【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 8-2圆的方程课后强化作业 新人教B版

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 8-2圆的方程课后强化作
业 新人教B 版
基础巩固强化
一、选择题
1．(文)过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 [答案]C
[解析]解法1：设圆心C (x 0,2－x 0)，则|AC |＝|BC |，
∴(x 0－1)2＋(3－x 0)2＝(x 0＋1)2＋(1－x 0)2，∴x 0＝1，∴圆心C (1,1)，故选C. 解法2：AB 的中垂线方程为y ＝x ，
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0y ＝x 得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1y ＝1
，∴圆心C (1,1)，故选C. 解法3：由圆心在直线x ＋y －2＝0上排除B 、D ，由点B (－1，1)在圆上排除A ，故选C.
(理)圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1 [答案]A
[解析]设圆心坐标为(0，b )，则由题意知 (0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2， 故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.
2．(文)(2013·某某模拟)已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上的点到直线l 的距离的最小值为( )
A.2
B.3 C ．1 D ．3 [答案]A
[解析]由题意知，圆C 上的点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减
去圆的半径，即
|1－1＋4|12
＋(－1)
2
－2＝ 2.
(理)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离最大值是a ，最小值是b ，则a ＋b ＝( )
A.125
B.245
C.6
5 D ．5 [答案]B
[解析]圆心C (1,1)到直线3x ＋4y ＋5＝0距离d ＝125，∴a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫125＋r ＋⎝⎛⎭⎫125－r ＝245(r 为圆的半径)．
3．(文)设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则圆C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆 [答案]A
[解析]动圆圆心C 到定点(0,3)的距离与到定直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的定义，故选A.
(理)动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D ．(x ＋32)2＋y 2＝12
[答案]C
[解析]设中点M (x ，y )，则点A (2x －3,2y )， ∵A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1， 即(2x －3)2＋4y 2＝1，故选C. 4．已知不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，y ≥0，
x ＋2y －4≤0.
表示的平面区域恰好被圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及
其内部所覆盖，则面积最小的圆C 的方程为( )
A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5
B ．(x －2)2＋(y －1)2＝8
C ．(x －4)2＋(y －1)2＝6
D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 [答案]D
[解析]由题意知此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)为顶点的三角形及其内部，且△OPQ 是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2,1)，半径是5，所以圆C 的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.
5．已知函数f (x )＝1－(x －1)2，x ∈[1,2]，对于满足1<x 1<x 2<2的任意x 1、x 2，给出下列结论：
①f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1； ②x 2f (x 1)>x 1f (x 2)； ③(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]<0； ④(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0. 其中正确结论的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 [答案]B [解析]曲线y ＝
1－(x －1)2，x ∈[1,2]表示圆(x －1)2＋y 2＝1，位于直线x ＝1右侧x 轴上
方的四分之一个圆，∵1<x 1<x 2<2，∴f (x 1)>f (x 2)．因此，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，④错，③对；显然有k OA >k OB ，∴f (x 1)x 1>f (x 2)x 2，∴x 2f (x 1)>x 1f (x 2)，故②正确；又k AB ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，可能有k AB <
－1，也可能k AB >－1，∴①错．
6．(文)圆心在曲线y ＝3
x (x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为
( )
A ．(x －1)2＋(y －3)2＝(18
5)2
B ．(x －3)2＋(y －1)2＝(16
5)2
C ．(x －2)2＋(y －3
2)2＝9
D ．(x －3)2＋(y －3)2＝9 [答案]C
[解析]设圆心坐标为(a ，3
a
)(a >0)，
则圆心到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离d ＝|3a ＋12a ＋3|
5＝35(a ＋4a ＋1)≥3
5(4＋1)＝3，等号当
且仅当a ＝2时成立．
此时圆心坐标为(2，3
2)，半径为3，故所求圆的方程为
(x －2)2＋(y －3
2
)2＝9.
(理)若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋
2
b 的最小值为( )
A ．1
B ．5
C ．4 2
D ．3＋2 2 [答案]D
[解析]由条件知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2
b
)(a ＋b ) ＝3＋b a ＋2a
b
≥3＋22，
等号在b a ＝2a
b ，即b ＝2－2，a ＝2－1时成立．
二、填空题
7．(2013·某某)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________． [答案]2 2
[解析]最短弦为过点(3,1)，且和点(3,1)与圆心的连线垂直的弦，易知弦心距d ＝(3－2)2＋(1－2)2＝2，所以最短弦长为2
r 2－d 2＝2
22－(2)2＝2 2.
8．(文)由动点M 向⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1引两条切线MA 、MB ，切点为A 、B ，若MA ⊥MB ，则动点M 的轨迹方程为________．
[答案](x －2)2＋(y －3)2＝2
[解析]已知圆的圆心C (2,3)与点M 、A 构成Rt △MAC ，由条件MA ⊥MB 知，∠AMC ＝45°， 从而|MC |2＝|MA |2＋|AC |2＝2，
故点M 的轨迹是以C (2,3)为圆心、半径为2的圆，方程为(x －2)2＋(y －3)2＝2. (理)已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．
[答案](x ＋2)2＋y 2＝2
[解析]设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝2(a <0)，由条件得2＝|a |
2
，∴|a |＝2，又a <0，∴a ＝－2.
9．(2013·某某检测)已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.若点P 到直线l 的距离为2，则符合题意的点P 有________个．
[答案]2
[解析]由题意知圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝42，∴圆心(－2,3)到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝23
5
>4，故直线与圆相离，则满足题意的点P 有2个． 三、解答题
10．(文)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)，求： (1)过点A 的圆的切线方程；
(2)O 点是坐标原点，连结OA ，OC ，求△AOC 的面积S . [解析](1)⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1.
当切线的斜率不存在时，过点A 的直线方程为x ＝3，C (2,3)到直线的距离为1，满足条件．
当k 存在时，设直线方程为y －5＝k (x －3)， 即kx －y ＋5－3k ＝0，由直线与圆相切得， |－k ＋2|k 2＋1
＝1，∴k ＝3
4
.
∴直线方程为x ＝3或y ＝34x ＋11
4.
(2)|AO |＝
9＋25＝34，
直线OA ：5x －3y ＝0，
点C 到直线OA 的距离d ＝134
， S ＝12·d ·|AO |＝12
. (理)(2013·新课标Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，己知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.
(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为
2
2
，求圆P 的方程． [解析](1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .
由题意知y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而得y 2＋2＝x 2＋3. ∴点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设与直线y ＝x 平行且距离为2
2
的直线为l ：x －y ＋c ＝0，由平行线间的距离公式得C ＝±1.
∴l ：x －y ＋1＝0或x －y －1＝0.
与方程y 2－x 2＝1联立得交点坐标为A (0,1)，B (0，－1)． 即点P 的坐标为(0,1)或(0，－1)，代入y 2＋2＝r 2得r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.
能力拓展提升
一、选择题
11．(2013·某某质检)已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点M (3,5)的最长弦、最短弦分别为AC 、BD ，则以点A 、B 、C 、D 为顶点的四边形ABCD 的面积为( )
A ．10 6
B ．20 6
C ．30 6
D ．40 6 [答案]B
[解析]圆的方程：(x －3)2＋(y －4)2＝25， ∴半径r ＝5，
圆心到最短弦BD 的距离d ＝1， ∴最短弦长|BD |＝46， 又最长弦长|AC |＝2r ＝10，
∴四边形的面积S ＝1
2
×|AC |×|BD |＝20 6.
12．(2013·某某)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )
A ．6
B ．4
C ．3
D ．2 [答案]B
[解析]如图所示，要使|PQ |最小，则过圆心作直线x ＝－3的垂线分别与圆及直线交于点P 、Q ，此时|PQ |最小，圆心到直线x ＝－3的距离为6，则|PQ |min ＝6－2＝4.故选B.
二、填空题
13．(文)若圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交所得的弦长为22，则圆的方程是________________．
[答案](x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244
[解析]设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x ＋2y ＝0上，即有a ＋2b ＝0，根据题意可得
⎩⎨⎧ a ＋2b ＝0，
(2－a )2
＋(3－b )2
＝r 2
，r 2
－(a －b ＋1
2)2
＝2.
解得⎩⎪⎨⎪
⎧ a ＝6，b ＝－3，
r 2
＝52.
或⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝14，
b ＝－7，r 2
＝244.
所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.
(理)(2013·某某调研)已知直线2ax ＋by ＝1(a ，b 是实数)与圆O ：x 2＋y 2＝1(O 是坐标原点)相交于A ，B 两点，且△AOB 是直角三角形，点P (a ，b )是以点M (0,1)为圆心的圆M 上的任意一点，则圆M 的面积的最小值为________．
[答案](3－22)π
[解析]因为直线与圆O 相交所得△AOB 是直角三角形，可知∠AOB ＝90°，所以圆心O 到直线的距离为
1
2a 2＋b 2
＝
22，所以a 2＝1－1
2
b 2≥0，即－2≤b ≤ 2.设圆M 的半径为r ，则r ＝|PM |＝
a 2＋(
b －1)2＝
12b 2－2b ＋2＝2
2
(2－b )，又－2≤b ≤2，所以2＋1≥|PM |≥2－1，所以圆M 的面积的最小值为(3－22)π.
三、解答题
14．(2013·某某一中月考)已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －1
2被
M 截得的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方．
(1)求圆M 的方程；
(2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值．
[解析](1)设圆心M (a,0)，由已知条件得点M 到直线l ：8x －6y －3＝0的距离为1
2，所以
|8a －3|82＋6
2
＝1
2，又M 在l 下方，8a －3>0，所以8a －3＝5，得a ＝1，故M ：(x －1)2＋y 2＝1. (2)设直线AC ：y ＝k 1x ＋t ，BC ：y ＝k 2x ＋t ＋6，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k 1x ＋t ，y ＝k 2x ＋t ＋6得x C ＝6k 1－k 2.
因为圆M 与直线AC 相切，所以
|k 1＋t |
1＋k 2
1
＝1，得k 1＝1－t 2
2t ，
同理k 2＝1－(t ＋6)22(t ＋6).所以k 1－k 2＝3(t 2＋6t ＋1)
t 2＋6t ，
因为|AB |＝6，
所以S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪6k 1－k 2×6＝6⎪⎪⎪⎪⎪⎪
1－1t 2＋6t ＋1，
因为－5≤t ≤－2，所以－2≤t ＋3≤1， 所以，t 2＋6t ＋1＝(t ＋3)2－8∈[－8，－4]． S max ＝6×(1＋14)＝152，S min ＝6×(1＋18)＝27
4
.
15．(文)已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2
t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．
(1)求证：△OAB 的面积为定值；
(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程． [解析](1)证明：∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4
t 2.
设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4
t ；
令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，
∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝1
2×⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，
即△OAB 的面积为定值． (2)∵|OM |＝|ON |，|CM |＝||， ∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝1
2.
∴直线OC 的方程是y ＝1
2x .
∴2t ＝1
2
t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝
1
5
<5， 圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．
当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝9
5
> 5. 圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.
(理)(2012·某某六市联考)已知直线l 与抛物线x 2＝4y 相切于点P (2,1)，且与x 轴交于点
A ，O 为坐标原点，定点
B 的坐标为(2,0)，动点Q 满足AB →·BQ →
＋2|AQ →
|＝0.
(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，只要该圆的切线与切点Q 的轨迹C 有两个不同交点M ，
N ，就一定有OM →·ON →
＝0？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．
[解析](1)由x 2＝4y 得y ＝14x 2，∴y ′＝1
2x ，
∴直线l 的斜率为y ′|x ＝2＝1，
故l 的方程为：y －1＝1(x －2)，即y ＝x －1， ∴点A 坐标为(1,0)，
设Q (x ，y )，则AB →
＝(1,0)，BQ →
＝(x －2，y )，AQ →
＝(x －1，y )， 由AB →·BQ →
＋2|AQ →
|＝0得， x －2＋0＋2
(x －1)2＋y 2＝0，
化简整理得x 22
＋y 2
＝1，
故动点Q 的轨迹C 的方程为：x 22
＋y 2
＝1.
(2)假设存在这样的圆，其方程为x 2＋y 2＝r 2(r >0)．
(ⅰ)当直线MN 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m 代入x 22＋y 2
＝1，可得(1＋2k 2)x 2＋
4kmx ＋2m 2－2＝0，
判别式Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)>0， ∴m 2<1＋2k 2，①
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km
1＋2k 2，②
x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2
，③
由OM →·ON →
＝0，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，
即x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，④
将②③代入④得2(m 2－1)(1＋k 2)1＋2k 2－4k 2m 21＋2k
2＋m 2＝0，m 2＝23(1＋k 2)，⑤ 显然满足①式
由直线MN ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝r 2相切知：
r ＝|m |1＋k 2
， ∴r ＝m 21＋k 2＝23
，即存在圆x 2＋y 2＝23满足题意． (ⅱ)当直线MN 的斜率不存在时，可得x 1＝x 2＝
63或x 1＝x 2＝－63，y 1＝－y 2＝63
，满足OM →·ON →
＝0，
综上所述：存在圆x 2＋y 2＝23满足题意．
考纲要求
1．掌握确定圆的几何要素．
2．掌握圆的标准方程与一般方程，会用适当方法求圆的方程．
补充材料
一、数形结合思想
在解决与圆有关的最值问题时，主要借助圆的几何性质，用数形结合的方法求解．
1．圆上点到定点P 的距离的最大(小)值：连结圆心C 与P 交圆于两点为最大(小)值点．
(1)点P 在⊙C 内，过点P 的⊙C 的弦中，最长的为EF (过圆心)，最短的为AB (AB ⊥EF )，在⊙C 上所有点中，点E 到点P 距离最小，点F 到点P 距离最大．
(2)点P 在⊙C 外，PC 与圆交于E 、F ，圆上所有点中到点P 距离最大(小)的点为F (E )，
过点P 可作两条直线P A 、PB 与⊙C 相切，则PC 为∠APB 的平分线，PC 垂直平分AB .
2．圆上的点到定直线的距离最值：由圆心向直线作垂线与圆两交点为最值点．
直线l 与⊙C 外离，PC ⊥l 交⊙C 于A 、B ，则在⊙C 上到直线l 距离最大(小)的点为B (A )．
二、等价转化思想
已知点P (x ，y )为圆上动点
(1)形如y －b x －a
的最值转化为动直线的斜率求解，一般在相切位置取最值． (2)形如ax ＋by 的最值，一般设u ＝ax ＋by ，转化为动直线的截距问题．用判别式法求解，或在相切位置取最值．
(3)形如(x －a )2＋(y －b )2的最值转化为动点到定点的距离问题或设(x －a )2＋(y －b )2＝k 2，转化为两圆有公共点时，k 的取值X 围问题．
备选习题
1．双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为60°，直线ax ＋by －a ＋1＝0平分圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是( )
A ．P 在⊙C 内
B ．P 在⊙
C 上
C ．P 在⊙C 外
D ．无法确定
[答案]C
[解析]由条件得，
⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝tan60°，2a ＋3b －a ＋1＝0，解之得⎩⎨⎧ a ＝－14，b ＝－34，
∵(－14－2)2＋(－34
－3)2>1，∴点P 在⊙C 外． 2．(2013·某某调研)圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值X 围是( )
A ．(－∞，14]
B ．(0，14
] C ．(－14，0) D ．(－∞，14
) [答案]A
[解析]由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，∴ab ≤(a ＋b 2)2＝14
. 3．已知圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝1上一点P 到直线3x －4y －3＝0距离为d ，则d 的最小值为( )
A ．1 B.45 C.25
D ．2 [答案]A
[解析]∵圆心C (－1,1)到直线3x －4y －3＝0距离为2，∴d min ＝2－1＝1.
4．实数x 、y 满足x 2＋(y ＋4)2＝4，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为________．
[答案]30＋426
[解析](x －1)2＋(y －1)2表示圆x 2＋(y ＋4)2＝4上动点(x ，y )到(1,1)点距离d 的平方．∵26－2≤d ≤26＋2，∴最大值为(26＋2)2＝30＋426.
5．圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于A 、B ，|AB |＝3，则该圆的标准方程是________．
[答案](x －1)2＋⎝⎛⎭
⎫y －122＝1 [解析]
设圆心C (a ，b )，由条件知a ＝1，取弦AB 中点D ，则CD ＝AC 2－AD 2 ＝12－⎝⎛⎭⎫322＝12， 即b ＝12
，∴圆方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1. 6．(2013·嘉峪关市一中三模)圆x 2＋y 2＝8内有一点P 0(－1,2)，当弦AB 被P 0平分时，直线AB 的方程为________．
[答案]x －2y ＋5＝0
[解析]∵kOP 0＝－2，∴k AB ＝12，∴AB ：y －2＝12
(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.。