湖南省郴州市2017年中考数学真题试题(含解析)

湖南省郴州市2017年中考数学真题试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.2017的相反数是（ ）
A ．2017-
B ．2017
C ．
12017 D ．12017
- 【答案】A.
【解析】试题分析：一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．由此可得2017的相反数是﹣2017，故选A ．
考点：相反数.
2. 下列图形既是对称图形又是中心对称图形的是（ ）
【答案】B．【解析】
考点：轴对称图形和中心对称图形.
3. 某市今年约有140000名报名参加初中学业水平考试，用科学的计数方法表示140000为（ ）
A ．41410⨯
B ．31410⨯
C ．41.410⨯
D ．5
1.410
⨯【答案】D.
【解析】试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把
考点：科学记数法.
4. 下列运算正确的是（ ）
A ．235()a a =
B ．235a a a ⋅=
C ．1a
a -=- D ．22()()a
b a b a b +-=+ 【答案】B.
【解析】
试题分析：选项A ，原式=a 6；选项B ，原式=a 5；选项C ，原式=
1a ；选项D ，原式=a 2﹣b 2，故选B.考点：整式的运算.
5. 在创建“全国园林城市”期间，郴州市某中学组织共青团员取植树，其中七位同学植树的棵数分别为：3,1,1,3,2,3,2，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A ．3,2
B ．2,3
C ．2,2
D ．3,3
【答案】B．
【解析】
试题分析：在这一组数据中3是出现次数最多的，故众数是3；处于这组数据中间位置的那个数是2，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是2．故选B ．
考点：中位数、众数.
6. 已知反比例函数k y x
=的图象过点(1,2)A -，则k 的值为（ ）A ．1 B ．2 C ．2- D ．1-
【答案】C.
【解析】
试题分析：直接把点（1，﹣2）代入反比例函数k y x
=
可得k=-2,故选C.考点：反比例函数图象上点的坐标特点.
7. 如图（1）所示的圆锥的主视图是（ ）
【答案】A．
【解析】
试题分析：主视图是从正面看所得到的图形,圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：
,故选A.
考点：三视图.
8. 小明把一副45,30 的直角三角板如图摆放，其中000
90,45,30C F A D ∠=∠=∠=∠=，
则αβ∠+∠等于 （ ）
A ．0180
B ．0210
C ．0360
D ．0270
【答案】B．【解析】
考点：三角形的外角的性质.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题8分，满分24分，将答案填在答题纸上）
9.在平面直角坐标系中，把点(2,3)A 向左平移一个单位得到点A '，则点A '的坐标为 ．
【答案】（1，3）．
【解析】
试题分析：由点A （2，3）向左平移1个单位长度，可得点A′的横坐标为2﹣1=1，纵坐标不变，即A′的坐标为（1，3）．
考点：坐标的平移.
10.函数y =x 的取值范围是 ．
【答案】x≥﹣1．
【解析】
试题分析：由题意得，x+1≥0，解得x≥﹣1．
考点：函数自变量的取值范围.
11.把多项式2
312x -因式分解的结果是 ．
【答案】3（x﹣2）（x+2）．
【解析】
试题分析：先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可,即3x 2﹣12=3（x 2﹣4）=3（x﹣2）
（x+2）
．考点：因式分解.
12.为从甲乙两名射击运动员中选出一人参加竞标赛，特统计了他们最近10次射击训练的成绩，其中，他们射击的平均成绩为8.9环，方差分别是220.8, 1.3S S ==甲乙，从稳定性的角度看， 的成绩更稳定（天“甲”或“乙”）
【答案】甲.【解析】
考点：方差.
13.如图，直线EF 分别交,AB CD 于点,E F ，且//AB CD ，若0
160∠=，则2∠= ．
【答案】120°．
【解析】
试题分析：已知AB∥CD，由两直线平行，同位角相等可得∠DF E=∠1=60°，所以∠2=180°
﹣∠DFE=120°．
考点：平行线的性质.
14.已知圆锥的母线长为5cm ，高为4cm ，则该圆锥的侧面积为 2cm （结果保留π）
．【答案】15π．
【解析】
考点：圆锥的计算.
15.从1,1,0- 三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率是 ．【答案】
23
.【解析】
试题分析：列表得：
﹣110﹣1
﹣﹣﹣（1，﹣1）（0，﹣1）1
（﹣1，1）﹣﹣﹣（0，1）0（﹣1，0）（1，0）﹣﹣﹣所有等可能的情况有6种，其中该点刚好在坐标轴上的情况有4种，
所以该点在坐标轴上的概率=4263=
.考点：用列表法求概率.16.已知12345357911,,,,,25101726a a a a a =-
==-==- ，则8a = ．【答案】
1765
.【解析】
试题分析：由题意给出的5个数可知：a n =
221(1)1n
n n +-+ ,所以当n=8时，a 8=1765.
考点：数字规律问题.三、解答题 （17 19题媒体6分，20 23题每题8分，24 25题每题10分，6题12分，共计82分.）
17.
计算020172sin 30( 3.14)11)
π+-+--
．
【解析】
试题分析：利用特殊角的三角函数值，零指数幂法则，绝对值的性质，以及乘方的意义计算即可得到结果．
试题解析：原式
．
考点：实数的运算.18. 现化简，再求值
21639
a a ---，其中1a =.【答案】原式=13a +,当a=1时，原式=14．
【解析】
当a=1时，
原式=113+=1
4．
考点：分式的化简求值.
19.已知ABC ∆中，ABC ACB ∠=∠，点,D E 分别为边,AB AC 的中点，求证：BE CD =.
【答案】详见解析.
【解析】
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD．
考点：全等三角形的判定及性质.
20. 某报社为了解市民对“社会主义核心价值观”的知晓程度，采取随机抽样的方式进行问题卷调查，调查结果为“A非常了解”、“B了解”、“C基本了解”三个等级，并根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图.
（1）这次调查的市民人数为人，m=，n=；
（2）补全条形统计图；
（3）若该市约有市民1000000人，请你根据抽样调查的结果，估计该市大约有多少人对“社会主义核心价值观”达到“A非常了解”的程度.
【答案】(1)500，12，32；(2)详见解析；（3）32000人.
【解析】
补全条形统计图如下：
（3）100000×32%=32000（人），
答：该市大约有32000人对“社会主义核心价值观”达到“A．非常了解”的程度．
考点：统计图.
21.某工厂有甲种原料130kg，乙种原料144kg，现用两种原料生产处,A B两种产品共30件，已知生产每件A产品需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每件A产品可获得700元；生产每件B产品甲种原料
3kg，乙种原料6kg，且每件B产品可获利润900元，设生产A产品x件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题：
（1）生产,A B两种产品的方案有哪几种？
（2）设生产这30件产品可获利y元，写出关于x的函数解析式，写出（1）中利润最大的方案，并求出最大利润.
【答案】（1）共有三种方案：方案一：A产品18件，B产品12件，方案二：A产品19件，B产品11件，方案三：A产品20件，B产品10件；（2）利润最大的方案是方案一：A产品18件，B产品12件，最大利润为23400元．
【解析】
方案二：A产品19件，B产品11件，
方案三：A产品20件，B产品10件；
（2）根据题意得：y=：700x+900（30﹣x）=﹣200x+27000，
∵﹣200＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴x=18时，y有最大值，
y最大=﹣200×18+27000=23400元．
答：利润最大的方案是方案一：A产品18件，B产品12件，最大利润为23400元．
考点：一元一次不等式组的应用；一次函数的应用.
22.如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在,A C两城市间修建一条高速铁路（即线段AC），经
60方向上，在线段AC上距A城市120km的B处测得
测量，森林保护区的中心P在城市A的北偏东0
30方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这P在北偏东0
条高速铁路是否穿越保护区，为什么？
1.732=
）
【答案】这条高速公路不会穿越保护区,理由详见解析.
【解析】试题分析：作PH⊥AC 于H ．求出PH 与100
比较即可解决问题．
∵∠PBH=∠PAB+∠APB，
∴∠BAP=∠BPA=30°，
∴BA=BP=120，
在Rt△PBH 中，sin∠PBH=PH
PB ，
≈103.80，
∵103.80＞100，
∴这条高速公路不会穿越保护区．
考点：解直角三角形的应用.
23. 如图，AB 是O 的弦，BC 切O 于点,B AD BC ⊥垂足为,D OA 是O 的半径，且3OA =.
（1）求证：AB 平分OAD ∠；
（2）若点E是优弧 AEB上一点，且060
AEB
∠=，求扇形OAB的面积（计算结果保留π）
【答案】(1)详见解析；（2）3π．【解析】
∴∠DAB=∠OBA，
∵OA=OB，
考点：圆的综合题.
24. 设,a b 是任意两个实数，用max{,}a b 表示,a b 两数中较大者，例如：max{1,1}1--=-，
max{1,2}2,max{4,3}4==，参照上面的材料，解答下列问题：
（1）max{5,2}= ，max{0,3}= ；
（2）若max{31,1}1x x x +-+=-+ ，求x 的取值范围；
（3）求函数224y x x =--与2y x =-+的图象的焦点坐标，函数2
24y x x =--的图象如下图所示，请你在下图中作出函数2y x =-+的图象，并根据图象直接写出2max{2,24}x x x -+-+ 的最小值.
【答案】(1)5；3．（2）x≤0；（3）﹣1．
【解析】
2242y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩ ，解得：24x y =-⎧⎨=⎩ ，或31x y =⎧⎨=-⎩
，∴交点坐标为（﹣2，4）和（3，﹣1）．
画出直线
y=﹣x+2，如图所示，
观察函数图象可知：当x=3时，max{﹣x+2，x 2﹣2x﹣4}取最小值﹣1．
考点：阅读理解题.
25. 如图，已知抛物线2
85
y ax x c =++与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于C 点，且(2,0),(0,4)A C -，直线1:42l y x =--与x 轴交于D 点，点P 是抛物线285y ax x c =++上的一动点，过点P 作PE x ⊥轴，垂足为E ，交直线l 于点F
.
（1）试求该抛物线的表达式；
（2）如图（1），若点P 在第三象限，四边形PCOF 是平行四边形，求P 点的坐标；
（3）如图（2），过点P 作PH x ⊥轴，垂足为H ，连接AC ，
①求证：ACD ∆是直角三角形；
②试问当P 点横坐标为何值时，使得以点,,P C H 为顶点的三角形与ACD ∆相似？
【答案】（1）y=15x 2+85x﹣4；（2）点P 的坐标为（﹣52，﹣274
）或（﹣8，﹣4）；（3）①详见解析；②，点P 的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P 、C 、H 为顶点的三角形与△ACD 相似．
【解析】
∴抛物线的表达式为y=15x 2+8
5x﹣4．
（2）设P （m ，15m 2+8
5m﹣4），则F （m ，﹣12m﹣4）． ∴PF=（﹣12m﹣4）﹣（15m 2+85m﹣4）=﹣1
5m 2﹣2110m ．
∵PE⊥x 轴，
∴PF∥OC．
∴PF=OC 时，四边形PCOF 是平行四边形．∴﹣1
5m 2﹣2110m=4，解得：m=﹣52或m=﹣8．
当m=﹣52时，15m 2+85m﹣4=﹣274 ，
当m=﹣8时，15m 2+8
5m﹣4=﹣4．
∴点P 的坐标为（﹣52，﹣27
4）或（﹣8，﹣4）．
（3）①证明：把y=0代入y=﹣12x﹣4得：﹣1
2x﹣4=0，解得：x=﹣8．
∴D（﹣8，0）．
∴OD=8．
∵A（2，0），C （0，﹣4），
∴AD=2﹣（﹣8）=10
．
解得：n=0（舍去）或n=2或n=﹣18．
综上所述，点P 的横坐标为﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18时，使得以点P 、C 、H 为顶点的三角形与△ACD 相似．
考点：二次函数综合题.
26. 如图，ABC ∆是边长为4cm 的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且6OA cm =，点D 从点O 出发，沿OM 的方向以1/cm s 的速度运动，当D 不与点A 重合是，将ACD ∆绕点C 逆时针方向旋转060得到BCE ∆，连接DE
.
（1）求证：CDE ∆是等边三角形；
（2）当610t <<时，的BDE ∆周长是否存在最小值？若存在，求出BDE ∆的最小周长；
若不存在，请说明理由.
（3）当点D 在射线OM 上运动时，是否存在以,,D E B 为顶点的三角形是直角三角形？
若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）详见解析；（2）存在，+4；（3）当t=2或14s 时，以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形．【解析】
1=14s ．
试题解析：（1）证明：∵将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE，
∴∠DCE=60°，DC=EC ，
∴△CDE 是等边三角形；
（2）存在，当6＜t ＜10时，
由旋转的性质得，BE=AD ，
∴C △DBE =BE+DB+DE=AB+DE=4+DE ，
由（1）知，△CDE 是等边三角形，
∴DE=CD，
∴C△DBE=CD+4，
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，
此时，cm，
∴△BDE的最小周长；
∴DA=CA=4，
∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，
∴t=2÷1=2s；
③当6＜t＜10s时，由∠DBE=120°＞90°，
∴此时不存在；
④当t＞10s时，由旋转的性质可知，∠DBE=60°，
又由（1）知∠CDE=60°，
∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC，
而∠BDC＞0°，
∴∠BDE＞60°，
∴只能∠BDE=90°，
综上所述：当t=2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．考点：旋转与三角形的综合题.。