江苏省2015届高考数学模拟试题分类汇编：第8章-直线与圆的方程

目录（基础复习部分） 第八章 直线与圆的方程 (1)
第46课 直线的斜率和直线方程 ............................................................................................................ 1 第47课 两条直线的位置关系 ................................................................................................................ 1 第48课 圆的方程 .................................................................................................................................... 1 第49课 直线与圆的方程 ........................................................................................................................ 2 第50课 综合应用 (4)
第八章 直线与圆的方程 第46课 直线的斜率和直线方程
(南师附中)直线x cos α＋3y ＋2＝0(α∈R)的倾斜角的范围是 ▲ ． 解析:由x cos α＋3y ＋2＝0得直线斜率k ＝－3
3
cos α. ∵－1≤cos α≤1，∴－
33≤k ≤33
. 设直线的倾斜角为θ，则－
33≤tan θ≤3
3
. 结合正切函数在⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π上的图象可知，0≤θ≤π6或5π
6
≤θ<π.
(重点中学联考) 直线l 经过2
(,2)()A B m m R ∈两点，那么直线l 的倾斜角的取值范
围是 ▲ ．5(0,]6
π
第47课 两条直线的位置关系
（苏北四市期末）已知a ，b 为正数，且直线60ax by +-=与直线()2350
x b y +-+=互相平行，则23a b +的最小值为 ▲ ．25
（前黄姜堰四校联考）设,a R ∈ 则“2a = ”是“直线2y ax =-+与直线14
a
y x =
-垂直”的 ▲ 条件.（在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选一个合适的填空） 充分不必要
(扬州中学)已知直线3430x y +-=与直线6140x my ++=平行，则它们之间的距离是 ▲ ．2
第48课 圆的方程
（南师附中四校联考）已知圆C 的圆心C 在直线012=--y x 上，且圆C 经过两点A
（0,4），B （2,2），则圆C 的方程为 ▲ .74)3()5(2
2=+++y x
已知点(2,0),(4,0)A B -，圆,16)()4(:2
2=+++b y x C 点P 是圆C 上任意一点，若
PA PB
为定值，则b =____▲____.
第49课 直线与圆的方程
已知圆()()
)2
2
:0C x a y a -+->与直线3y x =相交于,P Q 两点,则当CPQ ∆的面积最大时,此时实数a 的值为 ▲
（苏锡常镇一）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为 ．[
3
（苏州期末）已知圆22
:(1)(1)4M x y -+-=，直线:60l x y +-=，A 为直线l 上一点，
若圆M 上存在两点B ，C ，使得60BAC ∠=︒，则点A 的横坐标的取值范围是 . [1，5]
（镇江期末）已知直线l 过点)2,1(P 且与圆O ：2
2
2x y +=相交于A ，B 两点，ABO ∆的面积为1，则直线l 的方程为 ▲ .
10x -=，3450x y -+=
（南京盐城二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知⊙Ｃ：2
2
(1)5x y +-=，Ａ为⊙Ｃ与x 负半轴的交点，过A 作⊙Ｃ的弦AB ，记线段AB 的中点为M ，若OA =OM ，则直线AB 的斜率为 。

2
（泰州二模）若斜率互为相反数且相交于点(1,1)P 的两条直线被圆O ：2
2
4x y +=所截得
的弦长之比为
2，则这两条直线的斜率之积为 ▲ ． 9-或19
- （前黄姜堰四校联考）在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：2
2
(2)5x y -+=上的
任意一点，动点Q (2,2)a a +()a R ∈，则线段PQ 长度的最小值为 ▲ .
5
（南通调研三）在平面直角坐标系xOy 中，过点P （-5，a ）作圆x 2+y 2-2ax +2y -1=0的两条
切线，切点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且21122112
2
0y y x x x x y y -+-+=-+，则实数a 的值为 ▲ ．
【答案】3或-2
（苏北三市调研三）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:()(2)1C x a y a -+-+=，点(0,2)A ，若圆C 上存在点M ，满足2210MA MO +=，则实数a 的取值范围是
▲ ．[0,3]
（南京三模）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9，直线l ：y ＝kx
＋3与圆C 相交于A ，B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围为 ▲ ． [－3
4
，＋∞) (南通四模)已知直线y =x +2与x ,y 轴分别交于M ,N 两点，点P 在圆(x －a )2+y 2=2上运动，若
2
∠MPN 恒为锐角，则实数a 的取值范围是 ．
答案：(,4)1,)-∞-+∞U
【解析】∠MPN 为锐角,点P 在以MN 为直径的圆外！
⇔以MN 为直径的圆与圆(x －a )2+y 2=2相离 ⇔(a +1)2>7⇔a <－7－1，或a >7－1．
注意：P 、M 、N 不共线
⇔直线y =x +2与圆(x －a )2+y 2=2相离 ⇔|a +2|2>2⇔a <－4，或a >2.
（苏北四市期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,4)A -，(9,0)B ，C ,D 分别为线段OA ,OB 上的动点，且满足AC BD =． (1) 若4AC =，求直线CD 的方程；
(2)
证明：△OCD 的外接圆恒过定点（异于原点O ）．
（1）因为(3,4)A -，所以5OA ==，………………………………1分
又因为4AC =，所以1OC =，所以34(,)55
C -，………………………………3分 由4B
D =，得(5,0)D ， ………………………………………………4分
所以直线CD 的斜率4
01
53755-
=-⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，………………………………………………5分
所以直线CD 的方程为1(5)7
y x =--，即750x y +-=．…………………………6分 （2）设(3,4)(01)C m m m -<≤，则5OC m =．………………………………………7分
则55AC OA OC m =-=-，
因为AC BD =，所以5+4OD OB BD m =-=，
所以D 点的坐标为(5+4,0)m ………………………………………………8分 又设
OCD ∆的外接圆的方程为2
2
+0x y Dx Ey F +++=，
则有()()22
2
0,916340,54540.F m m mD mE F m m D F ⎧=⎪⎪+-++=⎨⎪++++=⎪⎩
……………………………………………10分
解之得(54),0D m F =-+=，103E m =--，
所以OCD ∆的外接圆的方程为2
2
(54)(103)0x y m x m y +-+-+=，…………12分 整理得22435(2)0x y x y m x y +---+=，
令22430,20,
x y x y x y ⎧+--=⎨+=⎩所以0,0.x y =⎧⎨=⎩（舍）或2,
1.x y =⎧⎨
=-⎩ 所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2,1)-．…………………………………………14分
第50课 综合应用
在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0，点A ，B 在圆C 上，且AB ＝23，
则|OA →＋OB →
|的最大值是 ▲ ．8
（南京盐城模拟一）在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆2
2
2
(0)
x y r r +=>交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344
OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r
，则r =
▲ .
平方得235OA OB r =-u u u r u u u r g ，3
cos 5
AOB =-
，cos 2AOB ∠=
，r = 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1O ，圆2O 均与x 轴相切且圆心1O ，2O 与原点O 共线，1O ，2O 两点的横坐标之积为6，设圆1O 与圆2O 相交于P ，Q 两点，直线l ：280x y --=，则
点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为 ▲
．
已知点()0,2A 为圆()22
:2200M x y ax ay a +--=>外一点，圆M 上存在点T 使得
45MAT
?o ，则实数a 的取值范围是 .[3-1,1)
14：解：设圆1O ：2222111()()x x y kx k x -+-=，2O ：2222
222()()x x y kx k x -+-=，
两方程相减得1222ky x x x =+-，与圆1O 方程联立并用126x x =得22
6x y +=．
由图形可知点P 到直线l
-5
=
- 或令2y x t -=，则22
5460x tx t ++-=，0∆≥
得t ≤≤
；或用圆的参数方
程．
（南通调研二）在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：22(1)(6)25x y ++-=，圆2C ：
222(17)(30)x y r -+-=．
若圆2C 上存在一点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ，B ，满足
2PA AB =，
则半径r 的取值范围是 ▲ ． 【答案】[]5 55，
（盐城三模）
动直线(y k x =-
与曲线y A ，B 两点，O 为坐标原点，
当AOB ∆的面积取得最大值时，k 的值为 ▲
. -(苏锡常镇二模)已知,,0a b a ∈≠R ，曲线2
,21a y y ax b x
+=
=++，若两条曲线在区间[3,4]上至少有一个公共点，则22a b +的最小值为 ▲
1100
（南通调研一）在长为20m ，宽为16m 的长方形展厅正中央有一圆盘形展台(圆心为点C )，展厅入口位于长方形的长边的中间．在展厅一角B 点处安装监控摄像头，使点B 与圆C 在同一水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内(
（1）若圆盘半径为，求监控摄像头最小水平视角的正切值； （2）若监控摄像头最大水平摄像视角为60o
，求圆盘半径的最大值． （注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的视线的夹角．）
（扬州期末）如图，某商业中心O 有通往正东方向和北偏东30º方向的两条街道，某公园P 位于商业中心北偏东θ角（0<2
π
θ<
，tan 33θ=，且与商业中心O 21处．现要经过公园P 修一条直路分别与两条街道交汇于A
，B 两处．
（1）当AB 沿正北方向时，试求商业中心到A
，B 两处的距离和；
（2）若要使商业中心O 到A ，B 两处的距离和最短，请确定A ，B 的最佳位置．
东
P
北
B
30º
（1）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立坐标系．设(,)P m n ．
∵02
π
θ<<
，tan θ=
cos θ=
，sin 14
θ=， 则9sin 2
m OP θ=⋅=
，cos n OP θ=⋅= ……4分
依题意，AB ⊥OA ，则OA =
9
2
，OB =2OA =9， 商业中心到A ，B 两处的距离和为13.5km ． （2）方法1：当AB 与x 轴不垂直时，设AB
：9
()22
y k x -
=-， ① 令0y =
，得9
22
A x k =-
+； 由题意，直线OB
的方程为y =， ②
解①②联立的方程组，得B x =
2B OB x =
==
∴92y OA OB =+=+．由0A x >，0B x >，
得k >0k <．……11分
'y =
+
='0y =
，得3k =-，
当3k <-
时，'0y <，y
是减函数；当03k -
<<时，'0y >，y 是增函数．
∴当3
k =-时，y 有极小值为9km ．
当k >
'0y <，y 是减函数，结合（1）知13.5y >km ．
综上所述，商业中心到A ，B 两处的距离和最短为9km ，此时OA =6km ，OB =3km ．
方法2
：若设点()B m ，则AB
9
29
2y x m -
-
=-，得4(4,0)21A m +-， ∴44
24211492121
OA OB m m m m +=+
+=-+++≥--， ……13分
当且仅当42121m m -=
-即3
2
m =时取等号．
方法3：设(,0)A n ，AB
92x n n -=-，OB
：y =
，得21
42
B x n =
+-， 442441(4)5944
B OA OB n x n n n n +=+=-++
+=-++≥--， 当且仅当4
44
n n -=
-即6n =时取等号． 方法4（自解，原有一解法是用正弦定理，过繁）：
设OA n =，OB m =，由三角形面积关系可得4mn m n =+，
44
5(1)911
m m n m m m m +=+
=++-≥--，当3m =，6n =时取等号． （泰州二模）如图，某市有一条东西走向的公路l ，现欲经过公路l 上的O 处铺设一条南北走向的公路m ．在施工过程中发现在O 处的正北1百米的A 处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以A 为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路l 、m ，欲再新建一条公路PQ ，点P 、Q 分别在公路l 、m 上，且要求PQ 与圆A 相切． （1）当P 距O 处2百米时，求OQ 的长；
（2）当公路PQ 长最短时，求OQ 的长．
解：以O 为原点，直线l 、m 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系．
设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB ，以1百米为单位长度，则圆A 的方程为2
2
(1)1x y +-=，
(1)由题意可设直线PQ 的方程为12x y
q
+=，即220qx y q +-=，
(2)q > ，
∵PQ 与圆A
1=，解得8
3q = ，
故当P 距O 处2百米时，OQ 的长为8
3
百米． ……………5分 （2）设直线PQ 的方程为
1x y
p q
+=，即0qx py pq +-= ，(1,2)p q >>， ∵PQ 与圆A 相切，
1=，化简得22
q p q =
-，则222
22q PQ p q q q =+=+-， ……8分
令2
()(2)2
q f q q q q =+>-，∴222
22(1)(31)()2(2)(2)q q q f q q q q --+'=-=-- (2)q >，
当2q <<
时，()0f q '<，即()f q
在上单调递减；
当q >
()0f q '>，即()f q
在)+∞上单调递增， ∴()f q
在32q =
PQ 长最短时，OQ
的长为32
+百米． 答：（1)当P 距O 处2百米时， OQ 的长为
8
3
百米；（2）当公路PQ 长最短时， OQ 的
长为
32
+百米． ……………14分。