人教版高考数学必修四第二章平面向量 24 平面向量的数量积习题

分层训练·进阶冲关
A组基础练(建议用时20分钟)
1.若|m|=4,|n|=6,m与n的夹角为135°,则m·n= ( C )
C.-12
D.-12
B.12 A.12
,a·b=-54,则a与b的夹角2.已知|a|=9,|bθ|=6为 ( B )
A.45°
B.135°
C.120°
D.150°
3.已知向量a=(1,-2),b=(x,4),且a∥b,则|a-b|= ( B )
D.2 B.3 C.2A.5
4.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=1,|b|=5,则|3a-b|等于 ( A )
A.7
B.6
C.5
D.4
5.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与λa-b垂直,则λ等于 ( A )
C.±
D.1 A. B.-6.已知A,B,C是坐标平面上的三点,其坐标分别为A(1,2),B(4,1),C(0,-1),则△ABC的形状为 ( C )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.以上均不正确
7.已知|a|=2,|b|=10,<a,b>=120°,则b在a方向上的投影是 -5 ,a
在b方向上的投影是-1 .
8.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,i,j为相互垂直的单位向量,那么a·b=
-63 .
⊥,且,∥则点9.已知为坐标原点=(-2,1),=(0,2),O,C的坐标是
(-2,6) .
10.已知a=(λ,2),b=(-3,5),且a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围
. 是
=b. ,且a(b)·a+b·)=11.已知非零向量a,b满足|a|=1,(a-(1)求向量a,b的夹角.
(2)求|a-b|.
22=,-+bb)=,所以aa设向量,b的夹角为θ,因为(a-b)·(a【解析】(1)
22=|; 即|a|-|b
|=.|b又|a|=1,所以
=,θ |a|·b因为a·b|cos =,所以|
=.θ所以cos
所以向量a,b的夹角为45°.
2222θ ,=|b-2|a||b|cos +|(2)因为|a-b|=(a-b)|=|a
|=b.|所以a-=(x,1), a=(1,2),b12.已知向量)? b)x当为何值时,使(a+2b∥(2a-(1)+2)?-bb)⊥(2a使当(2)x为何值时,(a得a由=(1,2),b=(x,1),【解析】(1) -b=(2-x,3).ba+2=(2x+1,4),2a )(因
为a+2b∥(2a),-b
解得所以3(2x+1)-4(2-x)=0,x=. ba因为(2)(+2)b-a⊥(2),
(2x+1)(2-x)+12=0,所以．
x=. 解得x=-2或B组提升练(建议用时20分钟)
13.定义:|a×b|=|a|·|b|·si nθ,其中θ为向量a与b的夹角,若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于 ( B )
A.-8
B.8
C.-8或8
D.6
14.设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则<a,b>等于 ( B )
A.150°
B.120°
C.60°
D.30°
·满足A(1,1),单位圆上半部分上的点B=0,15.如图所示,已知点的坐标为. 则向量
=3,满足则中,∠C=90°且AC=BC=4,点M如图所示16.,在△ABC =
· . 4
+)·的(,O中为中线AM上的一个动点,若AM=2,求17.在△ABC. 最小值
=t,0≤t【解析】≤设1,
,=2=2t+则
=(t-1),=-+ =t)=2(t-1)t
=8(t-1)t+(·所以．
2-8t=8-2.=8t
+)有最小值t=时(,-2. ·所以当18.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为 120°.(1)求证:(a-b)⊥c. (2)若|k a+b+c|>1(k∈R),求k的取值范围.
【解析】(1)因为|a|=|b|=|c|=1,且a,b,c之间的夹角均为120°, 所以(a-b)·c=a·c-b·c
=|a||c|cos 120°-|b||c|cos 120°=0.
所以(a-b)⊥c.
2>1, b+c)所以(k a+|k(2)因为a+b+c|>1,2222+2k a·b+2k ab·+cc+2b·c>1,即k a +2+1+1+2kcos 120°+2kcos 120°+2cos 120°所以k>1.
2-2k>0,解得k<0或k>2.k所以
所以实数k的取值范围为k<0或k>2.
C组培优练(建议用时15分钟)
=2. AB=9,BC=6,ABCD中,已知19.在四边形.
求·的值(1)若四边形ABCD是矩形,夹角
的余弦与求=6,·且,是平行四边形ABCD若四边形(2)值.是矩形(1)因为四边形ABCD,【解析】所以=0.·
.=-=,=得,=2由．所以
-)··(·+·==()=+
=36--×81=18.
, +=(2)由题意=++=,
=+-+=, =
··所
以==
·---18=18-.=36-··
=6, 又·=6,所以·18-·所以=36.设与,的夹角为θ|cos θ=9×6|×cos 又
θ=54cos ·θ,=|·|
=. 即cos θ所以54cos θ=36,
夹角的余弦值为.所以与
2已知20.≠λ=(1-),λ).
)+λλ(=(2,2=(4,0),.
及·上的投影在(1)求并在的值. A,B,C三点共线,(2)=证明,时求λ|(3)求|的最小值.
(1)设【解析】与·,的夹角为θ =8,
=,=θ则cos
=2.×=4θ|cos |上的投影为在所以．
-=),- =(-2,2=(2)-1)λ))-(1-λ, =(=(1-λ有公共点B,因为与
所以A,B,C三点共线.
时,λ当=-1=1,所以λ=2.
2222-16λλλ=(1-λ)(1-+2λλ=16)·+(3)||
+16=16+12.
2.|取到最小值时所以当λ=,|
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