正德中学高三数学第三次市统测试卷分析

2011-2012正德中学高三数学第三次市统测试卷分析
一．班级均分情况
说明：文化、体育班取前20名，美术应届取前30名，美术往届、音乐应取前40名，音乐往全取。

二．各题得分情况：
说明：文化、体育班取前20名，美术应届取前30名，美术往届、音乐应取前40名，音乐往全取。

从表可知，我校学生在填空题第6，8，9，10，11，12，13，14，16（2），17，18（2），19（2）（3），20错的较多。

三．试卷整体分析
本次考试试卷整体难度太大，但各考点分布比较合理，与2011年江苏高考数学卷题型相当（各题难度均明显上升），重点考察学生解决问题的能力。

前5题较容易，学生看到题目后就有一些解题想法，6，8，9，10，11，12各题难度上去了，这不叫中档题，就是难题，但13，14难度太大。

解答题15、16（1）比较平稳，自然过度，受到中等成绩的学生
一致好评，特别是我校的美术生与体育生，但16（2）图形不好，给学生造成错觉，找不到OF BE ⊥，17题数字较复杂，计算较复杂，解法也不常规。

18（1）
、19（1）、20（1）算正常考察的题目学生该能做出来，但其它问难度就太大了。

总之整份试题难度比较大，考不出我们学校学生真实水平，还有些打击学生自信心，不过对培养学生耐挫力有很大帮助。

四．典型题分析
6．主要考察学生的空间想象能力，计算能力，出错原因三棱锥的体积顶点能换出来，但高
找不到或不会计算，即P 到面距离求不出来。

解法：2
3
3321131=⨯⨯⨯⨯==--BCM P PBC M V V ，
此题放位置不好。

8.主要考察三角函数的图像与性质，用点的坐标表示线段长度，向量的数量积计算，三角函数的周期性。

出错原因A 、B 、C 坐标表示不出来。

解法一：)3,4
23(),0,22(),0,2(----θ
πθπθ
πC B A ，8),3,4(),0,2(2πππ=
∙-==AC AB AC AB 解法二：利用周期性质的横坐标为周期一半，纵坐标为0，AC 的横坐标为周期4
1
，纵坐标为-3，所以8),3,4(),0,2(2
πππ=∙-==AC AB AC AB 。

评讲建议补充：宿迁市第二次调研第12题。

9.主要考察两点之间距离，利用导数求最值，数学建模思想，指对数计算。

解法：),(ln ),,(2a a N a a M ，所以a a y a a a a a MN ln ),0(ln ln 222-=>-=-=令，
2
2
,012==-
='a a a y 所以，此题新颖，难度不大，考察学生解决问题的能力。

评讲建议补充两题（1）x y a x cos ==与交于A ，x y a x sin ==与交于B ，则AB 最大值为___ (2)x
y 1
=
上任意一点P 到原点距离的最小值为_______ 10.主要考察学生恒成立问题，阅读理解能力，解决问题能力。

出错原因：不理解题意。

解法：设实数x ，它的小数部分为)20120(],[),10(≤≤-=<≤x x x m m m ，所以)
()(x g x f ≤
即20121,1,1)1(,1,1)(,1])[]([22≤≤∴+≥-≥--≤--≤--≤-x m x m x m x m mx x m m x x x x x ，所以解集区间长度为2011。

11.本题考察一元二次不等式解法，分类讨论思想，等差数列求和。

出错原因学生心理怕
了，端点值未检验。

解法：因为0))(1(,0)1(2≤--∴≤++-a x x a x a x ，当a x a ≤≤>11时，
； 当11≤≤<x a a 时，；当01==x a 时，。

因为A 中所有元素之和为28，所以87<≤a 。

12.本题考察数列通项与求和之间关系，等差数列中下标和定理。

出错原因学生思维达不到这个层次，想不到用通项表示求和。

具体解法：可设n n S n 4572+=，则n n T n 32+=，所以求出n n b a ,，表示出
n
n
b a 2，要求为整数，所以15=n 。

评讲建议：补充讲解数列导学案中3个题目。

13.本题考察点对称知识，等价转化思想，数形结合思想，圆的一般方程和标准方程知识，本题思维量很大，计算量也很大，所以能做出来得几乎没有。

方法一：四边形PABN 周长
最小即为PA+BN 最小22221)3(3)1(+-++-=+a a BN PA 等价于），）和（与（133,1)0,(a 距离之和，即在X 轴上找一点到），）和（（133,1距离之和最小，所以作）
（3,1关于X 轴对称点）（3-,1，连接）（3-,1与）
（1,3与X 轴交点即为23=a ，所以)1,2
5
(),1,23(),2,1(N P A -,可设圆方程的一般式，求出圆心坐标)8
9
,3(-。

方法二：四边形PABN 周长最小即为PA+BN 最小，通过图
像把N 点移动到P 点，则B 坐标变为C （3,0），PA+PC 最小，因为)0,3(),2,1(),1,(C A a P -，在直线y=1上找点到）（和0,3)2,1(C A -。

作出A 关于y=1对称点D(1,4),连接CD,则与y=1的交点横坐标23=
x ，即2
3
=a ，后面解法同上。

建议评讲书本95页21题。

17．考查数学建模、导数求最值、阅读理解能力，三角形面积，三角函数的定义，基本不等式求最值等知识，此题难度较大。

错误原因：大部分学生考虑三角中的正弦与余弦定理但解决不了，想不到参考答案的两种解法。

解法一：⑴因为AOC △的面积与BOC △的面积之和等
于AOB
△
的面积，所以111
45(26)sin30sin75 222
x y xy
++
=
，……4分
即1
2
y
+=，所以2)
y x
=>．…………………6分
⑵AOB
△的面积
16
sin75
2
S xy
==
2
2
x
x
-
………8分
4
24)
2
x
x
-++
-
84(31)
=+．
……………12分
当且仅当4
x=时取等号，此时
y=
故4km
OA=
，OB=时，OAB
∆的面积最小为2
1)km．…………14分
解法二：（1）建立如图所示的平面直角坐标系，
则
(,0)
A x
，(1
C++
，()
44
B y y，
因为,,
A B C三点共线，所以
AB AC
k k
=．……………
4分
即
y
2)
y x
=>．……………………………6分
⑵因为16
sin75
2
S xy
==
2
2
x
x
-
，…………………………………8分
求导得，
2
(4)
(
2)
x x
S
x
-
'=
-
，易知函数2
2
x
S
x
=
-
在区间(2,4)上是减函数，
在区间(4,)
+∞上是增函数，……12分
所以4
x=，且y=
2
2
x
S
x
=
-
取得最小值2
1)km
+．…………14分
评讲建议补充必修五第24页第6题。

18题：考查平面几何知识，向量的坐标运算，常见求轨迹的方法，求交点，用坐标表示线段长度，直线的斜率等知识，本题的思维量较小但计算量较大，出错原因：计算量太大，学生不敢动笔计算，算不下去。

解法：⑴易知(21)
A，,(21)
B-，，设
00
()
P x y
，,则
2
2
1
4
x
y
+=.由OP mOA nOB
=+,得0
2()
x m n
y m n
=-
⎧
⎨
=+
⎩
,所以22
4()
()1
4
m n
m n
-
++=,即22
1
2
m n
+=.故点()
Q m n，在定圆22
1
2
x y
+=上.……8分。

⑵设
11
()
M x y
，，
22
()
N x y
，,则12
12
1
4
y y
x x
=-，222222
121212
16(4)(4)
x x y y x x
==--,即22
12
4
x x
+= (10)
分
因为直线MN 的方程为12121221()()0y y x x x y x y x y ---+-= , 所以O 到直线MN
的距离为d =
, ………………………12分
所以OMN △
的面积122111||2
2S MN d
x y x y ==-
1.故OMN △的面积为定值1.………16分 解法二：设OM 的方程为：(0)y kx k =>，则ON 的方程为：1
(0)4y
x k k
=-
>. 联立方程组22
,
4 4.
y kx x y =⎧⎨
+=⎩
解得
M .……………………………10分
同理可得，
N ，因为点N 到直线OM 的距离为：
d
=
12分
OM
OMN △面积112S d OM =⋅=…16分 解法三：解法二：设OM 的方程为：(0)y kx k =>，则ON 的方程为：1
(0)4y
x k k
=-
>. 联立方程组22
,4 4.
y kx x y =⎧⎨
+=⎩
解得
M .……………………………10分
同理可得，N ，所以MN 的方程为：
)412
(421241222
k
x k k k k y +--+=
+-，
令0=y ，∴1411
12)41(241122121,41)12(2
822222=+⨯++⨯++⨯=⨯-⨯=+++=k k k k k x y y S k k k x N M
本题计算量的确有点大。

19．本题主要考察函数与导数知识，函数信息题的阅读理解能力，恒成立问题的解决，分类讨论思想，等价转化思想，函数单调区间的求法，一元二次函数的图像问题。

出错原因：计算量太大，一元二次函数的分类讨论情况太多，学生不具备这种等价转化的能力。

解法：⑴因为()2g x x '=，所以222()()2(1)10xg x g x x x x '-=--=+>在(0,)+∞上恒成立， 即()()xg x g x '>在(0,)+∞上恒成立，所以2()1g x x =-是A 型函数．…2分
⑵211()(0)a h x a x x x -'=-+>，由()()
x h x h x '>，得1113ln ---+>---a a
ax ax x x x
，因为0>x ，所以可化为2(1)2ln -<+a x x x ，令()2ln p x x x x =+，()3ln p x x '=+，令()0p x '=，得3e -=x ，当3(0,e )-∈x 时，()0p x '<，()p x 是减函数；当3(e ,)-∈+∞x 时，()0p x '>，()
p x 是增函数，所以33min ()(e )e p x p --==-，所以32(1)e --<-a ，解得31
1e 2
a -<-．…………4分
①当0=a 时，由21()0x
h x x
-'=>，得1<x ，所以增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞；
②当0<a 时，由21()(1)
()0a a x x a h x x
---'=>，01x <<，增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞； ③当102a <<时，由21()(1)
()0a a x x a h x x ---'=>，得1x <，或1a x a ->，所以增区间为(0,1)
，1(,)a a -+∞，减区间为1(1,)a a -； ④当1
2
a =时，()0h x '≥，所以函数增区间为(0,)+∞；
⑤3111e 22a -<<-时，由21()(1)
()0a a x x a h x x
---'=>，得1x >，或1a x a -<， 所以增区间为1(0,)a a -，(1,)+∞，减区间为1(,1)a
a
-． ……………………………10分
⑶证明：函数()f x 是(0,)+∞上的每一点处都有导数，且()()xf x f x '>在(0,)+∞上恒成立，设
()()f x F x x =
，2()()()0xf x f x F x x '-'=>在(0,)+∞时恒成立，所以函数()()f x F x x
=在(0,)+∞上是增函数，…12分
120,0x x >>，∴1211220,0x x x x x x +>>+>>，121122()(),()()F x x F x F x x F x +>+>，
即
121122121122
()()()()
,f x x f x f x x f x x x x x x x ++>>++， ………………………………………14分
所以112212121212
()()
(),()x f x x x f x x f x f x x x x x ++<
<++，两式相加，得1212()()()f x f x f x x +<+…16分
建议评讲：前面我们下发的函数学案中几道类似填空题（大家都知道）。

20题，我们学生只能做第一问，此题对于学生没有多大意义，我们不作分析。

五．对后期教学的几点建议：注重主干知识的复习：
1.从08到11年江苏高考已经形成自己的试卷结构，填空题中8道容易题，4道中档题，2道难题；15-16属于容易题，三角与立几题，对于我校艺术生这两题特别重要，希望全体师生形成共识，强化定时训练；17-18中档题，应用题或平面几何题，应用题是所有学生都怕的，其实考察真正的数学知识较容易，主要原因学生严重缺乏阅读理解能力和数学建模能力，但是江苏高考已明确应用题必考，只有强化阅读理解；平面几何题第一问很容易，第二问计算量很大，学生不容易得分，但此题的思维量倒不是很大，所以我们要求文化班强化计算能力的训练，而且这题我们必须要得到分数，19-20数列题与函数题，数列题学生要掌握等差与等比的通项与求和、常见数列通项与求和的方法，掌握通性通法即可，不要弄的太深，但同时要注意该掌握的还一定要会，不能看到就放弃，这样比较危险。

函数题：函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、周期性、导数计算、切线求法、单调性、最值也要掌握。

对于这两题题，我们一定能得到第一问分数，第二问该能得到部分分数，第二、三问一般情况思维量和计算量都很大，所以我们要求学生能得几分得几分，没有思路的立即选择放弃，有时放弃也是一种智慧。

2.注意任意性恒成立与存在性成立问题的理论必须掌握，每份高考卷都一定会考。

3.近几年江苏高考数学试题不仅紧扣教材，而且还十分重视数学思想方法的考查。

在复习中同学们要特别重视数学思想和方法。

高中数学解题的基本方法主要有：分析法、综合法、配方法、换元法、待定系数法、判别式法、反证法、数学归纳法（理科）等。

常用的数学思想有：函数与方程的思想，数形结合思想，分类与整合思想，化归与转化思想，特殊与一般思想，算法思想，概率思想等。

4.复习要抓好解题的三个阶段，第一是审题阶段，要弄清题目给出的所有条件以及隐含条件，弄清解题目标，然后运用化归思想进行转化，要特别注意用解题目标去导引思维的航
向，用已知条件去开辟解题的道路；第二是解题阶段，在选择解题方法和程序时，要多思考如何用数学思想方法作指导，要特别注重通性通法的运用；第三是反思阶段，解题后要反思整个解题过程，回顾总结数学思想方法，使解题过程进一步优化。

友情提醒：真正的教育是发自内心、充满激情的；教育智慧在学生身上融化、组合、萌芽、生长的满足和快乐，你的努力才有意义！快乐是一种美德，微笑是一种力量，歌唱是心灵的阳光；优秀是一种习惯，成功是一种心态，幸福是灵魂的香味。

面带微笑才能享受生活，懂得播种快乐才能收获幸福。

正德中学高三数学备课组
2012年3月30日。