高二数学上学期第一次双周考试题 理 试题

中学2021级高二年级第一次双周练
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅……
日期：2022年二月八日。

数 学〔理科〕
一、选择题: 本大题一一共12小题, 每一小题5分, 一共60分.
23a sin =︒，203b log .=，032.c =之间的大小关系是〔 〕
A ．a c b <<
B ．a b c <<
C ．b c a <<
D ．b a c <<
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛33,1且与直线03=-y x 所成角为060的直线方程为〔 〕 A.023=-+y x B.023=++y x
C.1=x
D.023=-+y x 或者1=x
,a b 是两条不同的直线, ,αβ是两个不同的平面, 那么能得出a b ⊥的是〔 〕
A. a α⊥, //b β, αβ⊥
B. a α⊥, b β⊥, //αβ
C. a α⊂, b β⊥, //αβ
D. a α⊂, //b β, αβ⊥
034222=++-+y x y x 的圆心到直线1+=y x 的间隔 为〔 〕
A.2
B. 2
2 C. 1 D. 2 5.数列}{n a 中11=a ，1,+n n a a 是方程01)12(2=++-n
b x n x 的两个根，那么数列}{n b 的前n 项和n S 等于〔 〕 A.
121+n B. 11+n C. 12+n n D. 1
+n n 6．点(2,3),(3,2)A B --，假设直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，那么直线l 的斜率k 的取值范围是
〔 〕
A ．34k ≥
B ．324k ≤≤
C ．324
k k ≥≤或 D ．2k ≤ 7. 在ABC ∆中, 假设2,60,7a B b =∠=︒=, 那么BC 边上的高等于〔 〕
A.332
B. 3
C. 3
D. 5 8. 直线l 1：x+2ay ﹣1=0，与l 2：〔2a ﹣1〕x ﹣ay ﹣1=0平行，那么a 的值是〔 〕
A ．0或者1
B ．1或者
C ． 0或者
D ．
△ABC 所在平面内，过P 作平面α，使△ABC 的三个顶点到α的间隔 相等，这样的平面一共有〔 〕
10.假设圆226260x y x y +--+=上有且仅有三个点到直线10ax y -+=〔a 是实数〕的间隔 为1，那么a 等于〔 〕 A.
24 B.24± C.2± D.32
± ABCD ­ A 1B 1C 1D 1的棱长为1, E , F 分别为线段AA 1, B 1C 上的点, 那么三棱锥D 1 ­ EDF 的体积为( )
A.
16 B. 15 C. 14 D. 512
12.在坐标平面内，与点()2,1A 间隔 为1，与点()1,3B 间隔 为2的直线一共〔 〕条
二、填空题: 本大题一一共4小题, 每一小题5分, 一共20分.
13. 圆4
5)1()21(22=
++-y x 关于直线01=+-y x 对称的圆的方程是 . (,2)A a 在圆222230x y ax y a a +--++=的外部，那么实数a 的取值范围是 .
15.0＞x ,0＞y ,且
412=+y
x ,假设6222--≥+m m y x 恒成,那么m 的取值范围是__________________. ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M 、N ，假设c 2＝a 2＋b 2，那么OM ·ON
(O 为坐标原点)等于 .
三、解答题: 本大题一一共6小题, 一共70分.
17.〔本小题满分是10分〕
()f x a b =⋅, 其中(2cos ,3sin 2),(cos ,1)()a x x b x x R =-=∈.
(1) 求f (x )的最小正周期和单调递减区间;
(2) 在△ABC 中, 内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,
f (A )＝－1,a ＝7, AB →·AC →
＝3, 求b 和c 的值(b ＞c ).
18.〔本小题满分是12分〕
直线方程为043)12()2(=++++-m y m x m ，其中R m ∈
(1)求证：直线恒过定点，并写出这个定点；
〔2〕当m 变化时，求点)4,3(Q 到直线的间隔 的最大值；
〔3〕假设直线分别与x 轴、y 轴的负半轴交于A ，B 两点，求ABC ∆面积的最小值及此时的直线方程.
19.〔本小题满分是12分〕
正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 和S n 满足：4S n =〔a n +1〕2〔n=1，2，3…〕，
〔1〕求{a n }的通项公式；
〔2〕设2n n n b a =，求数列{b n }的前n 项和T n ．
20．〔本小题满分是12分〕
在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2
－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．
(1)求圆C 的方程；
(2)假设圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．
21.〔本小题满分是12分〕
如图，平面PAC ⊥平面ABC ，点E 、F 、O 分别为线段PA 、PB 、AC 的中点，点G 是线段CO 的中点，
4AB BC AC ===，PA PC ==.
求证：〔1〕PA ⊥平面EBO ；
〔2〕FG ∥平面EBO ．
22.〔本小题满分是12分〕
过点()0,3M 作直线l 与圆252
2=+y x 交于B A 、两点， 〔1〕假设点P 是线段AB 的中点，求点P 的轨迹方程。

〔2〕求直线l 的倾斜角为何值时AOB ∆的面积最大，并求这个最大值。

中学高二第一次双周练答案数学〔理科〕
1-12 DDCDD CACDB AB 13 .45)23()2(22=-++y x ; 14.92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
15.24m -≤≤;
16. -7 17. (1) T ＝π f (x )的单调递减区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z (2) b ＝3，c ＝2
18. (1) 直线过定点)2,1(-- 〔2〕132
(3)2-=k 时面积最小值为4，此时直线方程为042=++y x
19.(1)12-=n a n 〔2〕=n T 62)32(1+•-+n n
20.解：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为
(3＋22，0)，(3－22，0)．
故可设C 的圆心为(3，t )，那么有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 那么圆C 的半径为32＋t －1
2＝3. 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组x －y ＋a ＝0,(x －3)2＋(y －1)2
＝9消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.
由可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2 x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋1
2.①
由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.
又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以
2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2
＝0.②
由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.
21.证明：由题意可知，PAC ∆为等腰直角三角形，ABC ∆为等边三角形． 〔1〕因为O 为边AC 的中点，所以BO AC ⊥，
因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，
BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥面PAC ．
因为PA ⊂平面PAC ，所以BO PA ⊥，
在等腰三角形PAC 内，O ，E 为所在边的中点，所以OE PA ⊥，
又BO OE O =，所以PA ⊥平面EBO ；
〔2〕连AF 交BE 于Q ，连QO ．因为E 、F 、O 分别为边PA 、PB 、PC 的中点， 所以2AO OG
=，且Q 是△PAB 的重心， 于是2AQ AO QF OG ==，所以FG //QO . 因为FG ⊄平面EBO ，QO ⊂平面EBO ，所以FG ∥平面EBO ．
22.解：①P 是AB 中点
OP AB ∴⊥，取OM 中点G ，那么在Rt OMP ∆中必有13.22GP OM =
= P ∴点的轨迹为以G 为圆心32为半径的圆，令(,)P x y 那么2239()24
x y -+= 即22
30x x y -+=
经检验知：AB 为x 轴及AB //y 轴均满足上式 P ∴点的轨迹为2230x x y -+= ……………………………6分 ②令OP h =，由题意知03h <≤
在Rt APO ∆中AP =即AB =
113)22
ABO S AB OP h h ∆=⋅=⨯=<≤
(03)h <≤
令2
t h = 那么 09t <≤
易知ABO S ∆=在 09t <≤时单调递增 ∴当9=t 即直线AB 垂直于x 轴时max 12ABO S ∆=，此时l 的倾斜角为090……12分
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅……
日期：2022年二月八日。