中考数学 第一部分 基础知识过关 第一章 数与式 第2讲 代数式与整式课件
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第四页，共三十五页。
知识点一 代数式及其求值
1.代数式:一般地,用基本运算(yùn suàn)符号(加、减、乘、除、乘方和 开 方)把① 数或表示数的字母 连接起来的式子叫做代数式,单独的 一个数或字母也是代数式. 2.代数式的值:一般地,用数值代替代数式里的字母,按照代数式中指明 的运算(yùn suàn)计算出的结果叫做代数式的值.
第七页，共三十五页。
知识点三 整式(zhěnɡ shì)的运算
1.整式的加减 (1)同类项:所含⑩ 字母相同 ,并且相同字母的指数也分别相同的 项叫做同类项. (2)合并同类项:把一个多项式中的同类项合并成一项,叫做合并 同类项.合并的法则是系数相加,所得的结果(jiē guǒ)作为合并后的系数,
a2-b2 ;
b.完全平方公式:(a±b)2=
a2±2ab+b2 .
温馨提示 1.平方差公式变形:(b+a)(a-b)=a2-b2;(a+b)(b-a)=b2-
a2;(a+b-c)(a-b+c)=a2-(b-c)2.
2.完全平方公式(gōngshì)变形:(a-b)2=(b-a)2;(-a-b)2=(a +b )2; (a-b)2=(a +b )2-4ab.
A.- 3 x2的系数是 3 B. πa23的系数为
3
C.3ab4 2的系数是3a 4
D. x2 y2的2 系数是
别相乘,作为积的因式,对于只在一个单项式里含有的字母,则连
同它的指数作为积的一个因式;
第十页，共三十五页。
b.单项式乘多项式:用符号表示(biǎoshì)为m(a+b+c)=am+bm+cm;
c.多项式乘多项式:用符号表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
(3)乘法公式
a.平方差公式:(a+b)(a-b)=
的多项式应符合a2±2ab+b2的形式,该多项式有两项能写成平方的
形式且符号相同,另外一项是其他两个平方项底数乘积的2倍或-2倍.
第十四页，共三十五页。
泰安考点聚焦
考点一 求代数的值 考点二 幂的运算 考点三 整式的混合运算 考点四 因式分解
第十五页，共三十五页。
考点一 求代数式的值
中考解题指导 求代数式的值,一般有两种形式(xíngshì):一是直接代入求 值;二是整体代入求值.整体代入求值时,往往需要将代数式进行 变形.
80 .
解析 因为a2-b2=(a +b )(a-b),且a +b =10,a-b=8,
所以a2-b2=80.
方法技巧 运用整体(zhěngtǐ)代入法求代数式的值时,可把已知条件直 接代入化简并求值,也可把已知条件适当变形后整体代入求值.
第十八页，共三十五页。
考点二 幂的运算
中考(zhōnɡ kǎo)解题指导 进行幂的运算时,牢记幂的运算性质,尤其是同
为 -48 .
解析(jiě xī) a3b-2a2b2+ab3=ab(a2-2ab+b2)=ab(a-b)2=ab[(a+b)2-4ab].
∵a+b=2,ab =-3, ∴原式=-3×(4+12)=-48.
变式4-1 分解(fēnjiě)因式:9x3-18x2+9x= 9x(x-1)2 .
解析 9x3-18x2+9x=9x(x2-2x+1)=9x(x -1)2.
第五页，共三十五页。
知识点二 整式的有关(yǒuguān)概念 1.单项式:由② 数或字母的积 组成的代数式叫做单项式.单独 的一个数或一个字母也是单项式,单项式中的③ 数字因数 叫做 这个(zhè ge)单项式的系数,单项式中④ 所有字母的指数的和 叫
做这个单项式的次数.
2.多项式:⑤ 几个(jǐ ɡè)单项式的和 叫做多项式,多项式中的每个 单项式叫做多项式的⑥ 项 ,不含字母的项叫做⑦ 常数 项 .在多项式中,次数最高项的次数叫做这个多项式的⑧ 次 数.
第二十二页，共三十五页。
变式3-1 先化简,再求值:a(a-2b)+(a+b)2,其中(qízhōng)a =-1,b = . 2 解析(jiě xī) 原式=a2-2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2,
当a=-1,b = 时2 ,原式=2+2=4.
变式3-2 设y = kx ,且k≠0,若代数式(x-3y)(2x+y)+y(x+5y)化简的结
第十二页，共三十五页。
知识点四 因式分解(yīn shì fēn jiě)
1.因式分解:把一个多项式化为几个整式的
积
样的式子变形(biàn xíng)叫做把这个多项式因式分解.
的形式,像这
2.因式分解的方法
(1)提公因式法:用式子表示m a+mb+mc=
m(a+ b +c ) .
公因式的确定:首先,取各项式系数的最大公约数;然后,取各项相
第六页，共三十五页。
3.整式:⑨ 单项式 和多项式统称为整式.
温馨提示 1.单项式的系数包含(bāohán)前面的符号,当系数是1时,可省
略不写,当系数为-1时,只需要写性质符号“-”.
2.当单项式的系数为带分数时,要把带分数写成假分数.
3.π是无理数,不是字母,在确定单项式的系数时,不要错把π看作字母.
A.a3·a2=a6
B.(-a2)3=a6
C.a7÷a5=a2
D.-2mn -mn =-mn
C)
解析 A.a3·a2=a5,错误(cuòwù); B.(-a2)3= -a6,错误; C.a7÷a5=a2,正确; D.-2mn –mn =-3mn,错误.
故选C.
第二十八页，共三十五页。
2.(2017菏泽(hé zé))下列运算正确的是 (
底
数幂相乘和幂的乘方时,不要忽略符号及数字因数.
例2 (2016泰安)下列(xiàliè)计算正确的是 ( D )
A.(a2)3=a5
B.(-2a)2=-4a2
C.m3m2=m6
D.a6÷a2=a4
解析 A.(a2)3=a6,错误(cuòwù);B.(-2a)2=4a2,错误;C.m3m2=m5,错误; D.a6÷a2=a4,正确.故选D.
例1 (2017新泰模拟)已知x-2y=3,那么(nà me)代数式3-2x+4y的值是 (
A)
A.-3
B.0
C.6
D.9
解析 3-2x+4y =3-2(x -2y),把x-2y =3代入得3-2×3=-3.
第十六页，共三十五页。
变式1-1 若2m-n2=4,则代数式10+4m-2n2的值为 18 . 解析(jiě xī) 10+4m-2n2=10+2(2m-n2),把2m-n2=4代入得10+2×4=18.
(-a2)3=-a6,D正确.
故选D.
第二十页，共三十五页。
变式2-2 若3x=4,9y=7,则3x-2y的值为
4
7.
解析 由9y=7,可得32y=7,又3x=4,所以3x-2y=3x÷32y= . 4
7
易错警示 1.同底数(dǐshù)幂的乘法易与合并同类项混淆,也易与幂 的乘方混淆. 2.同底数(dǐshù)幂的除法与同底数(dǐshù)幂的乘法互为逆运算.
同的字母;最后,取各项相同(xiānɡ tónɡ)字母的最低次数.
第十三页，共三十五页。
(2)公式法:(平方差公式)a2-b2=
)a2±2ab+b2=
(a±b)2 .
(a+b)(a-b) ;(完全平方公式
温馨提示 能用平方差公式进行因式分解(yīn shì fēn jiě)的多项式中的两
项都
能写成平方的形式,且符号相反;能用完全平方公式进行因式分解
第2讲 代数式与整式(zhěnɡ shì)
第一页，共三十五页。
总纲(zǒnggāng)目录
泰安考情分析 基础知识过关 泰安考点聚焦 随堂巩固练习
第二页，共三十五页。
泰安考情分析
第三页，共三十五页。
基础知识过关
知识点一 代数式及其求值 知识点二 整式的有关概念 知识点三 整式的运算 知识点四 因式分解
第十一页，共三十五页。
(4)整式的除法
a.单项式除以单项式:把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,
对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因 式;只在除式里含有的字母,则取其倒数(dǎo shù),作为商的一个因式;
b.多项式除以单项式:用符号表示为(am+bm+cm)÷m=a+b+c.
字母和字母的指数 不变.
第八页，共三十五页。
温馨提示 (1)常数项是同类项. (2)整式的加减(jiā jiǎn)实质是合并同类项. (3)去括号与添括号:
a+(b+c)= a+b+c ;a-(b+c)= a-b-c ; a+b–c =a + (b-c) ;a–b+c =a- (b-c) .
温馨提示 (1)去括号时,括号前面是“+”的,直接去掉括号,括号内的项符 号(fúhào)不变;括号前面是“-”的,去掉括号后,括号内的项都改变符号 ;(2)添括号时,括号前面是“+”的,括到括号里的各项的符号都不变;括号前 面是“-”的,括到括号里面的各项都改变符号.
变式1-2 已知代数式3x2-4x+6的值为9,则x2- x+46的值为 7 .
3
解析(jiě xī) 由3x2-4x+6=9,得3x2-4x=3,所以x24-
3
所以x2- 4 x +6=7.
3
x=1,
第十七页，共三十五页。
变式1-3
则a2-b2=
(2017江苏徐州(xú zhōu))已知a+b=10,a-b=8,
算的顺序进行运算(能用公式的要运用公式),实数的混合运算要 综合运用绝对值、算术平方根、立方根、三角函数、零指数幂 和负整数指数幂等知识.
2.实数的混合运算常运用(yùnyòng)运算律和乘法公式.
第二十四页，共指导 因式分解的一般步骤:(1)如果多项式的各项有公
因式,那么先提公因式;(2)如果各项没有公因式,那么可尝试运用
公式(gōngshì)法、十字相乘法来分解;(3)必须进行到每一个因式都不能再
分解.用一段话来概括:先看有无公因式,再看能否套公式,十字相 乘试一试,分解彻底才合适.
第二十五页，共三十五页。
例4 (2018菏泽(hé zé))若a+b=2,ab=-3,则代数式a3b-2a2b2-ab3的值
果(jiē guǒ)为2x2,求k的值.
第二十三页，共三十五页。
解析 ∵(x-3y)(2x+y)+y(x+5y)=2x2-5xy-3y2+xy+5y2=2x2-4xy+2y2=2(xy)2=2x2,∴x-y=±x,则x-kx=±x,解得k=0(不符合题意,舍去)或k=2.
方法技巧 1.在进行整式的运算时,一般(yībān)先根据整式的混合运
第十九页，共三十五页。
变式2-1 (2018枣庄)下列计算(jì suàn)正确的是 (
A.a5+a5=a10
C.a·2a2=2a4
B.a3÷ =a a 21 D.(-a2)3=-a6
D)
解析 a5+a5=2a5,A错误(cuòwù); a3÷ a = 1 =aa34,(B1错) 误; a·2a2=2a3,C错误;
第二十一页，共三十五页。
考点三 整式的混合运算(yùn suàn)
中考解题指导 整式的加减就是去括号并合并同类项.去括号时 注意两点:一是括号前面的符号;二是括号外面的数要乘括号内的
每一项.
例3 计算(jì suàn):3a3·a2-2a7÷a2=
a5
.
解析(jiě xī) 原式=3a5-2a5=a5.
A.3x2+4x2=7x4
B.2x3·3x3=6x3
C.a÷a-2=a3
D.
1 2
a
2b
3
=-
1 a6b3
6
C)
解析(jiě xī) A.原式=7x2,故A错误;B.原式=6x6,故B错误; C.原式=a3,故C正确;D.原式=- a16b3,故D错误,故选C.
8
第二十九页，共三十五页。
3.(2017内蒙古通辽)下列(xiàliè)说法正确的是 ( D )
第九页，共三十五页。
2.整式(zhěnɡ shì)的乘除
(1)幂的运算
am·an=
am+n
am÷an=
am-n
(am)n=
amn
(ab)n=
anbn
(m、n都是正整数);
(a≠0,m、n都是正整数,且m>n); (m、n都是正整数); (n是正整数).
(2)整式的乘法
a.单项式乘单项式:n个单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分
第二十六页，共三十五页。
变式4-2 (2017肥城模拟(mónǐ))分解因式:x3-4x2+4x = x(x-2)2 . 解析(jiě xī) x3-4x2+4x=x(x2-4x+4)=x(x-2)2.
第二十七页，共三十五页。
随堂巩固(gǒnggù) 训练
一、选择题
1.(2018德州)下列(xiàliè)运算正确的是 (
知识点一 代数式及其求值
1.代数式:一般地,用基本运算(yùn suàn)符号(加、减、乘、除、乘方和 开 方)把① 数或表示数的字母 连接起来的式子叫做代数式,单独的 一个数或字母也是代数式. 2.代数式的值:一般地,用数值代替代数式里的字母,按照代数式中指明 的运算(yùn suàn)计算出的结果叫做代数式的值.
第七页，共三十五页。
知识点三 整式(zhěnɡ shì)的运算
1.整式的加减 (1)同类项:所含⑩ 字母相同 ,并且相同字母的指数也分别相同的 项叫做同类项. (2)合并同类项:把一个多项式中的同类项合并成一项,叫做合并 同类项.合并的法则是系数相加,所得的结果(jiē guǒ)作为合并后的系数,
a2-b2 ;
b.完全平方公式:(a±b)2=
a2±2ab+b2 .
温馨提示 1.平方差公式变形:(b+a)(a-b)=a2-b2;(a+b)(b-a)=b2-
a2;(a+b-c)(a-b+c)=a2-(b-c)2.
2.完全平方公式(gōngshì)变形:(a-b)2=(b-a)2;(-a-b)2=(a +b )2; (a-b)2=(a +b )2-4ab.
A.- 3 x2的系数是 3 B. πa23的系数为
3
C.3ab4 2的系数是3a 4
D. x2 y2的2 系数是
别相乘,作为积的因式,对于只在一个单项式里含有的字母,则连
同它的指数作为积的一个因式;
第十页，共三十五页。
b.单项式乘多项式:用符号表示(biǎoshì)为m(a+b+c)=am+bm+cm;
c.多项式乘多项式:用符号表示为(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
(3)乘法公式
a.平方差公式:(a+b)(a-b)=
的多项式应符合a2±2ab+b2的形式,该多项式有两项能写成平方的
形式且符号相同,另外一项是其他两个平方项底数乘积的2倍或-2倍.
第十四页，共三十五页。
泰安考点聚焦
考点一 求代数的值 考点二 幂的运算 考点三 整式的混合运算 考点四 因式分解
第十五页，共三十五页。
考点一 求代数式的值
中考解题指导 求代数式的值,一般有两种形式(xíngshì):一是直接代入求 值;二是整体代入求值.整体代入求值时,往往需要将代数式进行 变形.
80 .
解析 因为a2-b2=(a +b )(a-b),且a +b =10,a-b=8,
所以a2-b2=80.
方法技巧 运用整体(zhěngtǐ)代入法求代数式的值时,可把已知条件直 接代入化简并求值,也可把已知条件适当变形后整体代入求值.
第十八页，共三十五页。
考点二 幂的运算
中考(zhōnɡ kǎo)解题指导 进行幂的运算时,牢记幂的运算性质,尤其是同
为 -48 .
解析(jiě xī) a3b-2a2b2+ab3=ab(a2-2ab+b2)=ab(a-b)2=ab[(a+b)2-4ab].
∵a+b=2,ab =-3, ∴原式=-3×(4+12)=-48.
变式4-1 分解(fēnjiě)因式:9x3-18x2+9x= 9x(x-1)2 .
解析 9x3-18x2+9x=9x(x2-2x+1)=9x(x -1)2.
第五页，共三十五页。
知识点二 整式的有关(yǒuguān)概念 1.单项式:由② 数或字母的积 组成的代数式叫做单项式.单独 的一个数或一个字母也是单项式,单项式中的③ 数字因数 叫做 这个(zhè ge)单项式的系数,单项式中④ 所有字母的指数的和 叫
做这个单项式的次数.
2.多项式:⑤ 几个(jǐ ɡè)单项式的和 叫做多项式,多项式中的每个 单项式叫做多项式的⑥ 项 ,不含字母的项叫做⑦ 常数 项 .在多项式中,次数最高项的次数叫做这个多项式的⑧ 次 数.
第二十二页，共三十五页。
变式3-1 先化简,再求值:a(a-2b)+(a+b)2,其中(qízhōng)a =-1,b = . 2 解析(jiě xī) 原式=a2-2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2,
当a=-1,b = 时2 ,原式=2+2=4.
变式3-2 设y = kx ,且k≠0,若代数式(x-3y)(2x+y)+y(x+5y)化简的结
第十二页，共三十五页。
知识点四 因式分解(yīn shì fēn jiě)
1.因式分解:把一个多项式化为几个整式的
积
样的式子变形(biàn xíng)叫做把这个多项式因式分解.
的形式,像这
2.因式分解的方法
(1)提公因式法:用式子表示m a+mb+mc=
m(a+ b +c ) .
公因式的确定:首先,取各项式系数的最大公约数;然后,取各项相
第六页，共三十五页。
3.整式:⑨ 单项式 和多项式统称为整式.
温馨提示 1.单项式的系数包含(bāohán)前面的符号,当系数是1时,可省
略不写,当系数为-1时,只需要写性质符号“-”.
2.当单项式的系数为带分数时,要把带分数写成假分数.
3.π是无理数,不是字母,在确定单项式的系数时,不要错把π看作字母.
A.a3·a2=a6
B.(-a2)3=a6
C.a7÷a5=a2
D.-2mn -mn =-mn
C)
解析 A.a3·a2=a5,错误(cuòwù); B.(-a2)3= -a6,错误; C.a7÷a5=a2,正确; D.-2mn –mn =-3mn,错误.
故选C.
第二十八页，共三十五页。
2.(2017菏泽(hé zé))下列运算正确的是 (
底
数幂相乘和幂的乘方时,不要忽略符号及数字因数.
例2 (2016泰安)下列(xiàliè)计算正确的是 ( D )
A.(a2)3=a5
B.(-2a)2=-4a2
C.m3m2=m6
D.a6÷a2=a4
解析 A.(a2)3=a6,错误(cuòwù);B.(-2a)2=4a2,错误;C.m3m2=m5,错误; D.a6÷a2=a4,正确.故选D.
例1 (2017新泰模拟)已知x-2y=3,那么(nà me)代数式3-2x+4y的值是 (
A)
A.-3
B.0
C.6
D.9
解析 3-2x+4y =3-2(x -2y),把x-2y =3代入得3-2×3=-3.
第十六页，共三十五页。
变式1-1 若2m-n2=4,则代数式10+4m-2n2的值为 18 . 解析(jiě xī) 10+4m-2n2=10+2(2m-n2),把2m-n2=4代入得10+2×4=18.
(-a2)3=-a6,D正确.
故选D.
第二十页，共三十五页。
变式2-2 若3x=4,9y=7,则3x-2y的值为
4
7.
解析 由9y=7,可得32y=7,又3x=4,所以3x-2y=3x÷32y= . 4
7
易错警示 1.同底数(dǐshù)幂的乘法易与合并同类项混淆,也易与幂 的乘方混淆. 2.同底数(dǐshù)幂的除法与同底数(dǐshù)幂的乘法互为逆运算.
同的字母;最后,取各项相同(xiānɡ tónɡ)字母的最低次数.
第十三页，共三十五页。
(2)公式法:(平方差公式)a2-b2=
)a2±2ab+b2=
(a±b)2 .
(a+b)(a-b) ;(完全平方公式
温馨提示 能用平方差公式进行因式分解(yīn shì fēn jiě)的多项式中的两
项都
能写成平方的形式,且符号相反;能用完全平方公式进行因式分解
第2讲 代数式与整式(zhěnɡ shì)
第一页，共三十五页。
总纲(zǒnggāng)目录
泰安考情分析 基础知识过关 泰安考点聚焦 随堂巩固练习
第二页，共三十五页。
泰安考情分析
第三页，共三十五页。
基础知识过关
知识点一 代数式及其求值 知识点二 整式的有关概念 知识点三 整式的运算 知识点四 因式分解
第十一页，共三十五页。
(4)整式的除法
a.单项式除以单项式:把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,
对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因 式;只在除式里含有的字母,则取其倒数(dǎo shù),作为商的一个因式;
b.多项式除以单项式:用符号表示为(am+bm+cm)÷m=a+b+c.
字母和字母的指数 不变.
第八页，共三十五页。
温馨提示 (1)常数项是同类项. (2)整式的加减(jiā jiǎn)实质是合并同类项. (3)去括号与添括号:
a+(b+c)= a+b+c ;a-(b+c)= a-b-c ; a+b–c =a + (b-c) ;a–b+c =a- (b-c) .
温馨提示 (1)去括号时,括号前面是“+”的,直接去掉括号,括号内的项符 号(fúhào)不变;括号前面是“-”的,去掉括号后,括号内的项都改变符号 ;(2)添括号时,括号前面是“+”的,括到括号里的各项的符号都不变;括号前 面是“-”的,括到括号里面的各项都改变符号.
变式1-2 已知代数式3x2-4x+6的值为9,则x2- x+46的值为 7 .
3
解析(jiě xī) 由3x2-4x+6=9,得3x2-4x=3,所以x24-
3
所以x2- 4 x +6=7.
3
x=1,
第十七页，共三十五页。
变式1-3
则a2-b2=
(2017江苏徐州(xú zhōu))已知a+b=10,a-b=8,
算的顺序进行运算(能用公式的要运用公式),实数的混合运算要 综合运用绝对值、算术平方根、立方根、三角函数、零指数幂 和负整数指数幂等知识.
2.实数的混合运算常运用(yùnyòng)运算律和乘法公式.
第二十四页，共指导 因式分解的一般步骤:(1)如果多项式的各项有公
因式,那么先提公因式;(2)如果各项没有公因式,那么可尝试运用
公式(gōngshì)法、十字相乘法来分解;(3)必须进行到每一个因式都不能再
分解.用一段话来概括:先看有无公因式,再看能否套公式,十字相 乘试一试,分解彻底才合适.
第二十五页，共三十五页。
例4 (2018菏泽(hé zé))若a+b=2,ab=-3,则代数式a3b-2a2b2-ab3的值
果(jiē guǒ)为2x2,求k的值.
第二十三页，共三十五页。
解析 ∵(x-3y)(2x+y)+y(x+5y)=2x2-5xy-3y2+xy+5y2=2x2-4xy+2y2=2(xy)2=2x2,∴x-y=±x,则x-kx=±x,解得k=0(不符合题意,舍去)或k=2.
方法技巧 1.在进行整式的运算时,一般(yībān)先根据整式的混合运
第十九页，共三十五页。
变式2-1 (2018枣庄)下列计算(jì suàn)正确的是 (
A.a5+a5=a10
C.a·2a2=2a4
B.a3÷ =a a 21 D.(-a2)3=-a6
D)
解析 a5+a5=2a5,A错误(cuòwù); a3÷ a = 1 =aa34,(B1错) 误; a·2a2=2a3,C错误;
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考点三 整式的混合运算(yùn suàn)
中考解题指导 整式的加减就是去括号并合并同类项.去括号时 注意两点:一是括号前面的符号;二是括号外面的数要乘括号内的
每一项.
例3 计算(jì suàn):3a3·a2-2a7÷a2=
a5
.
解析(jiě xī) 原式=3a5-2a5=a5.
A.3x2+4x2=7x4
B.2x3·3x3=6x3
C.a÷a-2=a3
D.
1 2
a
2b
3
=-
1 a6b3
6
C)
解析(jiě xī) A.原式=7x2,故A错误;B.原式=6x6,故B错误; C.原式=a3,故C正确;D.原式=- a16b3,故D错误,故选C.
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3.(2017内蒙古通辽)下列(xiàliè)说法正确的是 ( D )
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2.整式(zhěnɡ shì)的乘除
(1)幂的运算
am·an=
am+n
am÷an=
am-n
(am)n=
amn
(ab)n=
anbn
(m、n都是正整数);
(a≠0,m、n都是正整数,且m>n); (m、n都是正整数); (n是正整数).
(2)整式的乘法
a.单项式乘单项式:n个单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分
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变式4-2 (2017肥城模拟(mónǐ))分解因式:x3-4x2+4x = x(x-2)2 . 解析(jiě xī) x3-4x2+4x=x(x2-4x+4)=x(x-2)2.
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随堂巩固(gǒnggù) 训练
一、选择题
1.(2018德州)下列(xiàliè)运算正确的是 (