《随机过程》第6章习题及参考答案

湖南大学本科课程《随机过程》第6章习题及参考答案
主讲教师：何松华 教授
1. 给定实数x 和一个平稳随机过程()X t ，定义理想门限系统的特性为
1()()0()X t x
Y t X t x
≤⎧=⎨
>⎩ 试证：(1) [()]()X E Y t F x =；(2) ()](,,)Y X R F x x ττ=
证：(1) ()Y t 在任意时刻为只有两种取值1,0的随机变量，则
[()]1{()1}0{()0}{()1}{()}(,)() ()
X X E Y t P Y t P Y t P Y t P X t x F x t F x =⨯=+⨯====≤==根据平稳性
(2)根据相关函数定义，有
()][()()]11{()1,()1}01{()0,()1} 10{()1,()0}00{()0,()0}{()1,()1}{(),()}(,;,)(,;) ()
Y X X R E Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P X t x X t x F x x t t F x x ττττττττττ=+=⨯⨯+==+⨯⨯+==+⨯⨯+==+⨯⨯+===+===+≤≤=+=根据平稳性
2．设平方律检波器的传输特性为2y x =，在检波器输入端加入一窄带高斯随机过程
()X t ，其概率密度函数为
2
2
()()}2X X
x a f x σ-=- 在检波器后联接一个理想低通滤波器，求低通滤波器输出过程的一维概率密度和均值；当0a =时结果有何变化。

解：根据题意，()X t 为非零均值的中频窄带随机过程，可以表示为：
00()()cos()()sin()C S X t a A t t A t t ωω=+-
其中()C A t 、()S A t 为零均值窄带随机过程的同向分量以及正交分量，都服从均值为0、
方差为2
X σ的正态分布，且在同一时刻互不相关，则检波器输出信号
22002222200000()[()cos()()sin()]1111
()()2()cos()()cos(2)()cos(2)2222 2()sin()()()sin(2)
C S C S C C S S C S X t a A t t A t t a A t A t aA t t A t t A t t aA t t A t A t t ωωωωωωω=+-=+
+++--- 通过理想低通滤波后，滤波器输出信号为
2221
()[()()]2
C S Z t a A t A t =++
由于随机变量()C A t 、()S A t 为互不相关(正态分布情况与独立等价)的正态随机变量，则
2212
2
()
()
()C S X
X
A t A t Z t σσ=
+
服从自由度为2的卡方分布，即
11121
/22
/2112
2
1
()2
2(2/2)
z z Z z e
f z e ---=
=Γ 22
1()
()2
X Z t Z t a σ=+
，212
2[()]
()[()]X
Z t a Z t h Z t σ-==
，根据随机变量函数的概率密度关系，
()Z t 的一维概率密度分布函数为
2
2
122()1
()[()] ()X z a Z Z X
dh z f z f h z e z a dz σσ--=
=≥
2222222211
[()]{[()()]}[]22
C S X X X E Z t E a A t A t a a σσσ=++=++=+
当0a =时，2
2
1
() (0)X z
Z X
f z e z σσ-
=
≥，2[()]X E Z t σ=。

3．设对称限幅器的特性为
0000
0()()[()]()()()x X t x Y t g X t X t x X t x x X t x -<-⎧⎪
==-≤<⎨⎪≥⎩
(1)已知输入随机过程()X t 的一维概率密度(,)X f x t ，求输出随机过程()Y t 的一维概率密度(,)Y f y t 。

(2)当输入随机过程()X t 为零均值平稳高斯过程、自相关函数为()X R τ时，求输出过程()Y t 的相关函数()Y R τ。

解：()Y t 的概率分布函数为
00000(,)(,)1y
Y X y x F y t f x t dx x y x y x -∞<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪
>⎪⎩
⎰
显然，(,)Y F y t 在0y x =-处不连续，从0跳变到0
(,)x X f x t dx --∞
⎰，其导数在该处将产生一
个强度为0(,)x X f x t dx --∞
⎰
的冲激，在0y x =处也不连续，从0(,)x X f x t dx -∞
⎰
跳变到1，其导数
在该处将产生一个强度为01(,)x X f x t dx -∞
-⎰
的冲激，则有
0000000
0()
(,)0(,)()(,)1(,)()0Y x x X X X dy t f y t dt
y x f x t dx y x f y t f x t dx y x x y x y x δδ--∞-∞=
<-⎧
⎪⎪
⎡⎤⎡⎤=+++---≤≤⎨⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦⎪>⎪⎩
⎰⎰ (2)根据相关函数的定义以及多维随机变量函数的数学期望特性，有：
121212
22
12112212
2()[()()]{[()][()]}(]()(,;)1()([2()]}2[1()](0)Y X X X X R E Y t Y t E g X t g X t g x g x f x x dx dx g x g x x r x x x dx dx r R ττττττ∞∞
-∞-∞
∞
∞
-∞-∞=+=+==--+-⎰
⎰
⎰⎰ 式中，()()/(0)X X X r R R ττ=，根据()g x 的定义以及联合概率密度函数的对称性得到
222
01122122
2220112212
2
011()2[2()]}2[1()](0)
1
2[2()]}2[1()](0)
1 2[2[1Y X x x X X X x x X X X R x x r x x x dx dx r R x x r x x x dx dx r R x x r τττττ∞
∞
∞
∞
=-
-+---
++-+--⎰⎰
⎰
⎰
000
00
22
1122212
2201112221
2
22
11222
[2()]}]()](0)
1
2[[2()]}]2[1()](0)
1 [2()]}2[1()](0)
x X x x X x X x x X X X X X x r x x x dx dx R x x x r x x x dx dx r R x r x x x d r R ττττττ∞
-∞
--+--
++-+-
-+-⎰⎰
⎰⎰
12x x x x x dx --⎰
⎰
4．设有理想限幅器
1()0
()[()]1()0X t Y t g X t X t ≥⎧==⎨
-<⎩
假定输入()X t 为零均值平稳高斯随机过程。

(1)求()Y t 的一维概率密度和均值；(2)用Price 定理证明：2
()arcsin[()]Y X R r ττπ
=。

解：(1) 显然，对任意时刻t ，()Y t 只有两种可能的取值1,-1，且概率各为0.5，则
()0.5(1)0.5(1)Y f y y y δδ=++-
[()]10.5(1)0.50E Y t =⨯+-⨯=
(2) 令0()X t 为零均值、单位方差高斯噪声，则0()[()]X Y t g X t σ=，根据Price 定理
221122122()2()}()2[1()]k k k
Y X k X X
R x r x x x dx dx r r ττττ∞∞-∞∂-+=-∂-⎰⎰ 上式中，令1k =，并利用冲激函数的积分特性，得到
2211221212
2212121212
()2()[2()][2(}()2[1()]()()()()Y X X X X X X X
X X X R x r x x x x x dx dx r r x x dx dx z z dz dz ττσδσσδσττσδσδσδδ∞∞-∞-∞∞∞
∞∞
-∞-∞
-∞-∞
∂-+=-∂-==
=
⎰⎰⎰⎰⎰
根
据[arcsin()]/d x dx =
以及2222
(0)[()]10.5(1)0.51Y Y R E Y t σ===⨯+-⨯=得到：
2
()arcsin[()]Y X R r ττπ
=。

5．设有零均值高斯平稳随机过程()X t ，其自相关函数为()X R τ，它的一维概率分布函数为()X F x ，定义一个无记忆非线性系统()[()]1/2X Y t F X t =-，试用Price 定理证明()Y t 的相关函数为
()1
()arcsin 22(0)X Y X R R R ττπ⎡⎤=
⎢⎥⎣⎦
证：根据Price 定理
221122122()2()}()2[1()]k k k
Y X k X X
R x r x x x dx dx r r ττττ∞∞-∞∂-+=-∂-⎰⎰
其中，()()1/2X X X g x F x σσ=-
，
22
2
()22
()
'()X X
x x X X X X X dg x F x dx
σσσσσσ-
-===
，取1k =，得到
222212112212
22222
112212
221()2()1exp{}}()222[1()][2()]2()[2()]}2[1()]2Y X X X X X X X R x x x r x x x dx dx r r r x r x x r x dx dx r x c τττπτττττ∞∞-∞-∞∞
∞
-∞-∞∂+-+=--∂---+-=---=-⎰⎰⎰
⎰
2
12212
22()}2[1()]z z z r x x x dx dx r ττσ∞
∞
-∞+-⎰⎰
式中，2()()2()X z X r r r τττ=-、222
222[1()][2()][2()]()
X X z
X X r r r r ττσττ--=--
，c =；上式中的积分为
一个均值为0、方差为2
z σ、归一化相关函数为()z r τ的平稳高斯随机过程的二维联合概率密度分布函数的全积分，积分值为1，于是有：
()()Y X R r ττ∂=∂
0()1()arcsin 22X Y r R c ττπ⎡⎤=
+⎢⎥⎣⎦
显然随机变量()Y t 的取值范围为[-1/2,1/2]，当y 在[-1/2,1/2]范围内变化时，其概率分布函数为
(1)
(1)
(){()}{[()]1/2}{[()]1/2}{()(1/2}[(1/2}]1/2
Y X X X
X X
F y P Y t y P F X t y P F X t y P X t F y F F y y --=<=-<=<+=<+=+=+
11
()()/ 1 ()22
Y Y f y dF y dy y ==≤≤
式中，(1)
()X
F -为()X F 的反函数。

因此，()Y t 在任意时刻的概率密度分布为[-1/2,1/2]上的均匀分布，
其均值为0，方差为1/12，代入()0Y R ∞=或(0)1/12Y R =并利用()0X r ∞=或(0)1X r =求得：
00c =，于是有：
()()11
()arcsin arcsin 2222(0)X X Y X r R R R τττππ⎡⎤⎡⎤=
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
6．平方律检波器的传输特性为2y x =，在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过程
()X t ，其方差为2σ，相关函数为()X R τ，求检波器输出过程()Y t 的一维概率密度、均值
及相关函数。

解：2
y x
=
，存在两个反函数
1
()
x h y
=
2
()
x h y
==()
Y t在任意时刻的概率密度
函数为
12
12
2
()()
()||[()]||[()]|
(0)
2
Y X X
dh y dh y
f y f h y f h y
dy dy
y
y
σ
=+=
⎡⎤
=-≥
⎢⎥
⎣⎦
22
[()][()]
E Y t E X tσ
==
22
()[()()][()()]
Y
R E Y t Y t E X t X t
τττ
=+=+
根据联合正态分布随机变量的联合矩函数特性
1234123413241423 [][][][][][][]
E X X X X E X X E X X E X X E X X E X X E X X
=++
得到
22
2242
()[()][()][()()][()()]
[()()][()()]
()()()()2()
Y
X X X X X
R E X t E X t E X t X t E X t X t
E X t X t E X t X t
R R R R R
ττττ
ττ
σσττττστ
=++++
+++
=⨯++=+
7．全波线性检波器的传输特性为||
y x
=，在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过程()
X t，其方差为2
σ，相关函数为()
X
Rτ，(1)求检波器输出过程()
Y t的一维概率密度、均值；(2)用Price定理求输出过程()
Y t的相关函数及方差。

解：(1)||
y x
=，存在两个反函数
1
()
x h y y
==，
2
()
x h y y
==-，则()
Y t在任意时刻的概率密度
函数为
22
22
()
1222
12
2
2
()()
()||[()]||[()]|1||1|
(0)
2
y y Y X X
dh y dh y
f y f h y f h y
dy dy
y
y
σσ
σ
-
--=+=+-
⎡⎤
=-≥
⎢⎥
⎣⎦
222
222
222
222
222
2
222
2
00
[()][|()|]|(
2
2
x x x
x
x x x
x
E Y t E X t x dx dx x dx
x
dx e d e
σσσ
σσσ
σ
---
∞∞
-∞-∞
=∞
---
∞∞
=
===+-
⎛⎫
====
⎪
⎝⎭
⎰⎰⎰
⎰⎰
(2)设'()X t 为零均值、单位方差、自相关函数为2()()/X X r R ττσ=的平稳高斯随机过程，则有
()|'()|Y t X t σ=，对应的函数为||y x σ=，其二阶导数在0x =处产生一个强度为2σ的冲激，其余
处的二阶导数值为0，则根据Price 定理得到：
22211221212
222
()2()[2()][2(}()2[1()]Y X X X
R x r x x x x x dx dx r r ττσδσδττ∞∞-∞-∞∂-+=-∂-=
⎰⎰
2
0()2arcsin[()]()Y X X R r c r τσττπ
∂=+∂
根据分部积分性质arcsin()arcsin()x dx x x =⎰
{}
2
102()()arcsin[()]()Y X
X
X R r r c c r σττττπ
=
+
显然，y 的均方值与x 的均方值相同，代
入2
22
2(){[()]}Y R E Y t σπ⎤∞===⎥⎦、
222(0)[()][()]Y R E Y t E X t σ===以及(0)1X r =、()0X r ∞=得到：010c c ==，于是有：
222()()2()arcsin[]X X Y R R R ττστπσσ⎧⎪=⎨⎪⎩ 22222222[()]{[()]}1Y E Y t E Y t σσσσππ⎡⎤
=-=-=-⎢⎥⎣⎦
8．半波线性检波器的传输特性为
0||00
2x x x x y x ≥⎧+=
=⎨
<⎩ 在检波器输入端加入一零均值平稳高斯随机过程()X t ，其方差为2σ，相关函数为()X R τ，(1)求检波器输出过程()Y t 的一维概率密度、均值；(2)用Price 定理求输出过程()Y t 的相关函数及方差。

解：(1) ()Y t 在任意时刻的概率分布函数为
00(){()}1/2
0()0
Y X
y F y P Y t y y F y y <⎧⎪
=≤==⎨⎪>⎩
2
22()1()() (0)2y Y Y dF y f y y y dy σδ-==≥
2
222
20002001[()]()()
210()2y Y y E Y t yf y dy y y dy y dy dy σσδδ-
-
-
-
-∞∞
-+
∞⎡⎤==+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⨯+=
⎰⎰
⎰
⎰
2
22
2
2222220022202
22001[()]()()
2110()
222y Y y
y
E Y t y f y dy y y dy y dy dy dy σσσδσ
δ-
-
-
--∞
∞
--+
∞∞∞⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⨯+==⎰⎰
⎰
⎰⎰
(2)设'()X t 为零均值、单位方差、自相关函数为()X r τ的平稳高斯随机过程，则有
'()
'()0()0
'()0
X t X t Y t X t σ≥⎧=⎨
<⎩，对应的函数为0
00x x y x σ≥⎧=⎨
<⎩
，其二阶导数在0x =处产生一个强度
为σ的冲激，其余处的二阶导数值为0，则根据Price 定理得到：
22211221212
222
()2()[()][(}()2[1()]Y X X X
R x r x x x x x dx dx r r ττσδσδττ∞∞-∞-∞∂-+=-∂-=
⎰⎰
2
0()arcsin[()]()2Y X X R r c r τσττπ
∂=+∂
根据分部积分性质arcsin()arcsin()x dx x x =⎰
{}
2
10()()arcsin[()]()2Y X X X R r r c c r σττττπ
=++
代入2
22
(){[()]}2Y R E Y t σπ∞===、222
(0)[()][()]2Y R E Y t E X t σ===以及(0)1X r =、
()0X r ∞=得到：10c =、2
14
c σ=
，于是有：
22
224
()()()1()arcsin[]1()24
X X X Y X R R R R R τττσττπ
σσσ⎧⎫⎪⎪=
+-+⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 2
2
2
2
22
111[()]{[()]}2
222Y E Y t E Y t σσσσππ⎡⎤=-=
-
=-⎢⎥⎣⎦
9．图示非线性系统。

输入为零均值、功率谱密度为0()/2X G N ω=的高斯白噪声()X t ，求输出随机过程()Y t 的自相关函数和功率谱密度。

解：根据电路方程容易得到RC 低通滤波器的传递函数为
()H j j αωωα
=
+
式中，1/()RC α=，则根据随机过程通过线性系统理论，低通滤波器输出过程的功率谱密度函数为
2
2
022
()()|()|2Z X N G G H j αωωωωα==+
根据典型傅立叶变换对关系||
22
2e
ατα
ωα-↔
+得到低通滤波器输出过程的自相关函数为
||0()4
Z N R e ατα
τ-=
由于()X t 为零均值平稳高斯过程，则()Y t 也为零均值平稳高斯过程，方差2
0(0)4
Z N R α
σ==，则根据题6给出的平方律检波器的输入输出过程相关函数的关系(证明过程省略)得到：
22
4
2
2||00()2()244Y Z N N R R e αταατστ-⎡⎤⎡⎤
=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
根据典型傅立叶变换关系得到检波器输出过程的功率谱密度函数为
22
002
2
4()2()2444Y N N G αααωπδωωα
⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦
10．设随机变量X 和Y 是零均值、方差为2σ的联合高斯随机变量，其概率密度分布函数分别为()X f x 和()Y f y ，且[]E XY η=，证明：
[()()]X Y E f X f Y =
证：根据高斯分布以及联合高斯分布随机变量的联合概率分布函数特性以及多维随机变量函数的数学期望性质，并令2/r ησ=，有
2
2
22
2
22
2
2
222222222
2222
1[2]2(1]22
1
[(2)2(2(1)1[()()](,)212X Y x y X Y XY x y x rxy y r r x r E f X f Y E e f x y dxdy e dxdy σ
σσσσ
ησ
πσπσ+--
-∞∞-∞-∞+--+-∞
∞
--∞-∞-
---⎧⎫⎡⎤⎪==⎢⎥⎬⎢⎥⎪⎭⎣⎦
⎡⎤=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰
⎰22222222/)(2)]2[2]2(1)2xy r y r r x xy y r r dxdy dxdy σσ+-∞
∞
-∞-∞-⎛⎫--+ ⎪∞∞-⎝-⎭
-∞-∞⎡⎤⎥
⎥⎦
⎡⎤⎥
=⎥⎦
⎰⎰⎰⎰
令022r r r =-、222222222
02222
0(1)/(2)(1)(2)(2)1(2)4r r r r r r r r r σσσσ-----===
----、
0/c ⎡⎤===，则有(参见题
5) 2202200
1
[2]2(1)00[()()]x r xy y r X Y E f X f Y c dxdy c σ--+∞
∞
--∞-∞
⎡⎤⎥==⎥⎦
⎰⎰，证毕。

11．设功率谱密度为0/2N 的白噪声通过一个物理带宽为/2ω∆的理想低通滤波器，在低通滤波器后接一个传输特性为2y x =的平方律检波器，求检波器输出随机信号的自相关函数和功率谱密度，并将功率谱密度函数用图表示。

解：理想低通滤波器输出信号的功率谱密度函数为
/2||/2
()0
X N G otherwise ωωω<∆⎧=⎨⎩ 根据相关函数与功率谱密度之间傅立叶变换关系，得到理想低通滤波器输出信号的自相关函数为
/2/21
00
/2/20011()
[()]cos()2222
(sin()0)
sin(/2)sin()224/2
j X X N N R F G e d d N N ωωωτωωτωωωτω
ππωτωωτωτπτπωτ∆∆--∆-∆===∆∆∆==∆⎰⎰根据奇函数在对称区间内积分为，虚部为0 20(0)4X N R ω
σπ
∆==
根据题6给出的平方律检波器的输入输出过程相关函数的关系(证明过程省略)得到：
222
4
2
00sin(/2)()2()244/2Y X N N R R ωωωττστππωτ∆∆∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆⎣⎦
⎣⎦⎣⎦ 根据傅立叶变换性质，有：
22
4
0()()2()2()()()2()()8Y X X X X N G G G G G ωωπσδωωωδωωωπ
∆=+⊗=+⊗
根据卷积原理，宽度为ω∆、高度为1的矩形函数的卷积为宽度为2ω∆、高度为ω∆的三角函数，
则宽度为ω∆、高度为0/2N 的矩形函数的卷积为宽度为2ω∆、高度为204
N ω
∆的三角函数，则
22200()||
()()[1]82Y N N G ωωωωδωπω
∆∆=+-∆
输出过程的功率谱密度函数如下图所示。

12．设()X t 为均值为X m 、相关函数为()X R τ的平稳高斯过程，将其加入到模型为
1()0
()[()]1()0X t Y t g X t X t ≥⎧==⎨
-<⎩
的理想限幅器输入端，求限幅器输出过程的自相关函数()Y R τ。

解：令0()X t 为零均值、单位方差高斯噪声，则0()[()]X X Y t g X t m σ=+，令2
2
()()(0)X X X X X
R m r R m ττ-=-，根据Price 定理，有：
1212
22
112212
2()()()()2() }2[1()]k k k
Y X X X X k k k X X X R d g x m d g x m r dx dx x r x x x dx dx r τσστττ∞∞-∞-∞∂++=∂-+--⎰⎰
上式中，令1k =，并利用冲激函数的积分特性，得到
1222
112212
222
1212()
[2()][2()]()
2() }2[1()](/)}()()1()
Y X X X
X X X X X X
X X X X X X X X
R x m x m r x r x x x dx dx r m x m x m dx dx r τσδσσδστττσσδσδστ∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞∂=++∂-+--=-+++=⎰⎰⎰
⎰21212
2
(/)}(/)(/)1()(/)}
1()X X X X X X X X X X
m z m z m dz dz r m r σδσδστστ∞∞
-∞-∞-+++=-+⎰⎰
令
2(
)0
(/)(0)()}1!n n
X X n m u u x x x n σ∞
==-=+∑
式中，()
(0)n u
为函数()u x 在0x =处的n 阶导数的值，则有
()100(0)
()[()](1)!
n n Y X n u R r c n ττ∞
+==++∑
式中
2202
200
()()()[}}]2(0)2(0)X X Y Y X X x m x m c R m dx dx R R ∞
--=∞==---⎰
⎰
13．平方律检波器的传输特性为2
2
b y x =，在检波器输入端加入一窄带随机信号，其中包络()A t 服从瑞利分布
2
22()exp{} (0)2A a
a f a a σσ
=-≥
求检波器输出过程的一维概率密度、均值和方差。

解：根据窄带随机过程理论，当包络()A t 服从参数为2σ的瑞利分布、相位()t Φ服从[-π,π]
上的均匀分布，且()A t 、()t Φ相互独立时，窄带随机过程()()cos[()]c X t A t t t ω=+Φ服从均值为0、方差为2σ的正态分布[证明过程参见第2章15题，或构造两外一个随机变量
()()sin[()]c Y t A t t t ω=+Φ，根据多维随机变量的多维函数的联合概率密度特性得到]
2
2()exp{} ()22X x f x x σπσ
=
--∞<<∞
根据函数关系2
()()2
b Y t X t =
得到检波器输出过程()Y t 的一维概率密度为 22
2/()2exp{}exp{} (0)222Y y b y
f y y b by
by σσπσπσ
=⨯
-=-≥ ()Y t 的均值、方差分别为
22[()][()]22
b b E Y t E X t σ=
= 2
222222424
44[()][()]{[()]}[()]342442b b b b b D Y t E Y t E Y t E X t σσσσ⎛⎫=-=-=⨯-= ⎪⎝⎭
14．同步检波器如下图所示，设()X t 为窄带平稳随机信号，其相关函数为
2
||
0000()cos()sin(||) ()X X
R e ατα
τσωτωταωω-⎡⎤=+<<⎢⎥⎣⎦
求检波器输出端的相关函数及平均功率。

解：(由相关函数知该窄带随机过程的物理功率谱密度不是关于0ω对称的，但不改变窄带信号的希
尔伯特特性)将窄带随机过程()X t 表示为
0()()cos[()]X t C t t t ω=+Φ
忽略符号特性(不改变相关函数及功率特性)，则理想低通滤波器输出信号可以表示为
11
()()sin[()]()22
S Y t AC t t AC t =
Φ= 式中，()C t 为窄带随机过程()X t 的包络，()S C t 为窄带随机过程()X t 的正交分量。

根据
窄带随机过程理论，()S C t 的相关函数为
00
ˆ()()cos()()sin()S X X R R R ττωττωτ=+2||00
002||2||00002||
2||2||0000cos()sgn()sin()cos() sin()sgn()sin()sin()1sgn()sin(2)sgn()sin()2X X X X X X e e H e e e H e ατατατατατατασωττωτωτωασωτστωτωτωαασστωτστωτωω------⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦
⎡⎤
⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣
⎦⎡=++⎣0sin()ωτ⎧⎫⎤⎪⎪⎨⎬
⎢⎥⎪⎪⎦⎩⎭
2
1()()4
Y S R A R ττ=
式中，表示()H 表示Hilbert 变换。

()Y t 的平均功率
22222221111
[()][()](0)(0)4444
X
S S X E Y t A E C t A R A R A σ=
=== 对于窄带随机过程，可以进行近似计算。

令00()() ()Xa X G G ωωωωω=+-<<∞，则有
2||1
()()cos()a X Xa
R e G d ατωτσωωτωπ
∞
--
=≈
⎰
2||01()sgn()()sin()b X Xa R e G d ατω
ατστωωτωωπ∞
--=
≈⎰ 0
02||0
1
1
1()()[cos()sin()][1sgn()]222j Xa Xa
X G e
d G j d
e j ωτ
ατω
ωα
ωωωωτωτωστπ
π
ω∞
∞
--
-=
+≈+⎰⎰ 则功率谱()X G ω的基带部分(非对称) ()Xa G ω所对应的相关函数为
2||0
1()[1sgn()]2Xa X R e j ατα
τστω-≈+
根据希尔伯特变换原理以及傅立叶变换性质可知
00ˆ[()][()][()]j j X Xa Xa
F R jF R e jF R e ωτωττττ-≈-+- 00002||2||00
2||
000
ˆ()()()11{[1sgn()]}{[1sgn()]}22[sin()sgn()cos()]j j X Xa Xa
j j X X X R jR e jR e j e j e j e j e e ωτωτωτωτατατατττταα
στστωωα
σωττωτω-----≈-+-=-++-=+
00
ˆ()()cos()()sin()S X X R R R ττωττωτ=+
2||2||
0000
[1sgn()sin(2)][1sin(2||)]X X e e ατατααστωτσωτωω--=+
=+ 15．设全波线性检波器的传输特性为||y x =，检波器的输入为()a N t +，其中0a >>为直流电平信号，()N t 为零均值平稳高斯随机过程，其方差为2σ，求检波器输入、输出端的信噪比(考虑高信噪比情况)。

解：输入端的信号平均功率以及噪声平均功率分别为a 、2σ，则检波器输入端信噪比为
22in S a N σ
⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦ 在高信噪比情况下，全波线性检波器的输出信号可以近似表示为
222()|()|12()()()1()22Y t a N t N t N t N t a a N t a a a =+==⎧⎫⎡⎤⎪⎪
≈++=++
⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭
式中，第1项a 为输出信号，平均功率为2a ，第2项()N t 为输出噪声，其平均功率为2σ，
第3项为信号与噪声的耦合项，平均功率为2
24
2()324N t E a a σ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭
，一般将其作为噪声功
率看待，则输出信噪比为
2424222
443/(4)43out S a a N a a σσσσ
⎡⎤
==⎢⎥++⎣⎦。