2019学年高一数学人教A版必修4同步练习：1.4.4 三角函数的性质与图象(习题课)(含解析)

第一章 三角函数三角函数
1．4 三角函数的图象与性质
1．4.4 三角函数的性质与图象(习题课)
1．掌握三角函数的图象，能熟练地画出简单的函数图象． 2．结合图象，掌握三角函数的性质并能熟练地使用．
基础梳理
自测自评
1．函数y ＝4sin(2x ＋π)的最小正周期是(B ) A.π
2
B ．π
C ．2π
D ．4π
解析：∵y ＝4sin(2x ＋π)＝－4sin 2x ，∴最小正周期为T ＝π.故选B.
2．已知函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R)．下面结论错误的是(D )
A ．f (x )的最小正周期为2π
B ．f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤
0，π2上是增函数
C ．f (x )的图象关于直线x ＝0对称
D ．f (x )是奇函数
解析：∵f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，∴A ，B ，C 均准确．故选
D.
3．tan 1，sin 2，tan 3的大小顺序是tan_1>sin_2>tan_3． 解析：∵－π4<π4<1<π
2，
∴tan 1>tan π
4＝1.
而sin 2<1，∴tan 1>sin 2>0.
又3∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，π，∴tan 3<0.
∴tan 1>sin 2>tan 3.
4．求函数y ＝a cos x ＋b (a <0)的最大值与最小值及相对应的x 值． 解析：∵a <0，－1≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝1，
即x ＝2k π(k ∈Z)时，y min ＝a ＋b ； 当cos x ＝－1，
即x ＝2k π＋π(k ∈Z)时，y max ＝－a ＋b .
基础提升
1．函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ 2x ＋
5π2是(B ) A ．奇函数 B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数也不是偶函数
解析：∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
2x ＋π2＝cos 2x ，∴f (x )是偶函数．故选B.
2．下列函数在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π2，π上是增函数的是(D ) A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin 2x D ．y ＝cos 2x
解析：函数y ＝sin x 和y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π2，π上是减函数，函数y ＝
sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上不是单调函数，函数y ＝cos 2x 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π2，π上是增
函数．故选D.
3．函数y ＝1tan 2 x －2tan x ＋2
的值域是________．
解析：∵tan 2 x －2tan x ＋2＝(tan x －1)2＋1≥1，∴0＜y ≤1.即函数的值域为(0，1]．
答案：(0，1]
4．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2
，π2上的交点的个数
为(B )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：由sin x ＝tan x ，得sin x －sin x
cos x ＝0，即sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1cos x ＝0.
由此可知在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上只有一解x ＝0，故两函数图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2
，π2上
只有一个交点，故选B.
巩固提高
5．tan ⎝
⎛⎭⎪⎫
－
13π7与tan ⎝
⎛⎭⎪⎫
－
15π8的大小关系是________________________________________________________________________．
解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2π－13π7＝tan π7.
tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π8＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫
2π－15π8＝tan π8.
∵0<π8<π7<π2，∴tan π8<tan π
7
，
即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－
13π7>tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－15π8. 答案：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π7>tan ⎝
⎛⎭⎪⎫－
15π8 6．若函数f (x )＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫
ωx ＋π6的最小正周期为T ，T ∈(1，3)，则
正整数ω的最大值为________．
解析：∵T ＝2π
ω，T ∈(1，3)，∴1<2πω
<3，即2π
3<ω<2π.
∴正整数ω的最大值为6. 答案：6
7．若tan x ＞tan π
5且x 在第三象限，则x 的取值范围是
________________．
解析：tan x ＞tan π5＝tan 6π
5且x 在第三象限，
∴2k π＋6π5＜x ＜2k π＋3π
2
(k ∈Z)．
即x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫
2k π＋6π5，2k π＋3π2(k ∈Z)．
答案：⎝
⎛⎭⎪⎫
2k π＋6π5，2k π＋3π2(k ∈Z)
8．求函数y ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6
，π2的最大值与最小值，
并求出取最值时x 的值．
解析：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π6
，π2.
∴0≤2x ＋π3≤4π
3
.
∴当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π
2时，y min ＝3－3；
当2x ＋π3＝π2，即x ＝π
12时，y max ＝5.
9．方程sin x ＝1－a
2在x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π上有两个实数根，求a 的取值
范围．
解析：在同一坐标系中作出函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π和y ＝
1－a
2
的图象如图所示．
由图象可知，当32≤1－a
2
<1，即－1<a ≤1－3时，两图象有两个
交点，即方程sin x ＝1－a
2在x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π上有两个实根．
10．求函数y ＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3的定义域，周期和单调区间．
解析：函数的自变量x 应满足：2x －π3≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠
k π
2＋5π
12
(k ∈Z)． 所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋5π12，k ∈Z .
因为f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2x －π3＝
tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π2－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π2.
所以函数y ＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫
2x －π3的周期为π2.
由y ＝tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2＋k π，π
2＋k π(k ∈Z)是增函数，所以－
π2＋k π＜2x －π3＜π
2
＋k π，k ∈Z.
即－π12＋k π2＜x ＜5π12＋k π
2
，k ∈Z.
所以，函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12
＋k π2，5π12＋k π2，(k ∈Z)．。