事故树定量分析

I i
2
n 1
(1i, x) (0i, x)
实例：
Iφ(1)＝7/16 Iφ(2)＝1/16 同理可得出 Iφ(3)＝7/16 Iφ(4)＝5/16 Iφ(5)＝5/16 按各基本事件Iφ (i)值的大小排列起来，其 结果为： Iφ(l)＝Iφ(3)＞Iφ(4)＝Iφ(5)＞Iφ(2)
' E1 E1' E2 E1'3 E2 3 E3
X1 X 4 ( X1 X 4 ) X 3 X 5 X X X1 X 2 X 3
' ' 4 ' 5
' ' X1 X 4 ( X1' X1 X 4 )' X 3 X 5 X 4 X5 X1 X 2 X 3
' ' ' X1 X 4 X1' X 3 X 5 X1 X 3 X 4 X 5 X1 X 2 X 3 X 4 X5
实例2
例：设某事故树有3个最小割集：{ x1 , x2 },{ x2 , x3
, x4 }, { x2 , x5 }。各基本事件发生概率分别为：q1
，q2 ，…，q5 ，求顶上事件发生概率。
列出顶上事件发生概 率的表达式
用布尔代数等幂律化简，消除每个概率 积中的重复事件
计算顶上事件的发生概率
（3）最小径集法求顶事件概率
Er
Es
Hale Waihona Puke ErEr’Es集合
不交
不交积之和定理
例题: 事故树为例，用不交积之和定理进行不交化运算，计 算顶事件的发生概率。 解：事故树的最小割集为： E1={X1，X4}，E2={X3，X5}，E3={X1，X2，X3}
E13 X 4 , E23 X 5
T
3 r 1 ' ' ' Er E1 E1 E2 E1 E2 E3
r 1 X iEr
k
P T 1 S1 P T 1 S1 S2
1 S1 P T 1 S1 S2
1 S1 S2 P T 1 S1 S2 S3
(3)平均近似法
1 P(T ) qi qi 2 1r s k X i Er Es r 1 X i Er
①φ (0i，x)＝0→φ (1i，x)＝0 则φ(1i，x)一φ (0i，x)＝0 不管基本事件是否发生，顶上事件都不发生； ② φ (0i，x)＝0→ φ (1i，x)＝1 则φ(1i，x)一φ(0i，x)＝1 顶上事件状态随基本事件状态的变化而变化； ③ φ (0i，x)＝1→ φ (1i，x)＝1 则φ(1i，x)一φ(0i，x)＝0 不管基本事件是否发生，顶上事件也都不发生。 上述三种情况，只有第二种情况是基本事件Xi发生，顶上 事件也发生，这说明Xi事件对事故发生起着重要作用，这 种情况越多，Xi的重要性就越大。 对有n个基本事件构成的事故树，n个基本事件两种状态的 组合数为2n个。把其中一个事件Xi作为变化对象(从0变到 1)，其它基本事件的状态保持不变的对照组共有2n-1个。 在这些对照组中属于第二种情况(φ(li，x)-φ (0i，x)＝1)所 占的比例即是Xi事件的结构重要系数，用Iφ(i)表示。可以 用下式求得： 1
例如：某事故树有三个最小割集： K1＝{X1，X2，X3} K2＝{X1，X3，X4} K3＝{X1，X4，X5} 此事故树有5个基本事件，都出现在含有3个基本事件的最小割 集中。X1出现3次，X3、X4出现2次，X2、X5只出现1次，按此 原则Iφ(1)＞Iφ(3)＝Iφ(4)＞Iφ(5)＝Iφ(2) (4)两个基本事件出现在基本事件个数不等的若干个最小割(径)集 中，其结构重要系数依下列情况而定： ①若它们在各最小割(径)集中重复出现的次数相等，则在少 事件最小割(径)集中出现的基本事件结构重要系数大； 例如：某事故树有4个最小割集： K1＝{X1，X3} K2＝{X1，X4} K3＝{X2，X4，X5} K4＝{X2，X5，X6} X1、X2个基本事件都出现2次，但X1所在的2个最小割集都含 有2个基本事件，而X2所在的2个最小割集，都含有3个基本事 件，所以Iφ(1)＞Iφ(2)。
P（T）=q1q4+(1-q1)q3q5+q1q3(1-q4)q5+q1q2q3(1-q4)(1-q5) =0.001904872
（5）顶上事件发生概率近似求法
（1）最小割集逼近法

k
r 1 X i Er
qi F 1
1r s k X i Er Es

qi F2
q
r 1 X iEr
r 1 x pr
k
1 r s t k xi pr ps

(1 qi) (1) (1 qi)
k 1 r 1 xi pr
k
（4）化相交集为不交集求顶上事件
Er U Es= Er+ Er’ Es 所以有: P（ Er U Es ）=P( Er+ Er’ Es)= P( Er)+P(Er’ Es)
q1= q2 = 0.01 q3= q4 = 0.02 q5= q6 = 0.03 q7= q8 = 0.04
求顶上事件T发 生的概率
（2）最小割集法求顶事件概率
公式(最小割集E1，E2，…，Er，…，Ek)
k k P (T ) P Er PEr PEr Es PEr Es Et r 1 r 1 1 r s t k 1 r s t k
(4)平均近似法
k
k k ' P(T ) P Er 1 P Er r 1 r 1
1 P E 1 (1 P Er ) 1 1 qi r 1 r 1 r 1 X i Er
k
i
Fk
P T F1 P T F1 F2 P T F1 F2 F3
（2）最小径集逼近法
(1 qi ) S1
r 1 X i P r
k
1r sk X i Pr Ps

(1 qi ) S2
(1 qi ) Sk
第2章 事故树定量分析
课程重点
1.顶事件发生概率 2.结构重要度函数
3.割集重要度分析
4.概率重要度分析
5.关键重要度分析 6.基本事件发生概率（看书）
一、顶事件发生概率
若事故树中不含重复或相同基本事件，各基本事件相互 独立，顶事件发生概率可根据事故树结构，用下列公式求。
n 用“与门”连接的顶事件发生概率为： P(T ) q i i 1
P(T ) p ( X ) qiYi (1 qi )
p 1 i 1
2n
n
1Yi
步骤： A.列出基本事件状态值表，据事故树结构求得结构函数 φP(x) 值； B.求出使φP(x)=1的各基本事件对应状态的概率积的代数 和，即顶事件发生概率。 例如：T=X1X2+X2X3 (三个基本事件)，
T .
E + X3 X2
X1
当事故树中含重复出现的基本事件时，或基本事件可能在 几个最小割集中重复出现时，最小割集之间是相交的，则 应按以下几种方法计算 ： 状态枚举法
最小割集法 最小径集法
（1）状态枚举法
设某事故树有n个基本事件，这n个基本事件两种状态的组 合数为2n个。据事故树模型的结构分析可知，所谓顶事件 发生概率，指结构函数中φ(x)=1的概率。 顶事件发生概率P(T)可用下式定义：
k (1) P Er r 1 PEr qi
k 1
PEr Es
k
xEr
xEr Es
qi
k P Er qi r 1 r 1
xiEi
故： P (T ) qi
r 1 xEr k 1 r s t k xEr Es
k ( 1) P Dr r 1 PDr (1 qi)
k 1 x pr
PDr Ds
k
x pr ps
(1 qi)
k P Dr (1 qi) r 1 r 1
xi pi
故：P (T ) 1 (1 qi)
X1 X2 X3 φP(x) 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 X1 X2 X3 φP(x) 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
1
0
1
0
2n n 1Yi
P(T ) p ( X ) qiYi (1 qi )
p 1 i 1
状态枚举法实例
各基本事件的 概率分别为：
三、基本事件的割集重要度系数
设某事故树有K个最小割集，则割集重要度系数为（mr为 最小割集Er含有Mr个基本事件）：
1 I k (i ) k
m
r 1
k
1 r ( X i Er)
结构重要度分析的另一种方法是用最小割集或最小径集近 似判断各基本事件的结构重要系数。这种方法虽然精确度 比求结构重要系数法差一些，但操作简便，因此目前应用 较多。用最小割集或最小径集近似判断结构重要系数的方 法也有几种，这里只介绍其中的一种，就是用四条原则来 判断，这四条原则是（见下页）：
用“或门”连接顶事件发生概率为： P(T ) 1
(1- q )
i i 1
n
式中：qi—第i个基本事件发生概率(i=l，2，…,n)
如下例：
如图所示事故树。 已知各基本事件发生概率：q1=q2=q3=0.1，顶事件的发生概 率为； P(T)=q1[1-(1-q2)(1-q3)] =0.1[1-(1-0.1)(1-0.1)]=0.019

qi (1) qi
k 1 r 1 xiEi
k
实例1 例：设某事故树有3个最小割集：{ x1 , x2 },{ x3 , x4 , x5 }, { x6 , x7 }。各基本事件发生概率分别为：q1 ， q2 ，…，q7 ，求顶上事件发生概率。
该题是各个最小割集中彼此没有重复的基本事件
k ' r k k
实例
《安全系统工程》p64
二、结构重要度
结构重要度分析，就是不考虑基本事件发生的概率是多 少，仅从事故树结构上分析各基本事件的发生对顶上事件 发生的影响程度。 事故树是由众多基本事件构成的，这些基本事件对顶上事 件均产生影响，但影响程度是不同的，在制定安全防范措 施时必须有个先后次序，轻重缓急，以便使系统达到经济、 有效、安全的目的。结构重要度分析虽然是一种定性分析 方法，但在目前缺乏定量分析数据的情况下，这种分析显 得很重要。 结构重要度分析方法归纳起来有两种，一种是计算出各基 本事件的结构重要系数，将系数由大到小排列各基本事件 的重要顺序；第二种是用最小割集和最小径集近似判断各 基本事件的结构重要系数的大小，并排列次序。
公式（设事故树有k个最小割集），由于最小割集和最小径 集有对偶性。所以我们得出公式（割集P1,…pk,用Dr表示 最小径集不发生的事件）
k k P (T ' ) P Dr PDr PDr Ds PDr Ds Dt r 1 r 1 1 r s t k 1 r s t k
(1)单事件最小割(径)集中基本事件结构重要系数最大； 例如，某事故树有三个最小径集： P1＝{X1} P2＝{X2,X3} P3＝{X4,X5,X6} 第一个最小径集只含一个基本事件X1，按此原则X1的结 构重要系数最大。 Iφ(1)＞Iφ(i) i＝2，3，4，5 (2)仅出现在同一个最小割(径)集中的所有基本事件结构重 要系数相等； 例如：上述事故树X2，X3只出现在第二个最小径集，在 其他最小径集中都未出现，所以Iφ(2)＝Iφ(3)，同理： Iφ(4)＝Iφ(5)＝Iφ(6) (3)仅出现在基本事件个数相等的若干个最小割(径)集中的 各基本事件结构重要系数依出现次数而定，即出现次数少， 其结构重要系数小；出现次数多，其结构重要系数大；出 现次数相等，其结构重要系数相等。