江苏省南通市启东市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题(含答案)

2023～2024学年度第二学期期末质量测试
八年级数学试题
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项
1.本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回.
2.答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置上.
3.答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效.
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上，
1.如图，四边形ABCD 中，，下列条件不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是（
）
A. B. C. D.2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm ，内壁高12cm ，则这支铅笔的长度可能是（
）
A.9cm
B.12cm
C.15cm
D.18cm
3.对于一次函数，下列结论错误的是（ ）
A.函数值随自变量的增大而减小
B.函数的图象不经过第三象限
C.函数的图象向下平移4个单位长度得的图象
D.函数的图象与x 轴的交点坐标是4.下列图形中不是中心对称图形的是（
）
A. B. C. D.
AD BC =AD BC 180A B ∠+∠=︒A C ∠=∠AB CD
=24y x =-+2y x =-()0,4
5.一组数据3，4，4，5，若添加一个数4，则发生变化的统计量是（ ）
A.平均数
B.众数
C.中位数
D.方差
6.据统计，目前某市5G 基站的数量约1.5万座，计划到2024年底，全市5G 基站数是目前的4倍，到2026年底，全市5G 基站数最终将达到1
7.34万座.则2024年底到2026年底，全市5G 基站数量的年平均增长率为（ ）
A.20%
B.30%
C.60%
D.70%
7.如图，在四边形ABCD 中，，，，，.若点E ，F 分别是边AD ，CD 的中点，则EF 的长是（
）A.3 B.4 C.2
8.甲、乙两名同学骑自行车从A 地出发沿同一条路前往B 地，他们离A 地的距离与甲离开A 地的时间之间的函数关系的图象如图所示，根据图象提供的信息，有下列说法：①甲、乙同学都骑行了18km ；②甲、乙同学同时到达B 地；③甲停留前、后的骑行速度相同；④乙的骑行速度是；其中正确的说法是（
）
A.①④
B.①③
C.②④
D.②③
9.如图，将菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转，得到菱形，.当AC 平分时，则与满足的数量关系是（
）
6AB =10BC =130A ∠=︒100D ∠=︒AD CD =()km s ()h t 12km /h α∠AB C D '''B β∠=∠B AC ''∠α∠β∠
A. B.C. D.10.已知a ，b ，c 分别是的三条边长，c 为斜边长，，我们把关于x 的形如的一次函数称为“勾股一次函数”.若点在“勾股一次函数”的图象上，且，则c 的值是（ ）
A. B.24
C. D.12
二、填空题（本题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上
11.在平行四边形ABCD 中，若，则______°.
12.甲，乙两名篮球运动员进行每组10次的投篮训练，5组投篮结束后，两人的平均命中数都是7次，方差分别是，，则在本次训练中，运动员______的成绩更稳定.（填“甲”或“乙”）13.如图，直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交x 轴于点C ，则点C 的坐标为______.
14.明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA 静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（OA 或OB ）的长度为______尺
15.将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF .若，则BC 的长为
______.
2αβ∠=∠23αβ∠=∠4180αβ∠+∠=︒
32180αβ∠+∠=︒
Rt ABC △90C ∠=︒a b y x c c
=
+P ⎛ ⎝-Rt 4ABC S =
△
160B D ∠+∠=︒C ∠=2
1.4S =甲2
0.85S =乙2y x =-+1AC =10EB =5BD
=AB =
16.小明用相同的积木玩一个拼图游戏，该积木每个角都是直角，长度如图1所示，小明用x 个这样的积木，按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，则图形的总长度y 与图形个数x 之间的函数关系式为______.
图1图2
17.如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为，点A 的坐标为，将点A 绕点C 顺时针旋转90°得到点B ，则点B 的坐标为______.
18.如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，动点E ，F 分别从点A ，C 同时出发，以相同的速度分别沿AB ，CD 向终点B ，D 移动，当点E 到达点B 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BG ，垂足为点G ，连接AG ，则AG 的最小值为______cm.
三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答题纸对应的位置和区域内解答
19.（本小题满分10分）
解下列方程：（1）；（2）.
20.（本小题满分10分）
如图，在中，已知，将绕点B 逆时针旋转50°后得到，若
，求证：
.
xOy ()1,0-()3,3-2
3410x x --=()()2
21321x x -=-ABC △30ABC ∠=︒ABC △11A BC △100A ∠=︒11AC BC
21.（本小题满分10分）
已知，关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根.
（1）求m 的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m 的值，并求此时方程的根.22.（本小题满分10分）
如图，在平行四边形ABCD 中，以点A 为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交边AD 、AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N
为圆心，以大于长为半径画圆弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边CD 于点E ，过点E 作交AB 于点F .
（1）求证：四边形ADEF 是菱形；
（2）若，的周长为36，求菱形ADEF 的面积.23.（本小题满分10分）
为了增强学生的交通安全意识，某校举行了“交通法规”知识竞赛，组织七、八年级各200名学生进行“交通法规知识测试”（满分100分）.现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩x （单位：分）进行统计，整理如下：七、八年级测试成绩频数统计表
七年级343八年级
1
7
2
七、八年级测试成绩分析统计表
平均数
中位数众数方差七年级84859036.4八年级
84
84
84
18.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）规定分数不低于80分记为“优秀”，估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数一共是多少人？
()2
2
2110x m x m +++-=1
2
MN EF
BC 10AD =AED △7080
x ≤<8090
x ≤<90100
x ≤<
（2）根据以上的数据分析，任选两个角度评价七、八两个年级的学生掌握交通法规知识的水平.24.（本小题满分12分）
如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯.甲，乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h （单位：m ）与下行时间x （单位：s ）之间具有函数关系
，乙离一楼地面的高度y （单位：m ）与下行时间x （单位：s ）的函数关系如图2所示.图1 图2
（1）求y 关于x 的函数解析式；
（2）请通过计算说明甲，乙两人谁先到达一楼地面？
（3）在下行过程中是否存在某一时刻两人竖直高度相差1米，若存在，请求出此时的下行时间.25.（本小题满分13分）
如图，点E 为正方形ABCD 边BC 上的一点，CG 平分正方形的外角，将线段AE 绕点E 顺时针旋转，点A 的对应点为H .
（1）当点H 落在边CD 上，且时，则的度数为______；（2）当点H 落在射线CG 上时，求证：；
（3）在（2）的条件下，连接AH 并与CD 交于点P ，连接EP ，探究，与之间的数量关系，并说明理由.
26.（本小题满分15分）综合与探究：
如图，直线分别交x 轴，y 轴于点B ，E ，过点A 作直线CD 分别交x 轴，y 轴于点
，
.
3
610
h x =-
+DCF ∠CE CH =AEH ∠AE EH ⊥2
AP 2
EP 2
HP :3AB y x =-+()9,0C -90,2D ⎛⎫
⎪⎝⎭
备用图
（1）求直线CD 的解析式；（2）在y 轴左侧作直线轴，分别交直线AB ，CD 于点F ，G ，当时，过点G 作直线轴，交y 轴于点H ，能否在直线GH 上找一点P ，使的值最小？若存在，请求出点P 的坐标；
（3）M 为直线CD 上一点，在（2）的条件下，x 轴上是否存在点Q 使得以P ，Q ，M ，O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由
.
FG
y 2FG DE =GH x
PF PD +
2023—2024学年度第二学期期末质量测试
八年级数学参考答案与评分标准
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上.
1.C
2.D
3.D
4.A
5.D
6.D
7.B
8.A
9.C 10.A
第10题解题过程：∵点在“勾股一次函数”
的图象上，
，即，又∵a ，b ，c 分别是的三条边长，，，
∴
，即，又∵， ∴，
∴，解得二、填空题（本题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）.不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上.
11.100°12.乙13.
14.14.515.1
16.17.
第18题解题过程：设正方形的中心为O
，可证EF 经过O 点，连接OB
，取OB 中点M ，连接MA ，MG ，则MA
，MG 为定长，∴，
当A ，M ，G 三点共线时，AG 最小.
三、解答题（本题共8
小题，共90
分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤请在答
P ⎛- ⎝a b
y x c c =+a b c c -=+a b -=Rt ABC △90C ∠=︒Rt 4ABC S =△1
2
4ab =8ab =2
2
2
a b c +=()2
22a b ab c -+=2
228c ⎛⎫+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
c =()
2-64
y x =+()
2,2-MA =1
2
MG OB =
=AG AM MG ≥-==
题纸对应的位置和区域内解答！
19.（1）解：∵，，………………………………………………2 分∴，………………………………………………5分
（2）原方程化为………………………………………………7分
∴，………………………………………………10分20.证明：∵，，
∴，
………………………………………………2分
∵将绕点B 逆时针旋转50°后得到，
∴，，………………………………………………6分∴，………………………………………………8分∴.
………………………………………………10分
21.解：（1）∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴， ………………………………………………3分
解得：.………………………………………………6分（2），
………………………………………………8分
此时原方程为，………………………………………………9分
即，解得：，………………………………………………10分
22.（1）证明：由作法可得，AE 平分，………………………………………………1分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴，，∴，，………………………………………………2分
∵，∴，
∴四边形ADEF 是平行四边形，
………………………………………………3分∵AE 平分，∴，∴，
3a =4b =-1c =
-1x
=
2x =()()21240x x --=11
2
x =
22x =30ABC ∠=︒100A ∠=︒50C ∠=︒ABC △11A BC △150CBC ∠=︒150C C ∠=∠=︒11C C BC ∠=∠11
AC BC ()2
2
2110x m x m +++-=()()
2
2
21411450m m m =+-⨯⨯-=+>△5
4
m >-
1m =2
30x x +=()30x x +=10x =23
x =-BAD ∠AD BC AB CD DE AF AED BAE ∠=∠EF
BC AD EF BAD ∠DAE BAE ∠=∠AED DAE ∠=∠
∴，
………………………………………………4分
∴四边形ADEF 是菱形.
………………………………………………5分
（2）解：连接DF ，交AE 于点O ，
∵四边形ADEF 是菱形，
∴，，………………………………………………6分
∵的周长为36，∴，∴，………………………………………………7分在中，，
∴，………………………………………………8分
∴，………………………………………………10分23.解：（1
）………………………………………………3分
答：这两个年级测试成绩达到“优秀的学生总人数一共是320人。

………………………………………4分（2）七八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生交通法规知识掌握的总体水平较好.
………………………………………………7分
七八年级测试成绩的平均数相等，七年级测试成绩的中位数和众数大于八年级测试成绩的中位数和众数，所以七年级的学生交通法规知识测试的高分人数多一些.……………………………………10分
24.（1）解：设y 关于x 的函数解析式为：，
由题意得： 解得，………………………………………………2分
即y 关于x 的函数解析式为；………………………………………………3分
（2）当时，，得，………………………………………………4分当时，，得，………………………………………………5分
∵，
∴甲先到达一楼地面；………………………………………………7分
（3）存在，
………………………………………………8分
因为甲、乙两人从二楼同时下行，甲先到达地面.
AD AE =DF AE ⊥10AD DE EF ===AED △16AE =1
82
EO AE =
=Rt EOF △6OF ==212DF OF ==11
16129622ADEF S DF AE =
⨯=⨯⨯=菱形4372
40032020
+++⨯=y kx b =+6153b k b =+=⎧⎨⎩156
k b =-=⎧⎪
⎨⎪⎩1
65
y x =-+0h =3
0610
x =-+20x =0y =1
065
x =-+30x =2030<
①当，解得，，
………………………………………………9分②当时，解得，，………………………………………………10分
∴当下行10秒或25秒时两人竖直高度相差1米. ………………………………………………12分
25.（1）；
………………………………………………3分
解题过程：如图所示，连接AH ，∵线段AE 绕点E 顺时针旋，当点H 落在边CD 上，∴，
∵四边形ABCD 是正方形，∴，，
∵，∴，∴，
在和中，，
∴，∴，
故为等边三角形，∴；
（2）证明：如图，在AB 上取点Q ，使，作HM 垂直BF 于点M ，
∵线段AE 绕点E 顺时针旋，当点H 落在边CG 上，
∴，
∵，，∴，
∵CG 平分，∴，………………………………………………4分
设，，，
在和中，，，
∴，
………………………………………………5分即，整理得：，
∵，∴，解得
，
13661510x x ⎛⎫⎛⎫-+--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
10x =1615
y x =-+=25x =60AEH ∠=︒AE EH =CB CD AB AD ===90ABE ADH ∠=∠=︒CE CH =CB CE CD CH -=-BE DH =ABE △ADH △AB AD ABE ADH BE DH =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩
()SAS ABE ADH ≌△△AH AE EH ==AEH △60AEH ∠=︒BQ BE =AE EH =AB AC =BQ BE =AQ CE =DCF ∠CM HM =AQ CE a ==CM HM b ==BQ BE x ==Rt ABE △Rt EMH △222AE AB BE =+222EH EM MH =+2222AB BE EM MH +=+()()2222a x x a b b ++=++()()20x b a b x -++=0a b x ++≠0x b -=x b =
∴，………………………………………………6分
∵CG 平分，，∴，
∴，
∴，，∴，
在和中，，
∴，∴，………………………………………………7分∴，∴，
∴，∴.………………………………………………8分
（3）解：.………………………………………………9分
理由：如图，过点P 作于点M ，于点N ，
由（2）可知，，∴，
∴和为等腰直角三角形，
即，，………………………………………………10分∴，，
∵，∴四边形PNEM 为矩形，
∴，
………………………………………………11分在中，，
∵，∴.………………………………………………13分
26.解：（1）设直线CD 的解析式为，
将，代入
中，CM BE =DCF ∠BQ BE =45GCF BQE ∠=∠=︒135AQE ECH ∠=∠=
︒QE
=CH =QE CH =AQE △ECG △AQ CE AQE ECG QE CH =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩
()SAS AQE ECG ≌△△QAE CEG ∠=∠90QAE AEB ∠+∠=︒90CEG AEB ∠+∠=︒90AEG ∠=︒AE EH ⊥2222HP AP EP +=PM EH ⊥PN AE ⊥AE EH ⊥45EAH EHA ∠=∠=︒APN △PHM
△HP
=
AP =222PH PM =222AP PN =90PNE AEH PME ∠=∠=∠=︒PM NE =Rt PNE △22222EP NE PN PM PN =+=+2)222222(HP AP PM PN
EP +=+=2222HP AP EP +=y kx b =+()9,0C -90,2D ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
y kx b =+
得，解得，………………………………………………2分∴直线CD 的解析式为.………………………………………………3分
（2）与y 轴交于，与y 轴交于，∴.………………………………………………4分∵，
设，则.
………………………………………………5分将代入中，解得，
即，.………………………………………………6分设F 关于直线GH 的对称点为，连接，则. …………………………………………7分设直线的解析式为，将，代入，得，解得，∴的解析式为.………………………………………………8分令，得，
∴点P 的坐标为.………………………………………………9分
（3）存在，点Q 的坐标为或或.
………………………………15分（每个坐标2分，共6分）
解题过程：①如图1，当，时，四边形PMQO 是平行四边形；由（2）得，∴，∴，
∴.
0992k b b =-+=⎧⎪⎨⎪⎩1292
k b ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩1922y x =+3y x =-+()0,3E 1922y x =
+90,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭93 1.52
DE =-=23FG DE ==(),3F a a -+(),G a a -(),G a a -1922
y x =
+3a =-()3,6F -()3,3G -F 'DF '()3,0F '-DF 'y mx n =+90,2D ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
()3,0F '-30902m n n ⎧-+=+=⎪⎨⎪⎩3292
m n ⎧⎪⎪⎨==⎪⎪⎩DF '3922y x =
+3y =1x =-()1,3-()2,0-()2,0()16,0-OP MQ PM OQ ()1,3P -()3,3M -2PM =()2,0Q -
图1
②如图2，当，时，四边形PMOQ 是平行四边形；∵，
∴.
图2
③如图3，当，时，四边形PQMO 是平行四边形；过点P 作轴，垂足为N ，
过点M 作轴，垂足为K .
∵，
∴.
又∵，
∴，
∴.
又∵，，
∴，
∴， ，
∴点M 的纵坐标为.
将代入中，解得
，PQ MO PM QO 2PM OQ ==()2,0Q OP QM PQ OM PN y ⊥MK x ⊥OP OM KQM QOP ∠=∠PN QO QOP NPO ∠=∠KQM NPO ∠=∠QM PO =90QKM PNO ∠=∠=︒QKM PNO =△△1QK PN ==3KM ON ==3-3y =-1922
y x =+15x =-
∴.
图3
综上所述，Q 的坐标为或或
.()16,0Q -()2,0-()2,0()16,0-。