求通项基本方法和技巧(有详解)

数列通项公式的十种求法
一、公式法
例 1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得
113222n n n n a a ++=+，则113
222
n n n n a a ++-=，故数列{}2
n n
a 是以122
2a 1
1==
为首项，以2
3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得
31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222
n n a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为
113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2
n
n
a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22
n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

二、累加法
例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则
11232211
2
()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1
2
(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=
所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为
121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+ ，
即得数列{}n a 的通项公式。

例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解
：
由
1231
n n n a a +=+⨯+得
1231
n n n a a +-=⨯+则
11232211
122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)3
13
331331
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-
所以3 1.n n a n =+-
评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+⨯+转化为
1231
n
n n a a +-=⨯+，
进
而
求出
1
12
(
)
(
)()
n n n
n n a a a
a a a
a
---=-
+-
++- ，即得数列{}n a 的通项公式。

例4 已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公
式。

解：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111
21
3333n n n n n a a +++=++， 则
111
21
3333n n n n n a a +++-=+，故
11223211
2232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1
333333
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++
因此11
(13)2(1)211
3133133223
n n n n n
a n n ---=++=+--⨯， 则2
1133.322
n n n a n =⨯⨯+⨯-
评注：本题解题的关键是把递推关系式13231n n n a a +=+⨯+转化为
111
213333n n n n n a a +++-=+，进而求出112232*********(
)()()()333333333n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -----------+-+-++-+ ，即得数列3n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。

三、累乘法
例5 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则
1
2(1)5n n n
a n a +=+，故13211221
12211(1)(2)21(1)1
2
[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]5332
5!
n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=
⋅⋅⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ 所以数列{}n a 的通项公式为(1)1
2
325
!.n n n n a n --=⨯⨯⨯
评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+⨯转化为
12(1)5n n n a n a +=+，进而求出13211221
n n n n a a a a
a a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅ ，即得数列{}n a 的通项公式。

例6 （2004年全国I 第15题，原题是填空题）已知数列{}n a 满足
11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥ ，，求{}n a 的通项公式。

解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ① 所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+ ② 用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥ 故
1
1(2)n n
a n n a +=+≥ 所以13222122![(1)43].2
n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=
⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯= ③
由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥ ，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知11a =，则21a =，代入③得!13452
n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅= 。

所以，{}n a 的通项公式为!
.2
n n a =
评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为
11(2)n n a n n a +=+≥，进而求出132122
n n n n a a a
a a a a ---⋅⋅⋅⋅ ，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

四、待定系数法
例7 已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设1152(5)n n n n a x a x +++⨯=+⨯ ④
将1235n n n a a +=+⨯代入④式，得12355225n n n n n a x a x ++⨯+⨯=+⨯，等式两
边消去2n a ，得135525n n n x x +⋅+⋅=⋅，两边除以5n ，得352,1,
x x x +==-则代
入④式得1152(5)n n n n a a ++-=- ⑤
由1
156510a -=-=≠及⑤式得50n
n a -≠，则11525
n n n
n a a ++-=-，则数列{5}n
n a -是以1151a -=为首项，以2为公比的等比数列，则152n n n a --=，故
125n n n a -=+。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n n n a a +=+⨯转化为
1152(5)n n n n a a ++-=-，从而可知数列{5}n n a -是等比数列，进而求出数列{5}n n a -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

例8 已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设1123(2)n n n n a x y a x y +++⨯+=+⨯+ ⑥ 将13524n n n a a +=+⨯+代入⑥式，得
1352423(2)n n n n n a x y a x y ++⨯++⨯+=+⨯+
整理得(52)24323n n x y x y +⨯++=⨯+。

令52343x x y y +=⎧⎨
+=⎩，则5
2
x y =⎧⎨=⎩，代入⑥式得
115223(522)n n n n a a +++⨯+=+⨯+
⑦
由11522112130a +⨯+=+=≠及⑦式，
得5220n
n a +⨯+≠，则11522
3522
n n n n a a +++⨯+=+⨯+，
故数列{522}n n a +⨯+是以1152211213a +⨯+=+=为首项，以3为公比的等比数列，因此1522133n n n a -+⨯+=⨯，则1133522n n n a -=⨯-⨯-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式13524n n n a a +=+⨯+转化为
115223(522)n n n n a a +++⨯+=+⨯+，从而可知数列{522}n n a +⨯+是等比数
列，进而求出数列{522}n n a +⨯+的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。

例9 已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设221(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++ ⑧ 将212345n n a a n n +=+++代入⑧式，得
2222345(1)(1)2()n n a n n x n y n z a xn yn z ++++++++=+++，则 222(3)(24)(5)2222n n a x n x y n x y z a xn yn z +++++++++=+++
等式两边消去2n a ，得22(3)(24)(5)222x n x y n x y z xn yn z ++++++++=++，
解方程组3224252x x x y y x y z z +=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，则3
1018x y z =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
，代入⑧式，得
2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++ ⑨
由213110118131320a +⨯+⨯+=+=≠及⑨式，得2310180n a n n +++≠
则212
3(1)10(1)18231018
n n a n n a n n ++++++=+++，故数列2{31018}n a n n +++为以21311011813132a +⨯+⨯+=+=为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322n n a n n -+++=⨯，则42231018n n a n n +=---。

评注：本题解题的关键是把递推关系式212345n n a a n n +=+++转化为
2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++，从而可知数列2{31018}n a n n +++是等比数列，进而求出数列2{31018}n a n n +++的通项
公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

五、对数变换法
例10 已知数列{}n a 满足5
123n n n a a +=⨯⨯，17a =，求数列{}n a 的通项公
式。

解：因为511237n n n a a a +=⨯⨯=，，所以100n n a a +>>，。

在5123n n n
a a +=⨯⨯式两边取常用对数得1lg 5lg lg3lg2n n a a n +=++ ⑩ 设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++ ○11
将⑩式代入○11式，得5lg lg3lg2(1)5(lg )n n a n x n y a xn y +++++=++，两边消去5lg n a 并整理，得(lg3)lg 255x n x y xn y ++++=+，则
lg35lg 25x x x y y +=⎧⎨
++=⎩，故lg 34
lg 3lg 2164x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 代入○11式，得1l g 3
l g 3l g 2l g 3l g 3l g 2
l g
(1)5(l g )4
1644
164
n n a n a n +++++=+++
○12 由1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2
lg 1lg 71041644164
a +⨯++=+⨯++≠及○
12式， 得lg 3lg 3lg 2lg 04164
n a n +
++≠， 则
1lg3lg3lg 2
lg (1)41645lg3lg3lg 2lg 4164
n n a n a n ++
+++=+++
， 所以数列lg 3lg 3lg 2{lg }4164n a n +
++是以lg 3lg 3lg 2
lg 74164
+++为首项，以5为公比的等比数列，则1
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)541644164
n n a n -+++=+++，因此
111111
1116
164
4
44
111111
1616
44
4
4
11111116
16
4
4
4
4
55514
lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2
lg (lg 7)54164464
(lg 7lg 3lg 3lg 2)5lg 3lg 3lg 2
[lg(7332)]5
lg(332)
lg(7332)5lg(332)lg(733
n n n n n n n n n n n n a n ---------=+
++---=+++---=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅1115116
4
541515116
4
2)
lg(73
2
)
n n n n n -------⋅=⋅⋅
则11
54151516
4
73
2
n n n n n a -----=⨯⨯。

评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5
123n n n a a +=⨯⨯转
化为1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2
lg (1)5(lg )41644164n n a n a n ++
+++=+++，从而可知数列lg 3lg 3lg 2
{lg }4164n a n +++是等比数列，进而求出数列
lg 3lg 3lg 2
{lg }4164
n a n +++的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

六、迭代法
例11 已知数列{}n a 满足3(1)2
115n
n n n a a a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为3(1)21n n n n a a ++=，所以121
323(1)2
3212
[]n n n n n n n n n a a a ---⋅-⋅⋅--== 2(2)(1)
3
2
(2)(1)
3
(3)(2)(1)
112(3)(2)(1)
(1)1
2
3(1)22
3(2)23(1)233(2)(1)23
323(2)(1)21
3
!21[]n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a
a a a
a -+---+--+-+--+++-+-+----⋅⋅--⋅-⋅⋅---⋅-⋅⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅======
又15a =，所以数列{}n a 的通项公式为(1)12
3!2
5
n n n n n a --⋅⋅=。

评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

即
先将等式3(1)2
1n
n n n a a ++=两边取常用对数得1lg 3(1)2lg n n n a n a +=+⨯⨯，即
1
lg 3(1)2lg n
n n
a n a +=+，再由累乘
法可推
知(1)12
3!2
132
11221
lg lg lg lg lg lg lg5lg lg lg lg n n n n n n n n n a a a a a a a a a a --⋅⋅---=⋅⋅⋅⋅⋅= ，从而1(1)3!2
2
5
n n n n n a --⋅⋅=。

七、数学归纳法
例12 已知数列{}n a 满足1122
8(1)8
(21)(23)9
n n n a a a n n ++=+=++，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由122
8(1)
(21)(23)
n n n a a n n ++=+
++及189a =，得 2122
3222
43228(11)88224
(211)(213)992525
8(21)248348
(221)(223)25254949
8(31)488480
(231)(233)49498181a a a a a a +⨯=+
=+=⨯+⨯+⨯+⨯=+=+=⨯+⨯+⨯+⨯=+=+=
⨯+⨯+⨯
由此可猜测22(21)1
(21)n n a n +-=+，往下用数学归纳法证明这个结论。

（1）当1n =时，212
(211)18
(211)9
a ⨯+-==⨯+，所以等式成立。

（2）假设当n k =时等式成立，即22
(21)1
(21)
k k a k +-=+，则当1n k =+时， 122
8(1)
(21)(23)k k k a a k k ++=+
++
22222222
222222
2
2
22
222(21)18(1)(21)(21)(23)[(21)1](23)8(1)(21)(23)(21)(23)(23)8(1)(21)(23)(21)(23)(21)
(21)(23)(23)1(23)[2(1)1]1[2(1)1]k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +-+=+++++-+++=
++++-+++=
++++-+=
+++-=
+++-=
++2
由此可知，当1n k =+时等式也成立。

根据（1），（2）可知，等式对任何*n N ∈都成立。

评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。

八、换元法
例13 已知数列{}n a
满足111
(14116
n n a a a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令n b =2
1(1)24
n n a b =- 故2111(1)24n n a b ++=
-
，代入11
(1416
n n a a +=++得 22
1111(1)[14(1)]241624
n n n b b b +-=+-+ 即2214(3)n n b b +=+
因为0n b =
，故10n b +=≥ 则123n n b b +=+，即11
322
n n b b +=+， 可化为113(3)2
n n b b +-=-，
所以{3}n b -
是以13332b -===为首项，以2
1为公比
的等比数列，因此121
132()()22n n n b ---==，则21()32
n n b -=+，
即2
1()32n -=+，得 2111
()()3423
n n n a =
++。

n b ，使得所给递推关系式转化1132
2
n n b b +=+形式，从而可知数列{3}n b -为等比数列，进而求出数列{3}n b -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

九、不动点法
例14 已知数列{}n a 满足112124
441
n n n a a a a +-==+，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令2124
41
x x x -=
+，得2420240x x
-+=，则1223x x ==，是函数
2124
()41
x f x x -=
+的两个不动点。

因为 112124
2
24121242(41)13262
132124321243(41)92793
341n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+。

所以数列23n n a a ⎧⎫-⎨⎬
-⎩⎭
是以112422343a a --==--为首项，以913
为公比的等比数列，故1213
2()39
n n n a a --=-，则11313
2()19
n n a -=+-。

评注：本题解题的关键是先求出函数2124
()41
x f x x -=
+的不动点，即方程212441x x x -=
+的两个根1223x x ==，，进而可推出1122
13393
n n n n a a a a ++--=⋅--，从而可知数列23n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为等比数列，再求出数列23n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭
的通项公式，最后
求出数列{}n a 的通项公式。

例15 已知数列{}n a 满足1172
223
n n n a a a a +-==+，，
求数列{}n a 的通项公式。

解：令7223x x x -=+，得22420x x -+=，则1x =是函数31
()47
x f x x -=+的不动点。

因为17255
112323
n n
n n n a a a a a +---=
-=++，所以 2111
()()3423
n n n a =
++。

n b ，使得所给递推关系式转化11
32
2
n n b b +=+形式，从而可知数列{3}n b -为等比数列，进而求出数列{3}n b -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

九、不动点法
例14 已知数列{}n a 满足112124
441
n n n a a a a +-==+，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令2124
41
x x x -=
+，得2420240x x
-+=，则1223x x ==，是函数
2124()41
x f x x -=+的两个不动点。

因为
112124
2
24121242(41)13262
132124321243(41)927
93341n n n n n n n n
n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+。

所以数列23n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是以
11
2422343a a --==--为首项，以913
为公比的等比数列，故1213
2()39
n n n a a --=-，则11313
2()19
n n a -=+-。

评注：本题解题的关键是先求出函数2124
()41
x f x x -=
+的不动点，即方程212441x x x -=
+的两个根1223x x ==，，进而可推出1122
13393
n n n n a a a a ++--=⋅--，从而可知数列23n n a a ⎧⎫-⎨
⎬-⎩⎭为等比数列，再求出数列23n n a a ⎧⎫
-⎨⎬-⎩⎭
的通项公式，最后求出数列{}n a 的通项公式。

例15 已知数列{}n a 满足1172
223
n n n a a a a +-==+，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令7223x x x -=+，得22420x x -+=，则1x =是函数31
()47
x f x x -=+的不动点。

因为17255
112323
n n
n n n a a a a a +---=
-=++，所以。