16 gauss-bonnet公式

微分几何Differential Geometry 第15 讲Gauss-Bonnet公式
问题引入
1α2α3α123π.
ααα++=平面三角形内角和
测地线三角形
1α2α3α1β曲面测地线三角形123ααα++=？
1111,+=π,βαβα为顶点处的有向外角满足为三角形的内角.
D
,是平面分段光滑闭曲线是平面单连通区域，设D L D ∂=.,,的正向方向是则行走总在观察者左侧如果区域行走时当观察者沿L D L n
∑
Γ
,,分段光滑闭曲线是空间是曲面的法向是空间单连通区域，设D n ∂=Γ∑ .
符合右手法则的正向与n Γ
D
1
A 2A 3A 4A 5A 6A [π,π],θθ∈-角点处相应的是指角点两侧的正向切向所夹的有向外角有向外角 0θ<π2π
α<<0θ>0πα<<有向外角: +1,i i i A ΓΓ=设,i i A w Γ在点的切向量为 1,i i A v +Γ在点的切向量为 ,,w v 到为方向则外角逆时针为 正,w v 到为方向则外角.
顺时针为负w v
w v 曲线的分段点称为曲线的角点.
,
,是分段光滑闭曲线是单连通区域设D ∂=Γ∑π],
2,0[,π∈-=αθα相应的内角
球面测地三角形
A
B C
观察大于
π.
:球面上测地三角形内角和
伪球面上的测地三角形
A B
C
观察伪小于
π.
:球面上测地三角形内角和
Gauss 公式
3
1,,d π.i D i D D K A α=∂=-∑⎰⎰设是曲面上一个测地三角形即是由三条测地线组成的则定理11α2
α3αGauss ,
d .K A 其中是曲面的曲率是曲面的面积元有三种特殊情形：
111(1),0,π.
K ααα=++=平面上则11121(3),,π.K R
ααα=++>球面上则111(2),1,π.
K ααα=-++<伪球面上则d D
D K A D ⎰⎰高斯曲率在曲面域上的面积分称为全曲率曲曲面域的或率积分.
球面三角学
111,π.E ααα++-=球面三球角学称为面角超中d .D
A δ=⎰⎰记,,
球面测地三角形的面积等于它的与半径平面角超方的乘积球2
:.R E σ=即解,,
π,2R NBC NBC 在半径为的球面上由三个大圆弧组成的球面三角形如果它的三个内角都是试求三角形例1的面积.ππ3π,22
E =⨯-=球面角超22π.2
NBC R E R σ==三角形的面积N B C NBC 由图可知,三角形的面积占整个
球面的八分之一:
221π4π.82
R R σ==
问题的延伸
1α2α3
α平面上测地多边形
平面上多边形
曲面上多边形
Gauss-Bonnet 公式
,,,i D S D D θ∂∂设是曲面上的一块单连通区域是分定理4段光滑闭曲线设是的顶点的外角则
d d 2π.g i D D
K A k s θ∂++=∑⎰⎰⎰曲面上多边形,d ,,d g K Gauss A k D s D ∂其中是曲面的曲率是面积元是沿的测地曲率是的边界曲线的弧长微元.
,D ∂如果是光注滑闭曲线记则d d 2π.g D D K A k s ∂+=⎰⎰
⎰
w
应用
:(),[0,],,
r r s s l S C D ∞Γ=∈设是曲面上闭曲线围成单连通区域121,,(),(,).
e e S v s v e βΓ=∠取是的正交标架设是沿的平行向量场D v 12()cos sin .
v s e e ββ=+1e 2e β
21121221()d 0(sin cos )cos sin .d d d d Dv s e e e e s s s s βωωββββ==-+++(),v s 因为的平行性21d ,,d d w s s
βω=-两边与做内积得21:d .βω=-即21d d g k s θω=+已知d d .
θβ=-1(,),r e θ=∠设d (d d )g k s βθΓΓ=-⎰
⎰2πd g k s Γ=-⎰()(0)d D
l K A ββ-=⎰⎰(0)()v v l 到的角度差θ
例子
解ππ{(,)|,02π},42D u v u v =≤≤≤≤参数区域21,K R =球面的高斯曲率π:(,){cos cos ,cos sin ,sin },(,0)4S r u v R u v u v u P =在球面上例求处0ππ(,0)(2π)44
(0)u w r u w w α==的坐标切向量沿纬圆平移一周后的向量与的夹角.d D K A α=⎰⎰y z x O v u π2(,){cos ,sin ,}42:1r v R v v Γ=纬圆,D 221d d D EG F u v R =-⎰⎰π2π22π2041cos d d R u u v R =⎰⎰2222I (d cos d ).R u u v =+π2π42πcos d u u =⎰π2π42π(sin )|u =2π2π.
=-,所围曲域取上半球冠
感谢大家的聆听！。