
B ．10 C. 12 D ．24
8。

某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形，则该四棱锥的表面积是（ ）
A ．23222++
B ．33223++
C 。

2322++
D ．3323++ 9。

若函数)0(cos )(>=ωωx x f 在区间)4
,3(π
π-
上有且只有两个极值点,则ω的取值范围是（ ) A ．)3,2[ B ．]3,2( C. )4,3[ D ．]4,3(
10。

若函数x x a x x f 2sin 31
sin )(-
+=在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．]1,1[- B ．]31,1[- C 。

]31,31[- D ．]3
1
,1[--
11。

设21,F F 分别是双曲线C ：122
22=-b y a x （0,0>>b a )的左，右焦点，P 是C 的右支上的点,射线PT 平分
21PF F ∠，过原点O 作PT 的平行线交1PF 于点M ，若||3
1
||21F F MP =，则C 的离心率等于( ）
A ．2
3
B ．3
C 。

2
D ．3
12。

在菱形ABCD 中，
60=A ，32=AB ,将ABD ∆沿BD 折起到PBD ∆的位置，若二面角C BD P --的大
小为
120，三棱锥BCD P -的外接球球心为O ,BD 的中点为E ，则=OE （ ）
A ．1
B ．2 C. 7 D ．72
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若二项式n x
x )1(-
的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为 ．
14. 函数2)1(++=x f y 是定义域为R 的奇函数，则=-+)2()(e f e f ．
15。

已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，若函数)(cos 3sin )(R x x x x f ∈+=在最大值为1a ，且满足
n n n n n S a a S a a -=
-+2
1
1,则数列}{n a 的前2017项之积=2017A ． 16。

在ABC ∆中,4
π
=
∠C ，O 为外心，且有OB n OA m OC +=，则n m +的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17。

四边形ABCD 如图所示,已知2===CD BC AB ，32=AD 。

（1)求C A cos cos 3-的值；
（2）记ABD ∆与BCD ∆的面积分别是1S 与2S ，求2221S S +的最大值.
18.为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后，整理得到下表：
直径/mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数
1
1
3
5
6 19 33 18 4
4
2
1
2
1
100
经计算,样本的平均值65=μ，标准差2.2=σ，以频率值作为概率的估计值。

(1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）；
①6826.0)(≥+≤<-σμσμX P ； ②9544.0)22(≥+≤<-σμσμX P ; ③9974.0)33(≥+≤<-σμσμX P
评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙;若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级. （2)将直径小于等于σμ2-或直径大于σμ2+的零件认为是次品.
①从设备M 的生产流水线上随意抽取2件零件,计算其中次品个数Y 的数学期望)(Y E ；
②从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数Z 的数学期望)(Z E 。

19。

如图，在多面体ABCDEF 中,底面ABCD 是边长为2的菱形,
60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形,平面
⊥BDEF 平面ABCD 。

(1)在图中画出过点D B ,的平面α，使得//α平面AEF （必须说明画法，不需证明）；
(2）若二面角C BD --α是
45，求FB 与平面α所成角的正弦值。

20.如图,过椭圆C ：14
22
=+y x 的左右焦点21,F F 分别作直线1l ，2l 交椭圆于B A ,与D C ,，且21//l l .
（1）求证：当直线1l 的斜率1k 与直线BC 的斜率2k 都存在时,21k k 为定值; （2）求四边形ABCD 面积的最大值. 21.已知函数)(1ln 2
1
)(R m x x m x f ∈-+=
的两个零点为)(,2121x x x x <。

（1)求实数m 的取值范围； (2)求证：
e
x x 21121>+。

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22。

选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,直线l 的方程是8=y ,圆C 的参数方程是⎩
⎨⎧+==ϕϕ
sin 22cos 2y x （ϕ为参数)，以O 为极点,x 轴的
非负半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求直线l 和圆C 的极坐标方程；
(2）射线OM ：αθ=（其中2
0π
α<<）与圆C 交于P O ,两点，与直线l 交于点M ，射线ON ：2
π
αθ+
=与
圆交于点Q O ,两点，求
|
||
|||||ON OQ OM OP ⋅
的最大值。

23.选修4—5：不等式选讲
设不等式0|2||1|2<+--<-x x 的解集为M ，且M b a ∈,。

（1）证明:4
1|6131|
<+b a ； （2）比较|41|ab -与||2b a -的大小，并说明理由。

试卷答案
一、选择题
1—5： BCCDA 6-10: CBDDC 11、12：AB
二、填空题
13。

15 14. 4- 15. 2 16。

)1,2[-
三、解答题
17。

解：（1）在ABD ∆中，A A AD AB AD AB BD cos 3816cos 22
22-=⋅-+=， 在BCD ∆中，C C CD BC CD BC BD cos 88cos 22
22-=⋅-+=, 所以1cos cos 3=-C A 。

（2）依题意A A AD AB S 22222
1cos 1212sin 41-=⋅=
，C C CD BC S 22222
2cos 44sin 4
1-=⋅=， 所以C C C A S S 2
2
2
2
2
22
1cos 4)1(cos 416cos 44cos 1212-+-=-+-=+
14)2
1
(cos 812cos 8cos 822++-=+--=C C C ，
因为4232<<-BD ，所以)16,3816(cos 882-∈=-BD C .
解得13cos 1-<<-C ,所以142
221≤+S S ，当2
1cos -
=C 时取等号，即2
221S S +的最大值为14。

18.解：（1)由题意得8.62=-σμ，2.67=+σμ，6.602=-σμ，4.692=+σμ,4.583=-σμ，6.713=+σμ，所以由图表知道：
6826.080.0100
80
)(>==
+≤<-σμσμX P , 9544.010094
)22(<=+≤<-σμσμX P ，
9974.098.010098
)33(<==+≤<-σμσμX P ，所以该设备M 的性能为丙级别.
（2）由图知：直径小于或等于σμ2-的零件有2件,大于σμ2+的零件有4件共计6件。

(i ）从设备M 的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为50
31006=。

依题意)503,
2(~B Y ,故25
35032)(=⨯=Y E 。

（ii ）从100件样品中任意抽取2件,次品数Z 的可能取值为0，1,2，
∴16501457)0(210029406===C C C Z P ,1650188)1(210019416===C C C Z P ，1650
5
)2(2
10009426===C C C Z P 故25
3
16505216501881165014570)(=⨯+⨯+⨯
=Z E . 19.(1）如图所示,分别取FC EC ,的中点H G ,，连接HG BH GD ,,，四边形BHGD 所确定的平面为平面α。

(2）取EF 的中点N ，连接AC 交BD 于点O ，连接ON ， ∵四边形BDEF 为矩形,N O ,分别为EF BD ,的中点, ∴ED ON //.
因为平面⊥BDEF 平面ABCD ，∴⊥ED 平面ABCD ，∴⊥ON 平面ABCD .因为ABCD 为菱形，即BD AC ⊥。

以O 为原点，ON OC OB ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系。

方法一：因为平面//α平面AEF ，所以BF 与平面α所成的角可以转化为BF 与平面AEF 所成的角,则平面AEF 与平面ABCD 所成角为
45。

设a FB =，则)0,3,0(-A ，),0,1(a E -，),0,1(a F ,),3,1(a AE -=，),3,1(a AF =，)0,0,1(B ，设平面AEF 的法向量为),,(z y x n =，
⎪
⎩⎪⎨
⎧=++=++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅030
300az y x az y x AF n AE n ,令1=z ,得)1,3,0(a n -=。

易看出)1,0,0(=m 是平面ABCD 的一个法向量，依题得
2
2
13
12
2
|
|||2
=
+⇒=
⋅a n m n m ,解得3=a 。

∴)1,1,0(-=n ，又)3,0,0(=BF ,∴2
2,cos >=
<BF n . 方法二：设a FB =，则),0,1(),,0,1(),0,0,1(),0,0,1(a F a E D B --，)0,3,0(C ，)2
,23,
21(a
H ，所以)2
,23,21(a
z BH -=,)0,0,2(=DB 。

设平面α的法向量为),,(z y x n =，则⎩⎨
⎧==++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00
30
0x az y x DB n BH n ，令1=z ，得)1,3,0(a n -=，由⊥DE 平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为),0,0(a DE =，则2
2
|
|||,cos =
⋅>=
<DE n DE n DE n ，所以3=a 。

又)3,0,0(=BF ，)1,1,0(-=n ,∴2
2,cos >=
<BF n . ∴FB 与平面α所成角的正弦值为
2
2.
20.证明：(1）设),(11y x A ,),(22y x B ，根据对称性,有),(11y x C --,因为),(11y x A ,),(22y x B 都在椭圆C 上,所以
142121=+y x ,142222=+y x ，二式相减得，042
2212221=-+-y y x x ，所以4
12122212
21212121221-=--=++⋅--=x x y y x x y y x x y y k k 为定值.
（2）当1l 的倾斜角为
0时，1l 与2l 重合,舍去。

当1l 的倾斜角不为0时，由对称性得四边形ABCD 为平行四边形，)0,3(1-F ，设直线1l 的方程为3-=my x ，
代入1422=+y x ,得0132)4(22=--+y y m .显然0>∆,4
3
2221+=+m y y ,41221+-=⋅m y y 。

所以2
2222221)4(1
32414)432(23||321++⋅=+-⋅-+⋅=-⋅⋅=∆m m m m m y y S OAB
设t m =+12
，所以12
-=t m ,),1(+∞∈t .所以121
69196)4(12
222≤++=++=++t
t t t t m m 。

当且仅当t t 9=
即2±=m 时等号成立，所以112
132)(max =⋅=∆OAB S 。

所以平行四边形面积的最大值为4)(4)(max =⋅=∆O AB ABCD S S . 21.解：（1）方法一：2
22221)('x m
x x x m x f -=+-
=， ①0≤m 时,0)('>x f ，)(x f 在),0(+∞上单调递增,不可能有两个零点。

②0>m 时,由0)('>x f 可解得m x 2>，由0)('<x f 可解得m x 20<<。

∴)(x f 在)2,0(m 上单调递减，在),2(+∞m 上单调递增，于是12ln 2
1
2)2()(min -+==m m m m f x f . 要使得)(x f 在),0(+∞上有两个零点，则
012ln 2
12<-+m m m ，解得20e m <<，即m 的取值范围为)2,0(e .
方法二：2ln x
x x m -=，可转化为函数m y =与函数2
ln )(x x x x h -=图象有两个交点。

∵)ln 1(2
1
)('x x h -=,∴当e x <<0时，0)('>x h ；e x >时，0)('<x h 。

即)(x h 在),0(e 上单调递增,在),(+∞e 上
单调递减. ∴2
)()(max e e h x h ==。

∴20e m <
<,即m 的取值范围为)2
,0(e 。

（2)令x t 1
=，则1ln 2111ln 21)1(--=--=t mt x x m x f ，由题意知方程01ln 21=--t mt 有两个根21,t t ，即方程
t t m 22ln +=
有两个根21,t t ，不妨设2
2111,1x t x t ==。

令t t t h 22ln )(+=,则2
21ln )('t t t h +-=，由0)('>t h 可得e t 10<<，由0)('<t h 可得e t 1
>，∴)1,0(e
t ∈时，)(t h 单调递增，),1
(+∞∈e
t 时，)(t h 单调递减.
根据已知有：0121>>>
t e t ，要证e
x x 2
1121>+，即证e t t 221>+，即e t e t 1221>->. 即证)2()(21t e h t h -<。

令)2()()(x e h x h x --=φ,下面证0)(<x φ对任意的)1,0(e
x ∈恒成立.
2
2)2(21
)2
ln(21ln )2(')(')('x e
x e x x x e h x h x ----+--=--=φ，∵)1,0(e x ∈,∴01ln >--x ，22)2(x e x -<。

∴2
22)2(22
)2
(ln )2(21)2ln()2(21ln )('x e
x e x x e x e x e x x ----=----+--->φ。

∵221]2)
2([)2(e
x e x x e x =-+<-，∴02)2(ln >---x e x ，∴0)('>x φ。

∴)(x φ在)1
,0(e 是增函数，∴0)1()(=<e
x φφ，∴
e
x x 21121>+。

22。

（1）直线l 的极坐标方程是8sin =θρ.圆C 的普通方程分别为4)2(22=-+y x ，所以圆C 的极坐标方程是
θρsin 4=。

(2）依题意得，点M P ,的极坐标分别为⎩⎨
⎧==αθαρsin 4和⎩
⎨⎧==αθαρ8sin ，所以αsin 4||=OP ,αsin 8
||=OM 。

从而
2sin sin 8sin 4||||2
α
α
α==OM OP ，同理，
2
)
2(sin ||||2π
α+
=ON OQ 。

所以16
2sin 2)2(sin 2sin ||||||||222
απ
αα=+⋅=⋅ON OQ OM OP 。

故当4
π
α=
时,
|
||
|||||ON OQ OM OP ⋅的值最大，该最大值是161.
23.解：（1）记⎪⎩⎪
⎨⎧≥-<<----≤=+--=1
,312,122
,3|2||1|)(x x x x x x x f ,由0122<--<-x ，解得2121<<-x ，则
)2
1,21(-=M .所以41
21612131||61||31|6131|=⨯+⨯<+≤+b a b a 。

（2）由（1）得412
<a ,4
12<b 。

因为)2(4)1681(||4|41|222222b ab a b a ab b a ab +--+-=---
0)14)(14(22>--=b a ，所以22||4|41|b a ab ->-，即||2|41|b a ab ->-.。