2008年高考真题精品解析2008年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)(理科)2730

2008年高考真题精品解析2008年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）（理科） 测试题 2019.9
1,若实数满足则的最小值是（ ）
A ．0
B ．1C
．9
2,已知数列对任意的满足，且，那么等
于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3,过直线上的一点作圆
的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4,如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ ）
5,已知函数（）的最小正周期为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．
6,如图，在三棱锥中，，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的大小；
x y ，1000x y x y x ⎧
-+⎪
+⎨
⎪⎩，，，≥≥≤23x y
z +={}n a *p q ∈N ，p q p q a a a +=+26a =-10a 165-33-30-21-y x =22
(5)(1)2x y -+-=12l l ，12
l l ，y x =30456090P 1111ABCD A B C D -1BD P 11BB D D M N ，BP x =MN y =()y f x =2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛
⎫=++ ⎪
⎝⎭0ω>πω()f x 2π03⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦，P ABC -2AC BC ==90ACB ∠=AP BP AB ==PC AC ⊥PC AB ⊥B AP C --
（Ⅲ）求点到平面的距离．
7,甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（Ⅲ）设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列． 8,已知函数
，求导函数，并确定的单调区间．
9,已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线
的斜率为1．
（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程； （Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．
10,对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列
．
对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列； 又定义
．
设是每项均为正整数的有穷数列，令．
（Ⅰ）如果数列为5，3，2，写出数列；
（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列，证明； （Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．
测试题答案
C
APB A B C D ，，，A ξA ξ22()(1)x b
f x x -=
-()f x '()f x ABCD A C ，2234x y +=BD BD (01)，
AC 60ABC ∠=ABCD 12n A a a a ：，，，1T 1
T A 1()T A ：
12111n n a a a ---，，，，12m B b b b ：，，，2T 2T B 2()T B 22
2
1212()2(2)m m
S B b b mb b b b =++
++++
+0A 121(())(012)
k k A T T A k +==，，，0A 12A A ，A 1(())()S T A S A =0A K k K ≥1()()k k S A S A +=
1, 【标准答案】: B
【试题分析】: 解出可行域的顶点，带入验证。

【高考考点】: 线性规划
【易错提醒】: 顶点解错
【备考提示】: 高考基本得分点。

2, 【标准答案】: C
【试题分析】: 由已知4a＝2a+2a＝ -12，8a＝4a+4a＝－24,10a=8a+2a = -30
【高考考点】: 数列
【易错提醒】: 特殊性的运用
【备考提示】: 加强从一般性中发现特殊性的训练。

3, 【标准答案】: C
【试题分析一】: 过圆心M作直线l：y=x的垂线交与N点，过N点作圆的切线能够满足条件，不难求出夹角为600。

【试题分析二】:明白N点后，用图象法解之也很方便
【高考考点】: 直线与圆的位置关系。

【易错提醒】: N点找不到。

【备考提示】: 数形结合这个解题方法在高考中应用的非常普遍，希望加强训练。

4, 【标准答案】: B
【试题分析】: 显然，只有当P移动到中心O时，MN有唯一的最大值，淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，淘汰选项D。

【高考考点】: 截面，线与面的位置关系。

【易错提醒】: 找不到特殊点O，或者发现不了O的特殊性。

【备考提示】: 加强空间想象力的训练，加强观察能力的训练。

5, 【标准答案】: （见后）
【高考考点】: 三角函数式恒等变形，三角函数的值域。

【易错提醒】: 公式的记忆，范围的确定，符号的确定。

【备考提示】: 综合性大题的高考基本得分点，复习时，应该达到熟练掌握的程度。

解：（Ⅰ）
． 因为函数的最小正周期为，且，
所以，解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
． 因为
， 所以， 所以，
因此，即的取值范围为
6, 【标准答案】: （见后）
【高考考点】: 直线与直线的垂直，二面角，点面距离 【易错提醒】: 二面角的平面角找不到，求点面距离的方法单一 【备考提示】: 找二面角的方法大致有十种左右，常见的也有五六种，希望能够全面掌握。

解法一：
（Ⅰ）取中点，连结． ， ． ，
1cos 2()222x f x x ωω-=
+11
2cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛
⎫=-+
⎪⎝
⎭()f x π0ω>2ππ
2ω=1ω=π1()sin 262f x x ⎛
⎫=-+
⎪⎝⎭2π
03x ≤≤
ππ7π
26
66x --≤≤
1πsin 21
26x ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭≤≤π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤()f x 302⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，AB D PD CD ，AP BP =PD AB ∴⊥AC BC =
． ， 平面． 平面，
．
（Ⅱ），， ． 又， ．
又，即，且， 平面．
取中点．连结． ，．
是在平面内的射影， ．
是二面角的平面角． 在中，，，
．
二面角的大小为
． （Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，
平面平面． 过作，垂足为． 平面平面， 平面．
的长即为点到平面的距离．
由（Ⅰ）知，又，且，
平面． 平面， ． 在中，
，
CD AB ∴⊥PD CD D =AB ∴⊥PCD PC ⊂PCD PC AB ∴⊥AC BC =AP BP =APC BPC ∴△≌△PC AC ⊥PC BC ∴⊥90ACB ∠=AC BC ⊥AC PC C =BC ∴⊥PAC AP E BE CE ，AB BP =BE AP ∴⊥EC BE PAC CE AP ∴⊥BEC ∴∠B AP C --BCE △90BCE ∠=2BC =2BE AB =
=sin 3BC BEC BE ∴∠=
=∴B AP C --AB ⊥PCD ∴APB ⊥PCD C CH PD ⊥H APB PCD PD =CH ∴⊥APB CH ∴C APB PC AB ⊥PC AC ⊥AB AC A =PC ∴⊥ABC CD ⊂ABC PC CD ∴⊥Rt PCD △1
2CD AB =
=2PD PB ==
．
．
点到平面的距离为．
解法二：
（Ⅰ），， ． 又， ． ， 平面． 平面， ．
（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．
则． 设． ，
，． 取中点，连结． ，，
，．
是二面角的平面角．
，，， ．
二面角的大小为
．
（Ⅲ），
在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．
如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．
2PC ∴==23
PC CD CH PD ∴=
=
∴C APB 3AC BC =AP BP =APC BPC ∴△≌△PC AC ⊥PC BC ∴⊥AC BC C =PC ∴⊥ABC AB ⊂ABC PC AB ∴⊥C C xyz -(000)(020)(200)C A B ，
，，，，，，，(00)P
t ，
，PB AB ==2t ∴=(002)P ，
，AP E BE CE ，AC PC
=AB BP =CE AP ∴⊥BE AP ⊥BEC ∴∠B AP C --(011)E ，，(011)EC =--，
，(211)EB =--，
，cos 326
EC EB BEC EC EB
∴∠=
=
=∴B AP C --arccos
3AC BC PC ==C ∴APB APB △H CH C APB C xyz -
，
点的坐标为． ．
点到平面的距离为．
7, 【标准答案】:
【高考考点】: 概率，随机变量的分布列
【易错提醒】: 总的可能性是典型的“捆绑排列”，易把C 25
混淆为A 25
【备考提示】: 近几年新增的内容，整体难度不大，可以作为高考基本得分点。

解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么
，
即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．
（Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么
，
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．
（Ⅲ）随机变量可能取的值为1，2．事件“”是指有两人同时参加岗位服务，
则
． 所以
，的分布列是
13
2BH HE =∴H 222333⎛⎫ ⎪
⎝⎭，，23
CH ∴=
∴C APB 3A A E 3
324541
()40A A P E C A ==
A 1
40E 4424541
()10A P E C A ==
9
()1()10P E P E =-=
ξ2ξ=A 23
5334541
(2)4C A P C A ξ===
3
(1)1(2)4P P ξξ==-==
ξξP 3414
【高考考点】: 导数，导数的应用
【易错提醒】: 公式记忆出错，分类讨论出错
【备考提示】: 大学下放内容，涉及面相对较小，题型种类也较少，易于掌握。

解：．
令，得．
当，即时，的变化情况如下表： 0
当，即时，的变化情况如下表： 0
所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减． 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
当，即时，
，所以函数在上单调递减，在上单调递减．
242(1)(2)2(1)()(1)x x b x f x x ----'=-3222(1)x b x -+-=-3
2[(1)]
(1)x b x --=--()0f x '=1x b =-11b -<2b <()f x 'x
(b -∞-，1b -(11)b -，(1)+∞，()f x '-+
-11b ->2b >()f x 'x
(1)-∞，(11)b -，1b -(1b -+∞，()f x '-+-2b <()f x (1)b -∞-，(11)
b -，(1)+∞，
2b >()f x (1)-∞，
(11)b -，(1)b -+∞，11b -=2b =2
()1f x x =
-()f x (1)-∞，
(1)+∞，
【高考考点】: 直线方程，最值
【易错提醒】: 不会使用判别式和韦达定理
【备考提示】: 解析几何的综合题在高考中的“综合程度”往往比较高，注意复习时与之匹配。

解：（Ⅰ）由题意得直线的方程为． 因为四边形为菱形，所以． 于是可设直线的方程为．
由得．
因为在椭圆上，
所以，解得． 设两点坐标分别为，
则，
，，． 所以
．
所以的中点坐标为．
由四边形为菱形可知，点在直线上，
所以，解得．
所以直线的方程为，即．
（Ⅱ）因为四边形为菱形，且， 所以． 所以菱形的面积
．
由（Ⅰ）可得，
BD 1y x =+ABCD AC BD ⊥AC y x n =-+2234x y y x n ⎧+=⎨=-+⎩，22
46340x nx n -+-=A C ，2
12640n ∆=-+
>n <<A C ，1122()()
x y x y ，，，1232n
x x +=
212344n x x -=11y x n =-+22y x n =-+122n
y y +=
AC 344n n ⎛⎫ ⎪
⎝⎭，ABCD 344n n ⎛⎫ ⎪
⎝⎭，1y x =+31
44n n =+2n =-AC 2y x =--20x y ++=ABCD 60ABC ∠=AB BC CA ==
ABCD 2
S =
22
2
2
1212316
()()2n AC x x y y -+=-+-=
所以
．
所以当时，菱形的面积取得最大值
10, （Ⅰ）解：， ，
； ，
．
（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列为， 则为，，，，，
从而
．
又
，
所以
，
故．
（Ⅲ）证明：设是每项均为非负整数的数列．
当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，
则． 当存在，使得时，若记数列为，
则．
所以．
从而对于任意给定的数列，由 可知．
又由（Ⅱ）可知，所以．
2316)S n n ⎛=
-+<< ⎝⎭0n =ABCD 0532
A ：，，10()3421
T A ：，，，1210(())4321A T T A =：，，，11()43210
T A ：，，，，2211(())4321
A T T A =：，，，A 12n a a a ，，，1()T A n 11a -21a -1n a -112(())2[2(1)3(1)(1)(1)]
n S T A n a a n a =+-+-+++-2222
12(1)(1)(1)n n a a a ++-+-+
+-22
21212()2(2)n n
S A a a na a a a =++
++++
+1(())()S T A S A -122[23(1)]2()n n n a a a =---
-+++++2122()n n a a a n
+-++
++2
(1)0n n n n =-+++=1(())()S T A S A =A 12n a a a ，，，1i j n <≤≤i j a a ≤A i j B ()()2()j i i j S B S A ia ja ia ja -=+--2()()0j i i j a a =--≤1m n <≤120
m m n a a a ++====12m a a a ，，，C ()()S C S A =2(())()S T A S A ≤0A 121(())(012)
k k A T T A k +==，，，11()(())k k S A S T A +≤1(())()k k S T A S A =1()()k k S A S A +≤
即对于，要么有，要么有． 因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有
．
即存在正整数，当时，
k ∈N 1()()k k S A S A +=1()()1k k S A S A +-≤()k S A 12()()()k k k S A S A S A ++===
K k K ≥1()()k k S A S A +=。