在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题

在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题。

我们都知道，将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。

如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说，糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液=糖+水）二者重量的比值决定的，这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。

类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者重量的比值就叫酒精含量。

溶质、溶剂、溶液及溶质含量有如下基本关系：
溶液重量=溶质重量+溶剂重量，
溶质含量=溶质重量÷溶液重量，
溶液重量=溶质重量÷溶质含量，
溶质重量=溶液重量×溶质含量。

溶质含量通常用百分数表示。

例如，10克白糖溶于90克水中，含糖量（溶
例5有含糖量为7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多少克糖？
分析与解：在600克含糖量为7％的糖水中，有糖（溶质）600×7％=42（克）。

设再加x克糖，可使其含糖量加大到10％。

此时溶质有（42+x）克，溶液有（600+x）克，根据溶质含量可得方程
需要再加入20克糖
例6 仓库运来含水量为90％的一种水果100千克，一星期后再测，发现含水量降低到80％。

现在这批水果的总重量是多少千克？
分析与解：可将水果分成“水”和“果”两部分。

一开始，果重
100×（1-90％）=10（千克）。

一星期后含水量变为80％，“果”与“水”的比值为
因为“果”始终是10千克，可求出此时“水”的重量为
所以总重量是10+40=50（千克）。

1.某修路队修一条路，5天完成了全长的20％。

照此计算，完成任务还需多少天？
2.服装厂一车间人数占全厂的25％，二车间人数比一车间少20％，三车间人数比二车间多30％。

已知三车间有156人，全厂有多少人？
3.有三块地，第二块地的面积是第一块地的80％，第三块地的面积比第二块多20％，三块地共69公顷，求三块地各多少公顷。

4.某工厂四个季度的全勤率分别为90％，86％，92％，94％。

问：全年全勤的人至少占百分之几？
5.有酒精含量为30％的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成酒精含量为24％的溶液，如果再加入同样多的水，那么酒精含量将变为多少？
6.配制硫酸含量为20％的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量为18％和23％的硫酸溶液各多少克？
7.有一堆含水量14.5％的煤，经过一段时间的风干，含水量降为10％，现在这堆煤的重量是原来的百分之几？
答案与提示
练习9
1.20天。

解：5÷20％-5=20（天）。

2.600人。

解：156÷[(1-20％) × (1+30％)]÷25％=600（人）。

3.第一、二、三块依次为25，20和24公顷。

解：第一块地的面积为69÷[1+80％+80％×(1+20％)]=25（公顷），第二块地为25×80％=20（公顷），第三块地为69-25=24（公顷）。

4.62％。

解；设全厂有100人，则四个季度没有全勤的共有10+14+8+6=38（人次）。

当四个季度没有全勤的人互不相同时，全年没有全勤的人最多，为38人，所以至少有100-36=62（人）全勤，即全年全勤率至少为62％。

5.20％。

解：设酒精含量为30％的酒精溶液有100克，则溶质为30克。

稀释成酒精含量为24％的酒精溶液需加水30÷24％-100=25（克）。

若再加入25克水，则酒精含量变为
30÷(100+25+25)=20％。

6.600克，400克。

提示：设需要18％的溶液x克，则需要23％的溶液(100-x)克。

根据溶质重量可得
x×18％+(1000-x)×23％=1000×20％。

解得x=600。

7.95％。

解：设原有100吨煤，则有水份14.5吨。

又设风干掉水份x吨，则由含
现在煤的重量为100-5=95（吨），是原来的95％
第11讲圆与扇形
五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的相关问题，这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。

圆的面积=πr2，
圆的周长=2πr，
本书中如无特殊说明，圆周率都取π=3.14。

例1如下图所示，200米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆。

已知每条跑道宽1.22米，那么外道的起点在内道起点前面多少米？（精确到0.01米）
分析与解：半径越大，周长越长，所以外道的弯道比内道的弯道长，要保证内、外道的人跑的距离相等，外道的起点就要向前移，移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差。

虽然弯道的各个半径都不知道，然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽。

设外弯道中心线的半径为R，内弯道中心线的半径为r，则两个弯道的长度之差为
πR-πr＝π（R-r）
＝3.14×1.22≈3.83（米）。

即外道的起点在内道起点前面3.83米。

例2有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆（如左下图），此时橡皮筋的长度是多少厘米？
分析与解：由右上图知，绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和。

将图中与BC弧类似的6个弧所对的圆心角平移拼补，得到6个角的和是360°，所以BC弧所对的圆心角是60°，6个BC弧等于直径5厘米的圆的周长。

而线段AB等于塑料管的直径，由此知绳长=5×6＋5×3.14＝45.7（厘米）。

例3左下图中四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。

分析与解：直接套用公式，正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。

容易看出，正方形中的空白部分是4个四分之一圆，利用五年级学过的割补法，可以得到右上图。

右上图的阴影部分的面积与原图相同，等于一个正方形与4个半圆（即2个圆）的面积之和，为（2r）2＋πr2×2=102＋3.14×50≈257（厘米2）。

例4 草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。

问：这只羊能够活动的范围有多大？
分析与解：如右上图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，
所以羊活动的范围是
例5 右图中阴影部分的面积是2.28厘米2，求扇形的半径。

分析与解：阴影部分是扇形与等腰直角三角形相差的部分。

所以，扇形的半径是4厘米。

例6 右图中的圆是以O为圆心、径是10厘米的圆，求阴影部分的面积。

分析与解：解此题的基本思路是：
从这个基本思路可以看出：要想得到阴影部分S1的面积，就必须想办法求出S2和S3的面积。

S3的面积又要用下图的基本思路求：
现在就可以求出S3的面积，进而求出阴影部分的面积了。

S3=S4-S5=50π-100（厘米2），
S1=S2-S3=50π-（50π-100）=100（厘米2）。

练习11
1.直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边BC长10厘米。

如下图所示，三角形由位置Ⅰ绕A点转动，到达位置Ⅱ，此时B，C点分别到达B1，C1点；再绕B1点转动，到达位置Ⅲ，此时A，C1点分别到达A2，C2点。

求C点经C1到C2走过的路径的长。

2.下页左上图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是多少厘米？
3.一只狗被拴在一个边长为3米的等边三角形建筑物的墙角上（见右上图），绳长是4米，求狗所能到的地方的总面积。

5.右上图是一个400米的跑道，两头是两个半圆，每一半圆的弧长是100米，中间是一个长方形，长为100米。

求两个半圆的面积之和与跑道所围成的面积之比。

6.左下图中，正方形周长是圆环周长的2倍，当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，这个圆环转了几圈？
7.右上图中，圆的半径是4厘米，阴影部分的面积是14π厘米2，求图中三角形的面积。

答案与提示
练习11
1.68厘米。

2.62.8厘米。

解：大圆直径是6厘米，小圆直径是2厘米。

阴影部分周长是6π+2π×7=62.8（厘米）。

3.43.96米2。

解：如下页右上图所示，可分为半径为4米、圆心角为300°的扇形与两个半径为1米、圆心角为120°的扇形。

面积为
4.60°。

解：设∠CAB为n度，半圆ADB的半径为r。

由题意有
解得n=60。

5.1∶3。

6.3圈。

7.8厘米2。

解：圆的面积是42π=16π（厘米2），空白扇形面积占圆面积的1-
的等腰直角三角形，面积为4×4÷2=8（厘米2）。

第12讲圆柱与圆锥
这一讲学习与圆柱体和圆锥体有关的体积、表面积等问题。

例1如右图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？
分析与解：本题的关键是要找出容器上半部分的体积与下半部分的关系。

这表明容器可以装8份5升水，已经装了1份，还能装水5×（8－1）=35（升）。

例2 用一块长60厘米、宽40厘米的铁皮做圆柱形水桶的侧面，另找一块铁皮做底。

这样做成的铁桶的容积最大是多少？（精确到1厘米3）
分析与解：铁桶有以60厘米的边为高和以40厘米的边为高两种做法。

时桶的容积是
桶的容积是
例3有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30分米3。

现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见右图）。

问：瓶内现有饮料多少立方分米？
分析与解：瓶子的形状不规则，并且不知道底面的半径，似乎无法计算。

比较一下正放与倒放，因为瓶子的容积不变，装的饮料的体积不变，所以空余部分的体积应当相同。

将正放与倒放的空余部分变换一下位置，可以看出饮料瓶的容积应当等于底面积不变，高为20＋5=25（厘米）
例4皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。

皮球的直径为15厘米，水桶
中后，水桶中的水面升高了多少厘米？
解：皮球的体积是
水面升高的高度是450π÷900π＝0.5（厘米）。

答：水面升高了0.5厘米。

例5有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米（见右图）。

如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？
分析与解：需要涂漆的面有圆柱体的下底面、外侧面、上面的圆环、圆孔的侧面、圆孔的底面，其中上面的圆环与圆孔的底面可以拼成一个与圆柱体的底面相同的圆。

涂漆面积为
例6将一个底面半径为20厘米、高27厘米的圆锥形铝块，和一个底面半径为30厘米、高20厘米的圆柱形铝块，熔铸成一底面半径为15厘米的圆柱形铝块，求这个圆柱形铝块的高。

解：被熔的圆锥形铝块的体积：
被熔的圆柱形铝块的体积：π×302×20=18000π（厘米3）。

熔成的圆柱形铝块的高：（3600π＋18000π）÷（π×152） =21600π÷225π=96（厘米）。

答：熔铸成的圆柱体高96厘米。

练习12
1.右图是一顶帽子。

帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个圆环，用白布做。

如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是a厘米，那么哪种颜色的布用得多？
2.一个底面直径为20厘米的圆柱形木桶里装有水，水中淹没着一个底面直径为18厘米、高为20厘米的铁质圆锥体。

当圆锥体取出后，桶内水面将降低多少？
3.用直径为40厘米的圆钢锻造长300厘米、宽100厘米、厚2厘米的长方形钢板，应截取多长的一段圆钢？
容器高度的几分之几？
5.右上图是一个机器零件，其下部是棱长20厘米的正方体，上部是圆柱形的一半。

求它的表面积与体积。

6.有两个盛满水的底面半径为10厘米、高为30厘米的圆锥形容器，将它们盛的水全部倒入一个底面半径为20厘米的圆柱形容器内，求水深。

答案与提示
练习12
1.一样多。

2.5.4厘米。

3.47.8厘米。

解：（300×100×2）÷（3.14×202）≈47.8（厘米）。

解：设水面高度是容器高度的x倍，则水面半径也是容器底面半径的x倍。

根据题意得到
5.表面积2942厘米2，体积11140厘米3。

6.5厘米。

第13讲立体图形（一）
我们学过的立体图形有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。

这一讲将通过长方体、正方体及其组合图形，讲解有关的计数问题。

例1左下图中共有多少个面？多少条棱？
分析与解：如右上图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形。

前、后看各有1个面，左面看有1个面，右面看有2个面，上面看有2个面，下面看有1个面。

所以共有
1＋1+1+2＋2＋1= 8（个）面。

前后方向的棱有6条，左右方向的棱有6条，上下方向的棱也有6条，所以共有棱6＋6＋6=18（条）。

例2右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积。

分析与解：如果一面一面去数，那么虽然可以得到答案，但太麻烦，而且容易出错。

仔细观察会发现，这个立体的上面与下面、左面与右面、前面与后面的面积分别相等。

如上图所示，可求得表面积为
（9＋7＋8）×2=48（厘米2）。

例3右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？
分析与解：正方体只可能有两种：
由1个小正方体构成的正方体，有22个；
由8个小正方体构成的2×2×2的正方体，有4个。

所以共有正方体 22＋4=26（个）。

由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13个，左右位有13个，前后位有14个，共有13＋13＋14=40（个）。

例4有一个棱长为5厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的完全相同的孔（见下页左上图），求这个立体图形的表面积。

分析与解：由于正方体中间被穿了孔，表面积不好计算。

我们可以将这个立体图形看成由8个棱长为2厘米的正方体和12个棱长为1厘米的立方体粘合而成。

如右上图所示，八个棱长为2厘米的正方体分别在8个顶角，12个棱长1厘米的正方体分别在12条棱的中间。

由于每个小正方体都有2个面分别粘接两个较大正方体，相对于不粘接，减少了表面积4厘米2，所以总的表面积为
（2×2×6）×8＋（1×1×6）×12-4×12=216（厘米2）。

例5右图是由120块小立方体构成的4×5×6的立方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面三面被涂成红色的小立方体各有多少块？
分析与解：一个长方体有8个角、12条棱、6个面，角上的8个小立方体三面涂有红色，在棱上而不在角上的小立方体两面涂有红色，在面上而不在棱上的小立方体一面涂有红色，不在面上的小立方体没有涂上红色。

根据上面的分析得到：
三面涂有红色的小立方体有8块；
两面涂有红色的小立方体，因为每条棱上要去掉两头的2块，故有［（4-2）＋（5-2）+（6-2）］×4=36（块）；
一面涂有红色的小立方体，因为每个面上要去掉周围一圈的小立方体，故有
［（4-2）×（5-2）＋（4-2）×（6-2）＋（5-2）×（6-2）］×2＝ 52（块）。

一般地，当a，b，c都不小于2时，对于a×b×c的立方体：
三面涂有红色的小立方体有8块；
两面涂有红色的小立方体的块数是：
［（a-2）＋（b-2）＋（c-2）］×4；
一面涂有红色的小立方体的块数是：
［（a-2）×（b-2）＋（a-2）×（c-2）＋（b-2）×（c-2）］×2；
没有被涂上红色的小立方体的块数是：
（a-2）×（b-2）×（c-2）。

例6 给一个立方体的每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种，每种颜色涂两个面，共有多少种不同涂法？（两种涂法，经过翻动能使各种颜色的位置相同，认为是相同的涂法。

）分析与解：根据两个红色面相对还是相邻可分为两情况。

（1）两个红色面相对。

此时，有蓝蓝相对和蓝蓝相邻两种涂法。

（2）两个红色面相邻。

此时，除蓝蓝相对和黄黄相对两种涂法外，当蓝黄相对时，按右图摆放，底面有蓝或黄两种涂法。

所以共有6种不同涂法。

练习13
1.下页左上图中共有多少个面？多少条棱？
2.有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色。

求被涂成红色的表面积。

3.有一个正方体，红、黄、蓝色的面各有两面。

在这个正方体中，有一些顶点是三种颜色都不同的面的交点，这种顶点最多有几个？最少有几个？
4.将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为1厘米3的小正方体，其中一点红色都没有的小立方体只有3块。

求原来长方体的体积。

5.将一个5×5×5的立方体表面全部涂上红色，再将其分割成1×1×1的小立方体，取出全部至少有一个面是红色的小立方体，组成表面全部是红色的长方体。

那么，可组成的长方体的体积最大是多少？
6.在边长为3分米的立方体木块的每个面的中心打一个直穿木块的洞，洞口呈边长为1分米的正方形（见左下图）。

求挖洞后木块的体积及表面积。

7.把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形（右上图）。

用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？
答案与提示
练习13
1.9个面，21条棱。

2.56米2。

解：4×4+（1+2+3+4）×4=56（米2）。

3.8个；2个。

提示：颜色相同的面两两相对时有8个；
颜色相同的面两两相邻时有2个。

4.45厘米3。

解：由3块小立方体构成的长方体体积为1×1×3厘米3，故原来长方体的体积为
（1+2）×（1+2）×（3+2）=45（厘米3）。

5.96。

解：至少有一个面是红色的小立方体有53-33=98（个），其中三面红的8个，两面红的36个，一面红的54个。

可以组成4×4×6的表面全是红色的长方体，体积是4×4×6=96。

6.20分米3；72分米3。

7.22个。

解：一个面最多有5个方格可染成红色（见左下图）。

因为染有5个红色方格的面不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成5个红色方格。

其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染4个红色方格（见上中图）。

因为染有4个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成4个红色方格。

最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染2个红色方格（见右上图）。

所以，红色方格最多有5×2+4×2+2×2=22（个）。

第14讲立体图形（二）
本讲主要讲长方体和立方体的展开图，各个面的相对位置，提高同学们的看图能力和空间想象能力。

例1在下面的三个图中，有一个不是右面正四面体的展开图，请将它找出来。

分析与解：观察四面体容易看出，每个顶点都是三个面的交点，即四面体的每个顶点只与三个面相连，而在图2中，“中心点”与四个面相连，所以图2不是正四面体的展开图。

例2在下面的四个展开图中，哪一个是右图所示立方体的展开图？
分析与解：观察立方体图形，A，B，C三个面两两相邻，即三个面有一个公共顶点。

再看四个展开图，图1中A与C不相邻，是相对的两个面，不合题意；图3中C与B是相对的两个面，也不合题意；图2、图4中A，B，C三个面都相邻，还需进步判别。

我们看下面的两个立方体图形：
这两个图虽然相似，但是A，B，C三个面的相对位置不同。

我们可以借助一个现成工具——右手，帮助判断三个面的相对位置。

伸出右手，让除大姆指外的四指从A向B弯曲，此时，左上图中C位于大姆指指向的方向，右上图中C位于大姆指指向的相反方向。

所以两个图A，B，C三个面的相对位置不同。

用这种方法判断三个面相对位置的方法称为右手方法。

（这也是建立空间坐标系的方法）。

用右手方法很容易判断出，图4是所求的展开图。

例3右图是一个立方体纸盒的展开图，当折叠成纸盒时，1 点与哪些点重合？
分析与解：直接想象将展开图折叠成纸盒时的情景，也可以得到答案。

现在我们从另一个角度来分析。

在左下图所示的立方体上观察8个顶点，其中与A点不在一个
表面上的只有B点，也就是说，沿着表面走，这两个点的路程最远。

在展开图上，这两个点恰好是相邻两个小正方形所构成的长方形的对角线上的两个端点。

在上页右下图中，1，2，6点都距9点最远，也就是说，1，2，6点都与9点不在一个表面上。

而与9点不在一个表面上的只有一个点，所以1，2，6点是同一个点，即折叠成纸盒时，1，2，6点重合。

例4有两块六个面上分别写着1～6的相同的数字积木，摆放如下图。

在这两块积木中，相对两个面上的数字的乘积最小是多少？
分析与解：由两图看出，5与1，3，4，6都相邻，所以5的对面只能是2；对右上图使用右手方法，四指由5向4弯曲，大姆指指向6，将5，4，6的这个关系移到左上图，立刻得到1的对面是4，3的对面是6。

5×2＝10，1×4＝4，3×6＝18，
相对两个面上的数字的乘积最小是4。

例5 有五颗相同的骰子放成一排（如下图），五颗骰子底面的点数之和是多少？
分析与解：五颗骰子有三颗露出了5，并且5和1，2，3，6相邻，所以5的对面是4；2与1，3，5相邻，因为5与4相对，故2也与4相邻，所以2的对面是6；剩下的1与3必相对。

五颗骰子底面的点数从左至右依次是4，6，3，1，4，其和为4＋6＋3＋1＋4＝18。

例6用一平面去截一个立方体，把立方体截成两个部分，截口是一个矩形的。

问：这两个部分各是几个面围成的？
分析与解：截的方法有多种，所以一定要分情况讨论。

截口通过1条棱是1种情况，截口通过2条棱是1种情况，截口不通过任何棱有2种情况。

所以共有下图所示的四种可能。

练习14
1.在下列各图中，哪些是正方体的展开图？
2.将左下图沿虚线折成一个立方体，它的相交于一个顶点处的三个面上的数字之和的最大值是多少？最小值是多少？
3.有四枚相同的骰子，展开图如右上图（1）。

问：在右上图（2）中，从上往下数第二、三、四枚骰子的上顶面的点数之和是多少？
4.将一个立方体纸盒沿棱剪开，使之展开成右图所示的图形，一共要剪开几条棱？
5.左下图是图（1）（2）（3）中哪个正方体的展开图？
6.在一个立方体的六个面上分别写有A，B，C，D，E五个字母，其中两个面写有相同的字母。

下图是它的三个视图。

问：哪个字母被写了两遍？
7.右图中第1格内放着一个立方体木块，木块六个面上分别写着A，B，C，D，E，F六个字母，其中A 与D，B与E，C与F相对。

如果将木块沿着图中方格滚动，那么当木块滚动到第21个格时，木块向上的面写的是哪个字母？
答案与提示练习14
1.（2）（3）（6）（8）（9）（12）（14）（16）（17）（19）（20）共11个。

2.13；8。

提示：最大是6+4+3=13；最小是1+2+5=8。

3.12。

提示：用右手方法可得，第二、三、四枚骰子上顶面的点数依次为3，6和1。

4.7条。

提示：每剪开一条棱，展开图的周长就会增加2条棱长。

展开图的周长是14条棱长，所以剪开了14÷2=7（条）棱。

注：沿棱剪，无论剪成哪种连通的展开图，都要剪开7条棱。

也就是说，无论哪种展开图，周长都等于14条棱长。

5.图（1）。

提示：图（2）正面有两个相连的阴影的正方形，展开图中找不到，所以不是图（2）；图（3）正面与右侧面各有两个阴影正方形，这四个阴影正方形没有相邻的边，而展开图中有两个阴影正方形的面，折叠后有两个阴影正方形相邻，所以不是图（3）。

6.C。

解：假设C只写了一遍。

因为C与A，B，D，E都相邻，所以被写了两遍的字母在C的对面。

与C相邻的四个字母的相互位置是确定的。

图（2）（3）都有D，C，用右手方法判断，图（2）与图（3）不符。

这个矛盾的出现，是因为假设C只写了一遍，所以C写了两遍。

7.A。

提示：木块沿直线滚动4格，与原来的状态相同，所以木块到第5，9，13，17，21格时，与在第1格的状态相同。

第15讲棋盘的覆盖
同学们会下棋吗？下棋就要有棋盘，下面是中国象棋的棋盘（图1），围棋棋盘（图2）和国际象棋棋盘（图3）。

用某种形状的卡片，按一定要求将棋盘覆盖住，就是棋盘的覆盖问题。

实际上，这里并不要求一定是某种棋盘，只要是有关覆盖若干行、若干列的方格网的问题，就是棋盘的覆盖问题。

棋盘的覆盖问题可以分为两类：一是能不能覆盖的问题，二是有多少种不同的覆盖方法问题。

例1要不重叠地刚好覆盖住一个正方形，最少要用多少个右图所示的图形？
分析与解：因为图形由3个小方格构成，所以要拼成的正方形内所含的小方格数应是3的倍数，从而正方形的边长应是3的倍数。

经试验，不可能拼成边长为3的正方形。

所以拼成的正方形的边长最少是6（见右图），需要用题目所示的图形
36÷3= 12（个）。

分析与解：在五年级学习“奇偶性”时已经讲过类似问题。

左上图共有34个小方格，17个1×2的卡片也有34个小方格，好象能覆盖住。

我们将左上图黑白相间染色，得到右上图。

细心观察会发现，右上图中黑格有16个，白格有18个，而1×2的卡片每次只能盖住一个黑格与一个白格，所以17个1×2的卡片应当盖住黑、白格各17个，不可能盖住左上图。

例3 下图的七种图形都是由4个相同的小方格组成的。

现在要用这些图形拼成一个4×7的长方形（可以重复使用某些图形），那么，最多可以用上几种不同的图形？
分析与解：先从简单的情形开始考虑。

显然，只用1种图形是可以的，例如用7个（7）；用2种图形也没问题，例如用1个（7），6个（1）。

经试验，用6种图形也可以拼成4×7的长方形（见下图）。

能否将7种图形都用上呢？7个图形共有4×7=28（个）小方格，从小方格的数量看，如果每种图形用1个，那么有可能拼成4×7的长方形。

但事实上却拼不成。

为了说明，我们将4×7的长方形黑、白相间染色（见右图），图中黑、白格各有14个。

在7种图形中，除第（2）种外，每种图形都覆盖黑、白格各2个，共覆盖黑、白格各12个，还剩下黑、白格各2个。

第（2）种图形只能覆盖3个黑格1个白格或3个白格1个黑格，因此不可能覆盖住另6种图形覆盖后剩下的2个黑格2个白格。

综上所述，要拼成 4×7的长方形，最多能用上 6种图形。

例4 用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一个11×11的大正方形，最少要用1×1的正方形多少个？
分析与解：用3个2×2正方形和2个3×3正方形可以拼成1个5×6的长方形（见左下图）。

用4个5×6的长方形和1 个 1×1的正方形可以拼成 1个11×11的大正形（见右下图）。

上面说明用1个1×1的正方形和若干2×2，3×3的正方形可以拼成 11×11的大正方形。

那么，不用1×1的正方形，只用2×2，3×3的正方形可以拼成11×11的正方形吗？
将11×11的方格网每隔两行染黑一行（见下页右上图）。

将2×2或3×3的正方形沿格线放置在任何位置，都将覆盖住偶数个白格，所以无论放置多少个2×2或3×3的正方形，覆盖住的白格数量总是偶数个。

但是，右图中的白格有11×7=77（个），是奇数，矛盾。

由此得到，不用1×1的正方形不可能拼成11×11的正方形。