河北高二高中数学月考试卷带答案解析

河北高二高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.不等式的解集为( )
A．B．
C．D．
2.圆的圆心坐标是（）
A．B．C．D．
3.在极坐标系中与圆相切的一条直线的方程为（）
A．B．
C．D．
4.若，则的最小值是（）
A．B．C．D．
5.若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）
A．B．C．D．
6.下列在曲线上的点是（）
A．B．C．D．
7.点的直角坐标是，则点的极坐标为（）
A．B．
C．D．
8.设，且恒成立，则的最大值是（）
A．B．C．D．
9.已知函数，若不等式的解集为，则实数的值为（）A．B．C．D．
10.已知直线为参数）与曲线：交于两点，则（）
A．B．C．D．
11.已知函数是上的增函数，，是其图象上的两点，记不等式＜的解集，则
（）
A．B．
C．D．
12.在平面直角坐标系中，定义两点与之间的“直角距离”为．给出下列命题：
（1）若，，则的最大值为；
（2）若是圆上的任意两点，则的最大值为；
（3）若，点为直线上的动点，则的最小值为．
其中为真命题的是（）
A．（1）（2）（3）B．（2）C．（3）D．（2）（3）
二、填空题
1.参数方程的普通方程为_______________．
2.在极坐标系中，曲线与曲线交点的极坐标是．
3.若实数满足，则的最小值为．
4.若，且，则的最小值为__________．
三、解答题
1.（本小题满分10分）已知曲线：（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极
坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设为曲线上的点，点的极坐标为，求中点到曲线上的点的距离的最小值．
2.（本小题满分12分）设函数，．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）对任意恒有，求实数的取值范围．
3.（本小题满分12分）已知在直角坐标系中，圆锥曲线的参数方程为（为参数），定点
，是圆锥曲线的左、右焦点．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点且平行于直线的直线的极坐标方程；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中直线与圆锥曲线交于两点，求．
4.（本小题满分12分）设函数．
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若，使得，求实数的取值范围．
5.（本小题满分12分）已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是:（是参数）．
（Ⅰ）若直线与曲线相交于两点,且,试求实数的值；
（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求的取值范围．
6.（本小题满分12分）已知函数
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若．求证：．
河北高二高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.不等式的解集为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】原不等式等价于或或
或或或或或．故D正确．
【考点】找零点法去绝对值．
2.圆的圆心坐标是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】,
所以此圆的直角坐标方程为,整理可得．
所以圆心的直角坐标为即．
,,因为点在第四象限,所以．
所以圆心的极坐标为,即．故A正确．
【考点】极坐标与直角坐标间的互化．
3.在极坐标系中与圆相切的一条直线的方程为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】,所以圆的直角坐标方程为,即．
所以此圆的圆心为,半径为2．
,化为直角坐标为,即．轨迹为圆非直线;
,化为直角坐标为,即．轨迹为圆非直线;
化直角坐标为,此时圆心到直线的距离为2恰好等于半径,所以此直线与圆相切;
化直角坐标为,显然圆心在此直线上,所以此直线与圆相交．
综上可得C正确．
【考点】1极坐标与直角坐标间的互化;2直线与圆的位置关系．
4.若，则的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】,所以．
令,(且),,
当且时;当时．
所以函数在和上单调递减,在上单调递增．
所以当时取的最小值,即,
即．故A正确．
【考点】用导数求最值．
5.若直线的参数方程为，则直线的斜率为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】,将其代入整理可得直线的普通方程为．所以直线的斜率为．故D正确．
【考点】参数方程与普通方程间的互化．
6.下列在曲线上的点是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】,因为,所以曲线的普通方程为．显然B正确．
【考点】参数方程与普通方程间的互化．
7.点的直角坐标是，则点的极坐标为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】, ,因为点在第二象限,所以．
所以点的极坐标为．故C正确．
【考点】极坐标与直角坐标的互化．
8.设，且恒成立，则的最大值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为所以恒成立．
因为,所以,当且仅当
即时取．所以,因为,所以．所以的最大值为2．故A正确．
【考点】基本不等式．
9.已知函数，若不等式的解集为，则实数的值为（）A．B．C．D．
【答案】A
【解析】,
因为不等式的解集为,所以,所以．故A正确．
【考点】绝对值不等式．
10.已知直线为参数）与曲线：交于两点，则（）A．B．C．D．
【答案】D
【解析】将直线化为普通方程为,将曲线化为直角坐标方程为,即,所以曲线为以为圆心,半径的圆．
圆心到直线的距离．
根据,解得．故D正确．
【考点】1参数方程,极坐标方程与直角坐标方程间的互化;2直线与圆的相交弦．
11.已知函数是上的增函数，，是其图象上的两点，记不等式＜的解集，则
（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知,．
因为函数是上的增函数，所以,所以,
所以．故C正确．
【考点】1绝对值不等式;2函数的单调性．
12.在平面直角坐标系中，定义两点与之间的“直角距离”为．给出下列命题：
（1）若，，则的最大值为；
（2）若是圆上的任意两点，则的最大值为；
（3）若，点为直线上的动点，则的最小值为．
其中为真命题的是（）
A．（1）（2）（3）B．（2）C．（3）D．（2）（3）
【答案】D
【解析】（1）
,
因为,所以当时取得最大值为．所以（1）不正确;
（2）根据
可得,因为的最大距离为直径2,所以的最大值为,所以（2）正确;
（3）设,所以可知函数在和上均单调递减,
在上单调递增,所以当时取的最小值为．即的最小值为．所以（3）正确．
综上可得正确的为（2）（3）,故D正确．
【考点】1新概念;2绝对值问题．
二、填空题
1.参数方程的普通方程为_______________．
【答案】
【解析】,即,因为
,所以此参数方程的普通方程为,．
【考点】参数方程与普通方程间的互化．
2.在极坐标系中，曲线与曲线交点的极坐标是．
【答案】
【解析】,所以所求交点的极坐标为．
【考点】极坐标．
3.若实数满足，则的最小值为．
【答案】
【解析】, ,当且仅当时取等号．
【考点】柯西不等式．
4.若，且，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】令,即,
,当且仅当时取等号．
【考点】基本不等式．
三、解答题
1.（本小题满分10分）已知曲线：（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设为曲线上的点，点的极坐标为，求中点到曲线上的点的距离的最小值．
【答案】（Ⅰ）曲线普通方程为;曲线的直角坐标方程为;（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）根据可将曲线化为普通方程;根据,可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程．（Ⅱ）根据参数方程设,将点化直角坐标,根据中点坐标公式
可求得点的坐标,由点到线的距离公式可得到的距离根据化一公式将其化简,可
求得其最值．
试题解析：（Ⅰ）由，消去参数得曲线普通方程为；由，得
，故曲线的直角坐标方程为．
（Ⅱ）点的直角坐标为，设，故，
为直线，到的距离，从而当时，取得最小值．
【考点】1参数方程与普通方程间的互化,极坐标方程与直角坐标方程间的互化;2点到线的距离公式;3用三角函数
求最值．
2.（本小题满分12分）设函数，．
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）对任意恒有，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）或;（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）根据找零点法去绝对值将函数改写为分段函数,根据函数的单调性结合数形结合可求得不等式
的解集．（Ⅱ）根据公式可求得函数的最小值,使其最小值大于等于3即可求得的取值范围．试题解析：（Ⅰ）当时，
所以的解集为或
(2),由恒成立，有，解得．所以的取值范围是．
【考点】绝对值不等式．
3.（本小题满分12分）已知在直角坐标系中，圆锥曲线的参数方程为（为参数），定点
，是圆锥曲线的左、右焦点．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点且平行于直线的直线的极坐标方程；（Ⅱ）设（Ⅰ）中直线与圆锥曲线交于两点，求．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）根据将圆锥曲线化为普通方程,从而可得的坐标,根据斜率公式求直线
的斜率,因两直线平行,直线斜率与直线的斜率相等,根据点斜式可求得直线的方程．再根据
将其化为极坐标方程．（Ⅱ）将直线改写为过定点的参数方程,将其代入曲线的普通方程,可得关于参数的一元二次方程,从而可得两根之积,由的几何意义可得．
试题解析：（Ⅰ）圆锥曲线的参数方程为（为参数），所以普通方程为：
直线极坐标方程为：
（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数），代入椭圆方程得由的几
何意义可得
【考点】1参数方程与普通方程间的互化,极坐标方程与直角坐标方程间的互化;2直线参数方程中的几何意义．
4.（本小题满分12分）设函数．
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若，使得，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）根据找零点法将函数改写为分段函数,再解不等式即可．（Ⅱ），使得
,即,等价于．根据找零点法将函数改写为分段函数,根据函数的单调性求其最小值．
试题解析：（Ⅰ）当时，，，即，解得，又，∴；当时，，，即，解得，又，∴；当时，
，，即，解得，又，∴．综上，不等式的解集为．
（Ⅱ），∴．∵，使得
，∴，整理得：，解得：，因此的取值范围是．
【考点】找零点法去绝对值．
5.（本小题满分12分）已知曲线C的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程是:（是参数）．
（Ⅰ）若直线与曲线相交于两点,且,试求实数的值；
（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）或;（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程．将直线的参数方程代入曲线的普通方程,可得关于参数的一元二次方程,从而可得两根之和,两根之积,由的几何意义可得
．（Ⅱ）曲线的方程化为参数方程,用三角函数求其最值．
试题解析：（Ⅰ）曲线的极坐标方程是化为直角坐标方程为:
直线的直角坐标方程为:
圆心到直线l的距离（弦心距）圆心到直线的距离为：
或
解法二:把（是参数）代入方程, 得,
或
（Ⅱ）曲线的方程可化为，其参数方程为
为曲线上任意一点，
的取值范围是
【考点】1参数方程与普通方程间的互化,极坐标方程与直角坐标方程间的互化;2直线参数方程中的几何意义;3用三角函数求最值．
6.（本小题满分12分）已知函数
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若．求证：．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）详见解析．
【解析】（Ⅰ）根据找零点法将函数改写为分段函数,再解不等式即可．（Ⅱ）要证，即证,即证．可用作差法比较大小．
试题解析：（Ⅰ），
当时，由，解得；
当时，不成立；
当时，由，解得．所以不等式的解集为．
（Ⅱ），即．因为，，所以
，
所以．故所证不等式成立．
【考点】1找零点法去绝对值,平方法去绝对值;2作差法比较大小．。