一元二次方程的实际应用

⼀元⼆次⽅程的实际应⽤
⼀、列⼀元⼆次⽅程解应⽤题的特点
列⼀元⼆次⽅程解应⽤题是列⼀元⼀次⽅程解应⽤题的继续和发展，从列⽅程解应⽤题的⽅法来讲，列出⼀元⼆次⽅程解应⽤题与列出⼀元⼀次⽅程解应⽤题是⾮常相似的，由于⼀元⼀次⽅程未知数是⼀次，因此这类问题⼤部分都可通过算术⽅法来解决．如果未知数出现⼆次，⽤算术⽅法就很困难了，正由于未知数是⼆次的，所以可以⽤⼀元⼆次⽅程解决有关⾯积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的⼀些问题，经营决策问题等等．
⼆、列⼀元⼆次⽅程解应⽤题的⼀般步骤
和列⼀元⼀次⽅程解应⽤题⼀样，列⼀元⼆次⽅程解应⽤题的⼀般步也是： “审、设、列、解、答”．
(1)“审”指读懂题⽬、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系，这⼀步是解决问题的基础，可以利⽤辅助表格帮助理清数量关系
(2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列⽅程有利，因此间接设元也⼗分重要．恰当灵活设元直接影响着列⽅程与解⽅程的难易；
(3)“列”是列⽅程，这是⾮常重要的步骤，列⽅程就是找出题⽬中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即⽅程．找出相等关系列⽅程是解决问题的关键，但是如果第1步（'审'）理清了数量关系，列⽅程并不难
(4)“解”就是求出所列⽅程的解；
(5)'验'就是检验，分两部分：⼀是检验所得的未知数值是不是⽅程的解；⼆是检验是否符合实际情况(需格外留⼼隐含条件)，尤其⼀元⼆次⽅程⼀般有两个根，检验是否都满⾜
(6)“答”就是书写答案，要详实规范，并注意单位
三、⼀些常见问题的做题技巧
（1）数与数字的关系
两位数=(⼗位数字)×10＋个位数字
三位数=(百位数字)×100＋(⼗位数字)×10＋个位数字
（2）'翻⼀番'
'翻⼀番'即表⽰为原量的2倍，'翻两番'即表⽰为原量的4倍．
（3）平均增长率问题
n次增长/下降，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：
（4）商品销售问题
与⼀元⼆次⽅程相关的商品销售问题，⼀般会直接或间接给出⼀个⼀次函数关系，我们往往会把这个当作'突破⼝'
四、列⽅程解应⽤题的关键点
很多⽼师在讲解列⽅程解决实际问题时，把找等量关系作为重点，但是通过Leo⽼师与孩⼦的深⼊接触，发现如果把找等量关系作为重点，反⽽使其成为难点。

Leo⽼师认为应该把列⽅程解应⽤题的关键点在于理清数量关系上，因为只要把各数量之间的关系理清楚了，等量关系就'⼿到擒来'了，常采⽤的辅助⼯具有：辅助表格，线段图，尤其辅助表格最为常⽤，⽽线段图常⽤于解决⾏程和⼯程问题
五、常见类型
【类型⼀】商品销售问题
基本⼯具：
①售价—进价=利润
②单件利润×销售量=总利润
③单价×销售量=销售额
突破⼝：找到并会利⽤题⽬中的⼀次函数关系
1、某商店购进⼀种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满⾜关系：P=100-2X，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？
【分析】⼀次函数关系直接给出
题⽬中直接给出了⼀个⼀次函数式P=100-2X，于是我们可以设每件商品的售价为x元，则每天的销售量为(100-2x)件，结合辅助表格分析数量关系：
请注意，这⾥有个隐含条件：销售量P≥0，即100-2x≥0，⼜x≥0，得0≤x≤50，所以⼀定要检验所求得的根是否满⾜上述条件
2、某⽔果批发商场经销⼀种⾼档⽔果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，⽇销售量将减少20千克。

现该商品要保证每天盈利6000元，同时⼜要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【分析】⼀次函数关系间接给出
根据'若每千克涨价1元，⽇销售量将减少20千克'可找到⽇销售量P与涨价钱数X的函数关
系，P=500-20X，于是我们设每千克应涨x元，则⽇销售量为(500-20x)千克，涨价后每千克盈利(10+x)元，根据'单件利润×销售量=总利润'，可列⽅程：(10+x)(500-20x)=6000①
请注意这⾥的隐含条件：销售量P≥0，即500-20x≥0，得x≤25
⽅程①解得：x=5或x=10
要使顾客得到实惠，所以x=5
【类型⼆】平均增长率问题
基本⼯具：
3、青⼭村种的⽔稻2001年平均每公顷产7200公⽄，2003年平均每公顷产8450公⽄，⽔稻每公顷产量的年平均增长率为多少？
【分析】
4、某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种商品每次降价的百分率；
(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元.问第⼀次降价后⾄少要售出该种商品多少件？
【分析】
（2）设第⼀次降价后售出该种商品m件，则第⼆次降价后售出该种商品(100−m)件
第⼀次降价后的单件利润为：
(400×(1−10%)−300=60(元/件)；
第⼆次降价后的单件利润为：
324−300=24(元/件)，
依题意得：60m+24×(100−m)=36m+2400⩾3210，
解得：m⩾22.5，
∵m为正整数
∴m⩾23，
答：第⼀次降价后⾄少要售出该种商品2323件．
【类型三】⾯积问题
判断清楚要设什么是关键
【分析】
【总结】
【⽅法1】为直接设元，【⽅法2】为间接设元，虽然间接设元不能直接得到所要求的量，但是由于有时这种设元列⽅程简单或计算简单，所以同学们应多积累，多总结，并灵活掌握。