珠海市2014届高三上学期期末调研测试(文数)

珠海市2014届高中学生学业质量监测
高三数学（文科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。

请在答题卡上填涂相应选项。

1.设全集{}4,3,2,1=U ，集合{}4,2,1=A ，{}4,3,2=B ， 则=)(B A C U （ ） A.{}4,2 B.{}3,1 C.{}4,3,2,1 D. ∅
2.若复数i a a a )1()23(2-++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B.2 C.1或2 D.1-
3.执行如右图所示的程序图，则输出的=i （ ） A. 5 B. 6 C.7 D.8
4.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n 个
同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在)50,10[（单 位：元），其中支出在)30,10[（单位：元）的同学有33人， 其频率分布直方图如右图所示，则支出在)50,40[（单位： 元）的同学人数是（ ）
A .100
B .120
C .30
D .300
5.已知b a 、均为单位向量，它们的夹角为0
60，那么=-b a 2（ ） A.7 B.10 C.3 D.3 6.在ABC ∆中，3:2:1::=C B A ，则c b a ::等于（ ）
A.1：2：3
B.3：2：1
C.2:3:1
D.1:3:2
7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A.108 B.180 C.72 D.144
8.等比数列{}n a 共有奇数项，所有奇数项和255=奇S ，所有偶数项和126-S =偶，末项是19则首项=1a （ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
9.已知)0(3
1cos πϕϕ<<-=，则=ϕ2sin （ ）
A.
922 B.922- C.9
2
4 D.924-
10. 对于定义为D 的函数，若存在距离为d 的两条平行直线221:1:,:m kx y l m kx y l +=+=，使得对任意D x ∈，都有21)(m kx x f m kx +≤≤+恒成立，则称函数))((D x x f ∈有一个宽度为d 的通道，给出下列
函数○
1x
x f 1
)(=，○2x x f sin )(=，○31)(2-=x x f ，○4 1)(3+=x x f ，其中在区间),1[+∞上通道宽度可以是1的函数是（ ） A.○1 ○3 B.○2 ○3 C.○2 ○4 D. ○1 ○4
（第15题
图）
O
D
C
B
A 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.
11.变量x y 、满足线性约束条件222200
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，则目标函数z x y =+的最大值为 ．
12.曲线21x y xe x =++在点(01)，处的切线方程为 ． 13.定义在R 上的函数()f x 满足3log (1)
0()(1)(2)0x x f x f x f x x -≤⎧=⎨
--->⎩
，则(2014)f = ．
14．（坐标系与参数方程选做题）已知在平面直角坐标系xoy 中圆C
的参数方程为：
3cos 13sin x y θ
θ
⎧=⎪⎨
=+⎪⎩，（θ为参数），以ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：,0)6
cos(=+π
θρ 则圆C 截直线所得弦长为 。

15．（几何证明选讲选做题）如右上图，AB 是圆O 的直径，BC 是圆O 的切线，切点为B ，OC 平行于弦AD ，若3OB =，5OC =，则CD = .
三、解答题:本题共有6个小题，共80分．
16.（本小题满分12分）
已知()2cos()cos 22
f x x x x π
=-，x R ∈
（1）求()6
f π
的值；
（2）当∈x [0,]2
π
时，求()f x 的最值．
17.（本小题满分12分）城市公交车的数量 太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足 乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取15人，将他们的 候车时间作为样本分成5组，如下表所 示（单位：min ）：
（1）求这15名乘客的平均候车时间； （2）估计这60名乘客中候车时间少于 10分钟的人数；
（3）若从上表第三、四组的6人中选 2人作进一步的问卷调查，求抽到的 两人恰好来自不同组的概率．
18.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11A ABB 为菱形，145A AB ∠=︒，四边形11BCC B 为矩形，若=5AC ，4AB =，3BC =. (1)求证：BC //平面111C B A ； (2)求证：1AB ⊥面1A BC ；
(3)求三棱锥111C B A C -的体积.
19（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项都是正数，且对任意*n N ∈都有
33332
123+2n n n a a a a S S ++++= ，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.
（1）求12a a ，
； （2）求数列{}n a 的通项公式；
（3）设13(1)2n a n n n b λ-=+-⋅，对任意的*n N ∈，都有1n n b b +>恒成立，求实数λ的取值范围. （第18题图） B C
A 1A 1
B 1
C
20.（本小题满分14分）已知函数]0,(,)1()(2-∞∈+=x x x x f ． （1）求)(x f 的极值点；
（2）对任意的0<a ，记)(x f 在]0,[a 上的最小值为)(a F ，求a
a F k )
(=的最小值．
21．（本小题满分14分）已知椭圆2
2:12
x C y +=的左、右焦点分别为12F F 、，O 为原点.
（1）如图1，点M 为椭圆C 上的一点，N 是1MF 的中点，且21NF MF ⊥，求点M 到y 轴的距离；
（2）如图2，直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于P Q 、两点，若在椭圆C 上存在点R ，使四边形OPRQ 为平行四边形，求m 的取值范围．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 1-5：BBBCC 6-10：CBCDA
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.
11.
3
4 12.．310x y -+= 13. 3log 2
14．15．
三、解答题:本题共有6个小题，共80分．
16.解: (1)()2sin cos 2f x x x x =⋅ …………………………………1分
sin 22x x =………………………………………………2分
2sin(2)3
x π
=-……………………………………………………4分
()2sin(2)2sin 00663
f πππ
=⋅-==…………………………………………6分 (2) [0,]2x π∈ ，22[,]333x πππ
∴-∈-………………………………………8分
sin(2)[32
x π∴-∈-………………………………………………10分
2sin(2)[3
x π
∴-∈………………………………………………11分
()2max f x ∴=，min ()f x =12分
17.解：
（1）
1
(2.527.5612.5417.5222.51)15
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1157.5=10.515=⨯min ．--------3分
（2）候车时间少于10分钟的概率为368
1515
+=， --------4分
所以候车时间少于10分钟的人数为8
603215
⨯=人． --------6分
（3）将第三组乘客编号为1234,,,a a a a ，第四组乘客编号为12,b b ．从6人中任选两人有包含以下基本事件：
1213141112(,),(,),(,),(,),(,)a a a a a a a b a b ， 23242122(,),(,),(,),(,)a a a a a b a b ， 343132(,),(,),(,)a a a b a b ， 4142(,),(,)a b a b ，
12(,)b b ， ------------10分
其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件，所以，所求概率为8
15
． --------12分
18.(1)．证明： 四边形11BCC B 为矩形，∴11BC B C ……………………………1分
BC ⊄平面111A B C ，11B C ⊂平面111A B C
∴BC //平面111C B A ………………………………3分
（2）证明：在ABC ∆中=5AC ，4AB =，3BC =， 满足2
2
2
=AC AB BC +，所以0
90ABC ∠=，即CB AB ⊥…………………5分
又因为四边形11BCC B 为矩形，所以1CB BB ⊥
又111111
1CB BB CB AB BB AA B B AB AA B B
BB AB B
⊥⎧⎪⊥⎪⎪
⊂⎨⎪⊂⎪=⎪⎩ 面面，所以11CB AA B B ⊥面 又因为111AB AA B B ⊂面，所以1CB AB ⊥……………………………7分
又因为四边形11A ABB 为菱形，所以11AB A B ⊥
又111111
1AB CB AB A B
CB A BC A B A BC
CB A B B
⊥⎧⎪⊥⎪⎪
⊂⎨⎪⊂⎪=⎪⎩ 面面，所以11AB A BC ⊥面 ………………………………………………………9分
（3）解：过B 作11BD A B ⊥于D ，
由第（1）问已证11CB AA B B ⊥面∴1111C B AA B B ⊥面
11C B BD ∴⊥…………………………10分
∴ 11BD AA B B ⊥平面 …………11分
由题设知…………………12分
∴1111111-1111
433232C A B C V A B B C BD =⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=锥13分 ∴三棱锥111C B A C -
的体积是14分
19、解：（1）令1n =，则3
2
111+2a S S =，即3
2
111+2a a a =，所以12a =或11a =-或10a =
又因为数列{}n a 的各项都是正数，所以12a =…………………………………2分
令2n =，则3
3
2
1222+2a a S S +=，即3
3
2
121212()2()a a a a a a +=+++，解得13a =或12a =-或10a =
又因为数列{}n a 的各项都是正数，所以23a =……………………………4分 （2）3
3
3
3
2
123+2(1)n n n
a a a a S S ++++=
33332
123111+2(2)
(2)n n n a a a a S S n ---∴++++=≥ 由(1)(2)-得3
2
2
11(+2)(+2)n n n n n a S S S S --=-
化简得到2
12
(3)n n n a S S -=++………………………………………7分
2
1122(3)
(4)n n n a S S n ---∴=++≥ 由(3)(4)-得2
21112(2)(2)n n n n n n a a S S S S -----=++-++
化简得到2
2
11n n n n a a a a ---=+，即11(3)n n a a n --=≥
（第18题图）
B
C
A
1
A 1
B 1
C
所以数列{}n a 是一个以2为首项，1为公差的等差数列
1(1)2(1)1n a a n d n n ∴=+-=+-=+…………………………………10分
（3）1
13(1)
2n
n n n b λ-+=+-⋅
因为对任意的*
n N ∈，都有1n n b b +>恒成立，即有1
2113
(1)23(1)2n n n n n n λλ++-++-⋅>+-⋅
化简得1
13(1)()32
n n λ--<⋅………………………………………12分
当n 为奇数时，13()32n λ<
⋅恒成立，113()32
λ<⋅，即12λ<
当n 为偶数时，13()32n λ>-⋅恒成立，213()32
λ>-⋅，即3
4λ>-
31
42
λ∴-<<………………………………………………………14分
20. 解：（1）)31)(1()1(2)1()(2
x x x x x x f ++=+++=' ………（1分）
由0)(='x f 解得：3
1
,121-=-=x x ……（2分）
当1-<x 或31
->x 时，0)(>'x f ……（3分）
当3
1
1-<<-x 时，0)(<'x f ……（4分）
所以，有两个极值点：
11-=x 是极大值点，0)1(=-f ； ……（5分）
312-=x 是极小值点，274)31(-=-f 。

……（6分） (2) 过点)274,31(--做直线274-=y ，与)(x f y =的图象的另一个交点为A )274
,(-x ，则
2)1(27
4+=-x x ,即0427542723=+++x x x …（8分） 已知有解31-=x ，则0)4159)(13(2
=+++x x x
解得)274
,34(--A ……（10分）
当34-<a 时，)()(a f a F =；9
1
)1()(2>+==a a a f k ……（11分）
当3134-≤≤-a 时，27
4
)(-=a F ，913
4274274=--
≥-=a k ，
其中当3
4
-=a 时，91=k ； ………（12分）
当031<<-a 时，9
1
)1()(),()(2>+===a a a f k a f a F …（13分）
所以，对任意的0<a ，k 的最小值为91（其中当3
4
-=a 时，91=k ）．…（14分）
21．解：(1)由已知得1(10)F -，
，2(10)F ， 设()M x y 00，,则1MF 的中点为00
1(
)22
x y N -， 12MF NF ⊥∴120F M F N ⋅=
，……………………………………………3分
即00
003(1)()022
x y x y -+⋅=，，
整理得22
000230x x y --+= ……………………① …………………………4分
又有22
0012
x y += …………………………………②
由①②联立解得02x =-
或02x =+舍) …………………………………5分
∴点M 到y
轴的距离为2………………………………………6分
(2)设11()P x y ，，22()Q x y ，，()R R R x y ，
四边形OPRQ 是平行四边形
∴线段PQ 的中点即为线段OR 的中点，即12R x x x +=，12R y y y +=………………7分 点R 在椭圆上，∴
2
21212()()12
x x y y +++= 即221212()[()2]12
x x k x x m ++++=
化简得222
1212(12)()8()820k x x km x x m +++++-=………………③
……………………9分
由22
12x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
得222(12)4220k x kmx m +++-= 由0∆>得22
21k m +> ……………………④
且122
412km
x x k +=-+ ………………………11分
代入③式得22222
2222
16(12)32820(12)12k k m k m m k k +-+-=++ 整理得22412m k =+代入④式得0m ≠，又22
4121m k =+≥
∴1
2
m ≤-或12m ≥
∴m 的取值范围是11(][)22
-∞-+∞ ，， …………………14分。