工程力学I—第三篇：变形杆系静力学83

A2 B2
o
D/
C 2α0 A1
F B1
CD sin 20 sin 2
OC CB1 cos 2 DB1 sin 2
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin 2
EF CE sin(20 2) CD sin 20 cos 2 CD cos 20 sin 2
x
2
y
sin
2
xy
cos
2
证毕
1, 2 , 3
3、主平面位置
y x
以D为基点，转到 A1点，其圆心角为
20 ，逆时针时0为“＋”；顺时针时 o
x
0 为“－”。（0——主平面的位置)。
y
y
x x
y
4、切应力的极值及所在位置
max CG1 min CG2
以D为基点，转到G1点，
其圆心角为2 1 。
( , ) E
G1 21 D
A1
B1
证得半径为：
R
(
x
2
y
)2
2 xy
四、图解法的应用
1、求斜截面上应力 ,
以D为基点，转2 的圆心
角至E点—— E( , ) ，转向
o 与单元体面转过的方向相同。
( , ) E
A2 B2
D( x , x )
2
2 0
C
B1
A1
2、主应力
max OA1 min OA2
D'
( y , y )
y x
o x
y
y
x x
y
B2
C
o
( y , yxD) ’
D( x , xy )
B1
三、证明：
OC OB1 B1C
OB1
OB1
2
OB2
A2 B2
C
x
x
2
y
证得圆心位置：
x
(
x
y
2
y
,0)
o
( y , yxD) ’
2
R CD
CB12 (B1D)2
(
x
y
)2
2 xy
2
D ( x , xy )
2）主应力、主平面（单位：MPa）。
40
解：1、按比例画此单元体对应的应力圆
τ
0 20
0
80 60
D’
E ( 30 , 30)
A2
2、量出所求的物理量
300 OF; 300 EF.
1 OA1; 2 0; 3 OA2.
0
DCA1 2
.
60
A1 σ
OC
20 F
D
x
B
A
D E
x
b
d
2×45º
A2 B2
o
2 20
C
B1
A1
由应力圆可证明——
D'
最大正应力与最大剪应力 y 所在平面相差450
y
2
y x
o x
0
x
x
1
y
G2 y x
o x
y
y
max
min x x
y
证明：（ 2α 角的关系）
OF OC CF
E D
2α
OC CE cos(20 2 ) OC CE cos 20 cos 2 CE sin 20 sin 2 OC CD cos 20 cos 2
2
半径：
R
(
x
2
y
)2
2 xy
应力圆：
(
x
y )2
2
2
(
x
y )2
2
2xy
R
C
x y
2
R
(
x
y
)2
2 xy
2
应力圆上任一点 的横、纵坐标分别对 应该点某一截面上正 应力和切应力
二.应力圆的画法
y y
yx
D xy x
A x
D’
(y ,yx)
R
(
x
y
)2
2 xy
2
R
D (x ,xy)
q
x
3
3
2
x
xy
2 o
3
xy 1
3
o
4
x
xy1
4
o
1
x
1 o
x
5
5 o
主应力迹线（Stress Trajectories)：
主应力方向线的包洛线——曲线上每一点 的切线都指示着该点的主拉应力方位（或 主压应力方位）。
实线表示主拉应力迹线； 虚线表示主压应力迹线。
3
1
3
1
y
1234
i
n
主应力迹线的画法：
o
c
a
2×45º
e
D
1＝
B
3＝
E
a (0, )
1＝ B
A
2×45º
e
c
o
b
3＝
2×45º
E
d (0,- )
主应力单元体
F
y
1
o
2 3
4
5
梁的主应力及其主应力迹线
q
x
My Iz
,
x
Fs
S
z
b Iz
y 0
x
1 3
x
2
（ x
2
）2
2 xy
1
x
2
x
xy
3
xy
4
x
xy
x
5
F
y
1
o
2 3
4
5
梁的主应力及其主应力迹线
§8 -3 平面应力的应力状态分析 — 图解法
一、应力圆：
y
x x
y
2
y
2
x
2
sin 2
y cos 2 xy cos 2
xy
sin
2
y x
对上述方程消参数（2），得：
o x
y
x x
y
(
x
2
y
)2
2
( x
2
y
)2
2 xy
这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆
圆心：
(
x
y
,0)
几个对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面
上的正应力和切应力
y
y
n
yx
H
xy
x
x
D’
(y ,yx)
H ( a , a )
2 D (x ,xy)
c
x y
2
转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致； 二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。
例：求 1）图示单元体α=300 斜截面上的应力
c
x y
2
绘制步骤：
1、取直角坐标系—— o
x

2
y
2
2
x
2
y
2
2 xy
2、取比例尺（严格按比例做图）。
0
** MPa
OB2 y ,
3、找点
D(
x
,
,
xy
)
D( y., yx )
OB1 x , B1D xy , B2D' y ,
4、连 DD 交 轴于 C 点，以C为圆心，CD 为半径画圆——应力圆。
x
1234
i
n
截面截面截面截面 截面 截面