2013年高考数学 倒计时20天 正能量 第1辑金题强化卷08 理 (解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试金题强化卷
数学理（8）
第I 卷
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 【改编题】若集合A ＝｛－1，0，1｝，B ＝｛y ｜y ＝cosx ，x ∈A ｝，则A ∩B ＝ A ．｛0｝ B ．｛1｝ C ．｛0，1｝ D ．｛－1，0，1｝
2. 【某某省莱芜市2012届高三4月高考模拟试题】设,p q 是两个命题，
1
:
0,:|21|1,x p q x p q x
+≤+<则是 (A)充分非必要条件(B)必要非充分条件 (C)充要条件(D)既非充分又非必要条件
3. 【某某市2013届高三年级1月调研测试】已知函数()2030
x
x x f
x x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 则14f f ⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值是 A ．9B ．
19C ．9-D ．19
-
4. 【某某省日照市2012届高三下学期5月份模拟训练】要得到函数)4
2cos(3π
-=x y 的
图象，可以将函数x y 2sin 3=的图象 （A ）沿x 轴向左平移8
π
个单位 （B ）沿x 向右平移8
π
个单位 （C ）沿x 轴向左平移4
π
个单位 （D ）沿x 向右平移
4
π
个单位
【答案】A
【解析】.).8
(2sin 3)42sin(3)]42(2sin[
3)4
2cos(3A x x x x y 选π
πππ
π
+=+=-+=-
= 5. 【某某省某某市2013届高三第一次大练习】i 是虚数单位，
1233i
i
+等于 A.
13412i + B.33i + C.33i - D. 13412
i -
6.【2013届某某省示X 高中高三9月模底考试】样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为＝（ ） A 、
305 B 、6
5
C 、2
D 、2
7.【某某省某某市2012届高中毕业生五月供题训练（二）】
设29
2001292
91001291010
10
(12)(1)
(1)
b b x b x b x x a a x a x a x a x x x +++
++=++++++
+-，则a 9=
A ．0
B ．410
C ．10·410
D ．90·4
10
8.[某某省某某市6校2013届高三联合测评考]三个正数a,b,c 满足2a b c a ≤+≤，
2b a c b ≤+≤，则b
a
的取值X 围是（ ）
A ．23[,]32
B ．2[,2]3
C ．3
[1,]2
D ．[1,2]
【答案】A
【解析】∵0,a >2,12b c
a b c a a a
∴≤+≤≤
+≤由得, 212.b c b b a c b a a a ≤+≤≤+≤由得设,b c x y a a ==,则有12
112x y x y y x
≤+≤⎧⎪
≤+⎨⎪+≤⎩
,其可行域如图:
其中A (21,33),B (31,22)，∴b x a =∈［23,3
2
］.
9.【某某省百所重点高中2012届高三下学期模拟考试】已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 7=4，a 6=8，函数，则()f x 在x=时的导数
的
值等于 A.
554 B.574
C. 16
D. 18
10. 【2013年某某市高三教学质量检测考试】函数)42(cos 2)2
1()(1
≤≤-+=-x x x f x π的
所有零点之和等于
（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8 【答案】C
【解析】x y πcos 2-=由0cos 2)
2
1()(1
=+=-x x f x π，得
x x πcos 2)21(1-=-令)42(cos 2,)2
1(1≤≤--==-x x y y x π, 在同一坐标系中分别做出函数1
)2
1(-=x y ，
)4
2
(
cos
2≤
≤
-
-
=x
x
yπ，
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
<
≤
-
≤
≤
=
=
-
-
-
1
2
,
2
4
1,
)
2
1
(
)
2
1
(
1
1
1
x
x
y
x
x
x，由图象可知，函数1
)
2
1
(-
=x
y关于1
=
x对称，又1
=
x也是函数)4
2
(
cos
2≤
≤
-
-
=x
x
yπ的对称轴，所以函数
)4
2
(
cos
2
,
)
2
1
(1≤
≤
-
-
=
=-x
x
y
y xπ的交点也关于1
=
x对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.
第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

二。

填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11.【某某省莱芜市2012届高三4月高考模拟试题】
函数
201
()
212
x x
f x
x x
⎧≤≤
=⎨
-≤≤
⎩
的图像与x轴所围成的封闭图形的面积为.
12. 【某某省黄冈市2012高三五月模拟考试】
已知如下等式：
()
22
1
3434
7
-=-
，
()
2233
1
334434
7
-⨯+=+
，
()
322344
1
33434434
7
-⨯+⨯-=-
，
()
43223455
1
3343434434
7
-⨯+⨯-⨯+=+
，
则由上述等式可归纳得到()
122
3343414n
n n n n
--
-⨯+⨯-+-=____（*N
n∈）.
13. 【某某省某某市2013届高三第一次模拟考试】F1、F2为双曲线C：1
2
2
2
2
=
-
b
y
a
x
（a＞0，
b＞0）的焦点，A、B分别为双曲线的左、右顶点，以F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且满足∠MAB=30°，则该双曲线的离心率为.
14. 【改编题】右图所示的是根据输入的x 值计算y 的值的程序框图，若x 依次取数列
)(162*∈⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+N n n n 中的项，则所得y 值的最小值为 【答案】16 【解析】
2*
1616
,8(48,16.
n n N n n n n
x y +∈=+≥==≥∴≥当时，“”成立），
即
15. （1）【2012东城区普通高中示X 校高三综合练习（二）】 在平面直角坐标系下，已知曲线1:C 22,
,
x t a y t =+⎧⎨
=-⎩（t 为参数）和曲线
2:C 2cos ,
(),12sin x y =⎧⎨
=+⎩为参数θθθ
若曲线1C ，2C 有公共点，则实数a 的取值
X 围为.
（2）【改编题】已知不等式2｜x －3｜＋｜x －4｜＜2a ，若不等式的解集不是空集，某某数a 的取值X 围． 【答案】1(,)2
+∞
【解析】设()234f x x x =-+-，则3104()2
341033x x f x x x x x -≥⎧⎪
=-<<⎨⎪-≤⎩
， ()1f x ∴≥， ∴21a >，12
a >
．即a 的取值X 围是1
(,)2+∞.
三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.【 某某省某某市2012届高三第一次模拟考试】已知向量p ＝(－cos 2x ，a )，q ＝(a,2－3sin 2x )，函数f (x )＝p·q －5(a ∈R ，a ≠0)
(1)求函数f (x )(x ∈R )的值域；
(2)当a ＝2时，若对任意的t ∈R ，函数y ＝f (x )，x ∈(t ，t ＋b ]的图像与直线y ＝－1有且仅有两个不同的交点，试确定b 的值(不必证明)，并求函数y ＝f (x )的在[0，b ]上单调递增区间．
【思路分析】本题考查向量的运算和三角函数的值域、周期性、单调性等综合问题，考查学生的转化划归能力、数形结合思想和计算能力.（1）利用向量的坐标运算和辅助角公式化简函数的表达式，借助三角函数的有界性求解函数的值域；（2）根据题设条件明确b 的值，然后借助三角函数的单调性求解函数的单调区间，利用条件限定，明确k 的值.
17. .【某某省某某市2013届高中毕业班第一次质量检测】（本小题满分12分）
某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作。

规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过。

已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是32
，且每题正确完成与否互不影响。

（Ⅰ）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（Ⅱ）试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．
解：（Ⅰ）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ，η，则ξ的取值分别为1、2、3，η的取值分别,0、1、2、3，
122130424242333
666131
(1),(2),(3)555
C C C C C C P P P C C C ξξξ=========
131
()1232555
E ξ=⋅+⋅+⋅=………………5分
因为2
~(3,)3
B η,所以考生乙正确完成实验操作的题数的概率分布列为：
16128
()0123227272727
E η=⋅+⋅+⋅+⋅=………………8分
（Ⅱ）因为31412820
(2),(2)555272727
P P ξη≥=+=≥=+=
所以(2)(2)P P ξη≥>≥………………10分
从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能
性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强。

………………10分 18.【某某省兖州市2013届高三9月入学诊断检测数学】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知122(n n a S n +=+∈N *
）. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这n+2个数组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫
⎪⎨⎬⎪⎭⎩
的前n 项和n T .
【思路分析】本题考查数列的通项公式和数列求和问题，考查学生的利用递推关系的解题能力和转化化归能力.(1)利用消掉S n 的思路求解通项公式；（2）借助第一问的结论和等差数列的通项公式求解1n d ⎧⎫⎪
⎨
⎬⎪⎭
⎩的通项公式，然后利用错位相减法求解数列的和. 解析：（1）由122(n n a S n +=+∈ Z *
）
得122(n n a S n -=+∈ Z *
，2n ≥），………………………………2分 两式相减得：12n n n a a a +-=，
即13(n n a a n +=∈ Z *
，2n ≥），………………………………4分
∵{}n a 是等比数列，所以213a a = ； 又2122,a a =+则11223a a +=，∴12a =， ∴132-⨯=n n a …………………………6分
19. 【某某师大附中、某某一中2013届高三数学联考试卷】
如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=．点E F 、分别在边CD CB 、上，点E 与点C D 、不重合，,EF AC EF AC O ⊥=．沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆的位置，使平面PEF ⊥平面ABFED ．
（1）求证：BD ⊥平面POA ；
（2）设点Q 满足(0)AQ QP λλ=>，试探究：当PB 取得最小值时，直线OQ 与平面PBD 所
成角的大小是否一定大于4
π
？并说明理由．
【思路分析】本题考查线面垂直、线面角和折叠问题，考查空间形象能力、转化化归能力以及计算能力.（1）利用菱形的几何性质和面面垂直的性质定理，借助线面垂直的判断定理进行证明；（2）利用空间向量进行求解，首先明确PB 取得最小值的时PO 的长，进而明确建
系思路，明确各点坐标，借助线面角的向量公式得到函数关系，分析函数的值域，明确线面角的X 围.
解：（1）证明：∵ 菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥，∴BD AO ⊥， ∵EF AC ⊥，∴PO EF ⊥．
∵ 平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF 平面ABFED EF =，且PO ⊂平面PEF ，
∴PO ⊥平面ABFED , ∵BD ⊂平面ABFED ，∴PO BD ⊥． ∵AO PO O =，∴BD ⊥平面POA ．……………………………… 4分
20.【2012某某某某市第二次联考数学】已知抛物线方程2:2(0)C y px p =>，点F 为 其焦点，点(3,1)N 在抛物线C 的内部，设点M 是抛物线C 上的任意一点，||||MF MN +的 最小值为4。

（1）求抛物线C 的方程；
（2）过点F 作直线l 与抛物线C 交于不同两点A 、B ，与y 轴交于点P ，且12PF FA FB λλ==，试判断12λλ+是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定
值，请说明理由。

【思路分析】本题考查抛物线的方程、定义、直线和抛物线相交问题涉及到的定值问题，考查考查学生考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法，考查数学探究能力以及运算求解能力.（1）借助抛物线的定义求解；（2）借助向量问题坐标化的基本思路，和直线与抛物线相交联立，利用韦达定理进行过渡和转化12λλ+.
解法2：（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为:2
p l x =-
，点M 到l 的距离设为d ， 由抛物线定义，||||||342
p
MF MN d MN +=+≥+=， 所以2p =，因此24y x =。

（2）设1122(,),(,),(1,0)A x y B x y F ，由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于0，
设:(1),l y k x =-则(0,)P k -，
由12PF FA FB λλ==知，111222(1,)(1,)(1,)k x y x y λλ=-=-， 所以1)1(11=-x λ，1)1(22=-x λ，从而11
11-=
x λ，1
122-=x λ， 由⎩⎨
⎧=-=x
y x k y 4)
1(2
，得x x k 4)1(22=-，即0)42(2
2
2
2
=++-k x k x k ，
根据韦达定理得2
2214
2k k x x +=+，121=x x 。

所以)1)(1(211
1121212121---+=-+-=
+x x x x x x λλ1
)(2212121++--+=
x x x x x x 12
2
)(2221212121-=-+-+-=+--+=
x x x x x x x x 为定值。

21.【原创题】 已知函数2
21
()()(0)ax f x x x e a a a
=-
+> （I ）当1a =时,求函数()f x 的图象在点A （0，(0)f )处的切线方程； （II ）讨论函数()f x 的单调性； （Ⅲ）是否存在实数(1,2)a ∈，使22
()f x a
>当(0,1)x ∈时恒成立？若存在，求出实数a ；若不存在，请说明理由．
【思路分析】本题考查导数的几何含义、函数的单调性、不等式的恒成立等问题，考查分类
讨论思想、等价转化思想和构造函数法.(1)利用导数的几何含义求解；（2）明确函数的定义域，然后利用导数法，通过对a 的分类，探求函数的单调性；（3）借助第二问的结论得到()f x 的最小值，然后将问题转化为1)21(2>---a
e a 恒成立，利用构造函数的技巧，
借助求导求解函数的值域达到证明目的.
（II ）ax ax e a a
x a x e a x x f ⋅⋅+-+-=')1
2()22()(2
=ax
ax e a
a ax e x ax a x )2()1222(22-+=+-+-
， ∵0,0ax
a e >>，∴ 只需讨论a
a ax 2
2-+
的符号． ……………… 4分 ⅰ）当a ＞2时，a
a ax 2
2-+＞0，这时()f x '＞0，所以函数()f x 在（－∞，+∞）上为增函数．
ⅱ）当a = 2时，22()2x
f x x e '=≥0，函数()f x 在（－∞，+∞）上为增函数．
……………… 6分
ⅲ）当0＜a ＜2时，令()f x '= 0，解得a a
x --
=21，a
a
x -=22． 当x 变化时，()f x '和()f x 的变化情况如下表：
x
)2,(a a --
-∞ a a --2 )2,2(a a
a a ---
a
a -2 ),2(+∞-a a
()f x ' + 0 － 0 + ()f x
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴()f x 在)2,(a a --
-∞，),2(+∞-a a 为增函数，()f x 在)2,2(a
a
a a ---为 减函数……………… 8分。