长沙市湖南师大附中八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试题(答案解析)

一、选择题
1．如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，,AD AC AE CD =⊥于点E ，点F 是BC 的中点，若10BD =，则EF 的长为（ ）
A ．8
B ．6
C ．5
D ．4
2．如图，Rt ABC ∆中，90BAC AB AC AD BC ︒∠==⊥，，于点D ABC ∠，的平分线分别交AC AD 、于E F 、两点，M 为EF 的中点，AM 的延长线交BC 于点N ，连DM ，下列结论：①DF DN =； ②DMN ∆为等腰三角形；③DM 平分BMN ∠；④AE NC =，其中正确结论的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．在平面直角坐标系中，长方形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点，若E 为x 轴上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标（ ）
A ．（一3，0）
B ．（3，0）
C ．（0，0）
D ．（1，0） 4．下列命题是真命题的是（ ）
A ．三角形的三条高线相交于三角形内一点
B ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C ．对于所有自然数n ，237n n -+的值都是质数
D ．三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等
5．已知平行四边形ABCD 的一边长为5，则对角线AC ，BD 的长可取下列数据中的（ ）
A ．2和4
B ．3和4
C ．4和5
D ．5和6
6．如图，点D 和点E 分别是BC 和BA 的中点，已知AC ＝4，则DE 为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
7．下列命题中，正确的命题是（ ）
A ．菱形的对角线互相平分且相等
B ．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是
矩形
C ．矩形的对角线互相垂直平分
D ．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形
8．如图，在Rt ABC 中，90C =∠，30A ∠=，D 是 AC 边的中点，DE AC ⊥于点D ，交AB 于点E ，若83AC =，则DE 的长是（ ）
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
9．如图，已知在正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于点G ，连接DG ．现有如下4个结论：①AG ＝GF ；②AG 与EC 一定不相等；③45GDE ∠=︒；④BGE △的周长是一个定值．其中正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．如图，Rt Rt ABC BAD △≌△，BC 、AD 交于点E ，M 为斜边的中点，若CMD α∠=，AEB β∠=．则α和β之间的数量关系为（ ）
A ．2180βα-=︒
B ．60βα-=︒
C ．180αβ+=︒
D ．2βα=
11．如图，已知平行四边形ABCD 中，4B A ∠=∠，则C ∠=（ ）
A ．18°
B ．36°
C ．72°
D ．144°
12．如图在ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，AOD △与AOB 的周长相差3，8AB =，那么AD 为（ ）
A ．5
B ．8
C ．11或5
D ．11或14
二、填空题
13．如图，平行四边形ABCD 中，CE AD ⊥于点E ，点F 为边AB 的中点，连接EF ，CF ，若12
AD CD =，38CEF ∠=︒，则AFE ∠=_____________．
14．如图，在平行四边形ABCD 中，10,AB BAD =∠的平分线与BC 的延长线交于点E ､与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，ADC ∠的平分线交AB 于点M ，交AE 于点N ，连接DE ．若6DM =，则DE 的长为_______．
15．如图所示，在平行四边形ABCD 中2=AD AB ，CE 平分BCD ∠交AD 边于点E ，且4AE =，则AB 的长为______．
16．已知梯形的上底长是5cm ，中位线长是7cm ，那么下底长是_____cm ． 17．如图，将长方形纸片ABCD 沿着对角线BD 翻折，点C 落在点C '处，BC '与AD 交于点E ．若20AD cm =，5AB cm =，则DE =_______cm ．
18．已知：如图，把长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使D C 、分别落在D C ''、的位置，若65EFB ︒∠=，则AED '∠的度数为_________．
19．在长方形ABCD 中，52
AB =，4BC =，CE CF =，CF 平分ECD ∠，则BE =_________．
20．如图，在正方形ABCD 中，6，E 是CD 上一点，BE 交AC 于点F ，连接DF ．过点D 且垂直于DF 的直线，与过点A 且垂直于AC 的直线交于点G ．∠ABE 的平分线交AD
于点M ，当满足四边形AGDF 面积2BCE S =△时，线段AM 的长度是_______．
三、解答题
21．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AE ，AF 分别为BC ，CD 上的高，且40EAF ∠=︒．求平行四边形ABCD 各内角的度数．
22．如图，在正方形ABCD 中，点P 是对角线AC 上的一点，点E 在BA 的延长线上，且PB PE =，连结DE ．
（1）求证：PD PE =．
（2）试判断DE 和BP 的数量关系，并说明理由．
23．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别为OA 、OC 的中点，延长BM 至点E ，使EM BM =，连接DE ．
（1）求证：AMB CND △≌△；
（2）若2BD AB =，且3AM =，4DN =，求四边形DEMN 的面积．
24．（问题提出）
小颖发现某座房屋的侧面是一种特殊的五边形，她决定好好研究一下它的特点，并计算它的面积．
（问题探究）
定义：如图()1，我们把满足,,90AB AE CB DE C D ︒
==∠=∠=的五边形ABCDE 叫做屋形．其中,AB AE 叫做脊，,BC DE 叫做腰，CD 叫做底．
性质：
边：屋形的腰相等，脊相等；
角：①屋形腰与底的夹角相等；②脊与腰的夹角相等；
对角线：①
②屋形有两组对角线分别相等，且其中一组互相平分．
对称性：屋形是以底的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；
（1）请直接填写屋形对角线的性质①；
（2）请你根据定义证明“屋形的脊与腰的夹角相等”；
己知：如图，五边形ABCDE 是屋形．
求证：
证明：
（问题解决）
（3）如图，在屋形ABCDE 中，若5,8,6AB BC CD ===，试求出屋形ABCDE 的面积．
25．如图，在中，，D 为的中点，，，连接交
于点O ．
（1）证明：四边形
为菱形； （2）若，，求菱形的高．
26．在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，以AC 为一边向外作等边三角形ACD ，点E 为AB 的中点，连接DE ．
（1）证明：//DE CB ；
（2）探索AC 与AB 满足怎样的数量关系时，四边形DCBE 是平行四边形，并说明理由．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
首先根据
AD AC =可得△ACD 为等腰三角形，再由AE CD ⊥结合“三线合一”性质可得E 为CD 的中点，从而得到EF 为△CBD 的中位线，最终根据中位线定理求解即可． 【详解】
∵AD AC =，
∴△ACD 为等腰三角形，
∵AE CD ⊥，
∴E 为CD 的中点，（三线合一）
又∵点F 是BC 的中点，
∴EF 为△CBD 的中位线， ∴152
EF BD =
=， 故选：C ．
【点睛】 本题考查等腰三角形三线合一的性质以及中位线的性质，准确判断出中位线是解题关键． 2．D
解析：D
【分析】
求出BD AD =，DBF DAN ∠=∠，BDF ADN ∠=∠，证明()FBD NAD ASA ≅即可判断①，证明()AFB CNA ASA ≅，推出CN AF AE ==即可判断④，证明()ABM NBM ASA ≅，得AM MN =，由直角三角形斜边的中线的性质推出
AM DM MN ==，ADM ABM ∠=∠，即可判断③，根据三角形外角性质求出DNM ∠，证明MDN DNM ∠=∠，即可判断②．
【详解】
解：∵90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，
∴45ABC C ∠=∠=︒，AD BD CD ==，90ADN ADB ∠=∠=︒，
∴45BAD CAD ∠=︒=∠，
∵BE 平分ABC ∠， ∴122.52
ABE CBE ABC ∠=∠=∠=︒， ∴9022.567.5BFD AEB ∠=∠=︒-︒=︒，
∴67.5AFE BFD AEB ∠=∠=∠=︒，
∴AF AE =，AM BE ⊥，
∴90AMF AME ∠=∠=︒，
∴9067.522.5DAN MBN ∠=︒-︒=︒=∠，
在FBD 和NAD 中，
FBD DAN BD AD
BDF ADN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴()FBD NAD ASA ≅，
∴DF DN =，故①正确；
在AFB △和CNA 中，
4522.5BAF C AB AC
ABF CAN ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
，
∴()AFB CNA ASA ≅，
∴AF CN =，
∵AF AE =，
∴AE CN =，故④正确；
在ABM 和NBM 中，
90ABM NBM BM BM
AMB NMB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
， ∴()ABM NBM ASA ≅，
∴AM MN =，
在Rt ADN △中，AM DM MN ==，
∴22.5DAN ADM ABM ∠=∠=︒=∠，
∴22.522.545DMN DAN ADM ∠=∠+∠=︒+︒=︒，
∴DM 平分BMN ∠，故③正确；
∵4522.567.5DNA C CAN ∠=∠+∠=︒+︒=︒，
∴1804567.567.5MDN DNM ∠=︒-︒-︒=︒=∠，
∴DM MN =，
∴DMN 是等腰三角形，故②正确．
故选：D ．
【点睛】 本题考查了全等三角形的性质与判断，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握这些性质定理进行证明求解．
3．D
解析：D
【分析】
由于C 、D 是定点，则CD 是定值，如果△CDE 的周长最小，即DE ＋CE 有最小值．为此，作点D 关于x 轴的对称点D′，当点E 在线段CD′上时，△CDE 的周长最小．
【详解】
如图，作点D 关于x 轴的对称点D′，连接CD′与x 轴交于点E ，连接DE ．
若在边OA 上任取点E′与点E 不重合，连接CE′、DE′、D′E′
由DE′＋CE′＝D′E′＋CE′＞CD′＝D′E ＋CE ＝DE ＋CE ，
∴△CDE 的周长最小．
∵OB ＝4，D 为边OB 的中点，
∴OD ＝2，
∴D （0，2），
∵在长方形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为OB 的中点，
∴BC ＝3，D′O ＝DO ＝2，D′B ＝6，
∵OE ∥BC ，
∴Rt △D′OE ∽Rt △D′BC ， ∴OE D O BC D B
=''， 即：
6
23OE =，即：OE ＝1， ∴点E 的坐标为（1，0）
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查轴对称−−最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是：两点之间线段最短．
4．D
解析：D
【分析】
根据钝角三角形的高的交点在三角形外部可对A 进行判断；根据平行四边形的判定对B 进行判断；取n=6可对C 进行判断；根据三角形全等的知识可对D 进行判断．
【详解】
解：A 、钝角三角形的三条高线相交于三角形外一点，所以A 选项错误；
B 、一组对边平行，另一组对边也平行的四边形是平行四边形，所以B 选项错误；
C 、当n=6时，n 2-3n+7=25，25不是质数，所以C 选项错误；
D 、通过证明三角形全等，可以证明三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等，所以D 选项准确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．也考查了平行四边形的判定及全等三角形的判定和性质．
5．D
解析：D
【分析】
由三角形三边关系可得三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【详解】
解：由于两条对角线的一半与平行四边形的一边组成一个三角形，
所以1
2
（AC-BD）＜5＜
1
2
（AC+BD），
由题中数据可得，AC和BD的长可取5和6，
故选D．
【点睛】
本题考查了平行四边形对角线互相平分及三角形三边关系问题，能够熟练求解此类问题．6．B
解析：B
【分析】
根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
解：∵点D和点E分别是BC和BA的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝1
2AC＝
1
2
4＝2，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可．
【详解】
解：A. 菱形的对角线互相平分，但不相等，该命题错误；
B. 顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形，该命题正确；
C. 矩形的对角线互相平分，但是不垂直，该命题错误；
D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，该命题错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查特殊四边形的判定和性质，掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
根据直角三角形的性质得到AB=2BC，利用勾股定理求出BC，再根据三角形中位线定理求出DE．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC，
设BC=x，则AB=2x，
∴(2
22
4x x
=+，
解得：x=8或-8（舍），
∴BC=8，
∵D是AC边的中点，DE AC
⊥，
∴DE=1
2
BC=4，
故选C．
【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
根据HL证明△ADG≌△FDG，根据角的平分线的意义求∠GDE，根据GE=GF+EF=EC+AG，确定△BGE的周长为AB+AC.
【详解】
根据折叠的意义，得△DEC≌△DEF，
∴EF=EC，DF=DC，∠CDE=∠FDE，
∵DA=DF，DG=DG，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG，
∴AG=FG，∠ADG=∠FDG，
∴∠GDE=∠FDG+∠FDE
=1
2
（∠ADF+∠CDF）
=45°，
∵△BGE的周长=BG+BE+GE，GE=GF+EF=EC+AG，
∴△BGE的周长=BG+BE+ EC+AG
=AB+AC，
是定值，
∴正确的结论有①③④，
故选C.
【点睛】
本题考查了正方形中的折叠变化，直角三角形的全等及其性质，角的平分线，三角形的周
长，熟练掌握折叠的全等性是解题的关键.
10．A
解析：A
【分析】
根据题意可得,CAB DBA ABC BAD ∠=∠∠=∠，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证CM DM AM BM ===，继而证明()AMC BMD SSS △≌△，解得1802AMC BMD CAM ∠=∠=︒-∠，最后根据三角形内角和180°定理，分别解得αβ、与CAM ∠的关系，整理即可解题．
【详解】
Rt Rt ABC BAD △≌△
,CAB DBA ABC BAD ∴∠=∠∠=∠ M 是AB 的中点，
11,22
CM AB DM AB ∴== CM DM AM BM ∴===
∴∠CAM=∠MCA ，
Rt Rt ABC BAD △≌△
AC BD ∴=
()AMC BMD SSS △≌△
1802AMC BMD CAM ∴∠=∠=︒-∠
CMD α∴=∠
180AMC BMD =︒-∠-∠
1802(1802)CAM =︒-⨯︒-∠
4180CAM =∠-︒
90ABC BAD CAM ∠=∠=︒-∠，
AEB β=∠
=180BAD ABC ︒-∠-∠
180(90)(90)CAM CAM =︒-︒-∠-︒-∠
2CAM =∠
2180βα∴-=︒
故选：A ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
11．B
解析：B
【分析】
利用平行四边形的性质解决问题即可
【详解】
解：在平行四边形ABCD中，
∵BC∥AD，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B=4∠A，
∴∠A=36°，
∴∠C=∠A=36°，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．C
解析：C
【分析】
△与AOB的周长相差3，可分情况得根据平行四边形的性质可得BO=DO，再根据AOD
出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，AO=AO，
△与AOB的周长相差3，
∵AOD
∴AB-AD=3，或AD-AB=3，
∵AB=8，
∴AD的长为5或11，
故选C．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分．
二、填空题
13．24°【分析】延长CF交DA延长线于点G证△BCF≌△AGF得GF=FC由垂直得△FEC是等腰三角形可知△BFC是等腰三角形求出∠GFE和∠GFA即可【详解】解：延长CF交DA延长线于点G∵AG∥B
解析：24°
【分析】
延长CF交DA延长线于点G，证△BCF≌△AGF，得GF=FC，由垂直得△FEC是等腰三角
形，12AD CD =
，可知△BFC 是等腰三角形，求出∠GFE 和∠GFA 即可． 【详解】 解：延长CF 交DA 延长线于点G ，
∵AG ∥BC ，
∴∠G=∠BCF ，∠GAF=∠B ，
∵AF=FB ，
∴△AGF ≌△BCF ，
∴GF=CF ，AG=BC ，
∵CE AD ⊥，
∴EF=FG=FC ，∠GEC=90°，
∵38CEF ∠=︒，
∴∠FEG=∠FGE=52°，
∠GFE=76°，
∵12
AD CD =
， ∴BC=BF=AF ，
∵AG=BC ，
∴AG=AF ，
∠G=∠AFG=52°， AFE ∠=76°-52°=24°．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题关键是作出适当的辅助线，构造等腰三角形．
14．【分析】先判定△ADF ≌△ECF 即可得到AF=EF 依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得出AF ⊥DM ；再根据等腰三角形的性质即可得到DN=MN=3最后依据勾股定理即可得到AN 与NE 的长进而得出DE
解析：317【分析】
先判定△ADF≌△ECF，即可得到AF=EF，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得出AF⊥DM；再根据等腰三角形的性质，即可得到DN=MN=3，最后依据勾股定理即可得到AN与NE的长，进而得出DE的长．
【详解】
解：∵点F为边DC的中点，
∴DF=CF=1
2CD=
1
2
AB=5，
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠ECF，
∵∠AFD=∠EFC，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴AF=EF，
∵CD∥AB，
∴∠ADC+∠DAB=180°，
又∵AF平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴∠ADN+∠DAN=90°，
∴AF⊥DM，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
又∵DC∥AB，
∴∠BAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠DFA，
∴AD=DF=5，
同理可得，AM=AD=5，
又∵AN平分∠BAD，
∴DN=MN=3，
∴Rt△ADN中，AN=224
AD DN
-=，
∴AF=2AN=8，EF=8，
∴NE=AE-AN=12，
∴Rt△DEN中，DE=22317
DN EN
+=，
故答案为：317．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，判定AF⊥DM，利用勾股定理进
行计算是解决问题的关键．
15．4【分析】根据平行四边形性质得出AB=DCAD∥BC推出∠DEC=∠BCE求出∠DEC=∠DCE推出DE=DC=AB得出AD=2DE即可求出AB的长【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=D
解析：4
【分析】
根据平行四边形性质得出AB=DC，AD∥BC，推出∠DEC=∠BCE，求出∠DEC=∠DCE，推出DE=DC=AB，得出AD=2DE，即可求出AB的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC=AB，
∵AD=2AB=2CD，CD=DE，
∴AD=2DE，
∴AE=DE=4，
∴DC=AB=DE=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义，等腰三角形的性质和判定的应用；熟练掌握平行四边形的性质，证出DE=AE=DC是解决问题的关键．
16．9【分析】根据梯形中位线的长等于上底与下底和的一半可求得其下底【详解】解：由已知得下底=2×7-5=9cm故答案为9【点睛】主要考查了梯形中位线定理的数量关系：梯形中位线的长等于上底与下底和的一半
解析：9
【分析】
根据“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”可求得其下底．
【详解】
解：由已知得，下底=2×7-5=9cm．
故答案为9．
【点睛】
主要考查了梯形中位线定理的数量关系：梯形中位线的长等于上底与下底和的一半．17．【分析】根据题意得到BE＝DE然后根据勾股定理得到关于线段ABAEBE的方程解方程即可【详解】解：设ED＝x则AE＝20﹣x∵四边形ABCD为矩形
∴AD∥BC∴∠EDB＝∠DBC；由题意得：∠EBD
解析：858
【分析】
根据题意得到BE ＝DE ，然后根据勾股定理得到关于线段AB 、AE 、BE 的方程，解方程即可．
【详解】
解：设ED ＝x ，则AE ＝20﹣x ，
∵四边形ABCD 为矩形，
∴AD ∥BC ，
∴∠EDB ＝∠DBC ；
由题意得：∠EBD ＝∠DBC ，
∴∠EDB ＝∠EBD ，
∴EB ＝ED ＝x ；
由勾股定理得：
BE 2＝AB 2+AE 2，
即x 2＝52+（20﹣x ）2，
解得：x ＝
858， ∴ED ＝858
． 【点睛】
本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．
18．【分析】由长方形纸片可得再求解由折叠的性质求解结合平角的定义可得答案【详解】解：长方形纸片由折叠可得：故答案为：【点睛】本题考查的是矩形与折叠平行线的性质简单题解题的关键是理解折叠的性质
解析：50︒
【分析】
由长方形纸片ABCD ，65EFB ∠=︒可得//,AD BC 再求解,DEF ∠ 由折叠的性质求解,D EF '∠ 结合平角的定义可得答案．
【详解】 解： 长方形纸片ABCD ，65EFB ∠=︒，
//,AD BC ∴
65DEF EFB ∴∠=∠=︒，
由折叠可得：65D EF DEF '∠=∠=︒，
180180656550.AED D EF DEF ''∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒
故答案为：50.︒
【点睛】
本题考查的是矩形与折叠，平行线的性质，简单题，解题的关键是理解折叠的性质． 19．【分析】延长CF 交EA 的延长线于点G 连接EF 过点F 作FH ⊥CE 于点H 过点E 作EM ⊥CF 于点M 由题意易得FH=FDFH=EMEC=EG 进而可得△CDF ≌△CME 然后可得CM=CD=由勾股定理可得BG= 解析：76
【分析】
延长CF ，交EA 的延长线于点G ，连接EF ，过点F 作FH ⊥CE 于点H ，过点E 作EM ⊥CF 于点M ，由题意易得FH=FD ，FH=EM ，EC=EG ，进而可得△CDF ≌△CME ，然后可得CM=CD=
52
，由勾股定理可得BG=3，设BE=x ，则有EC=EG=3+x ，最后利用勾股定理可求解．
【详解】
解：延长CF ，交EA 的延长线于点G ，连接EF ，过点F 作FH ⊥CE 于点H ，过点E 作EM ⊥CF 于点M ，如图所示：
∵四边形ABCD 是矩形，4BC =，52AB =
∴BC=AD ，52
AB DC ==
，AB ∥DC ，∠D=∠ABC=∠CBE=90° ∴∠DCF=∠G ，
∵CF 平分∠ECD ，
∴∠DCF=∠ECF ，DF=FH ，
∴∠G=∠ECF ，
∴EC=EG ，
∴△ECG 是等腰三角形，
∴CM=MG ，
∵CE=CF ，
∴△ECF 是等腰三角形， ∵EM 、FH 分别是等腰三角形ECF 腰上的高线，
∴FH=EM=DF ，
∴Rt △CDF ≌Rt △CME （HL ）， ∴52
CM DC ==
， ∴CG=5，
∴在Rt △CBG 中，
3BG =，
设BE=x ，则有EC=EG=3+x ，
在Rt △CBE 中，222BC BE CE +=，
∴()22243x x +=+， 解得：76x =
， ∴76
BE =； 故答案为
76． 【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理是解题的关键．
20．【分析】根据正方形ABCD 得结合题意推导得通过证明得从而得到正方形面积结合四边形面积计算得到；过点M 作交BE 于点N 连接ME 根据正方形ABCD 通过计算即可完成求解【详解】∵正方形ABCD ∴∴∵过点D 且
解析：3
【分析】
根据正方形ABCD ，得90ADC BAD ∠=∠=，BAC ACD ∠=∠，
AB BC CD AD ====CDF ADG ∠=∠、FCD DAG ∠=∠，通过证明CDF ADG △≌△，得CDF ADG S S =△△，从而得到12
ACD S =正方形ABCD 面
积，结合四边形AGDF 面积BCE =△，计算得到CE ；过点M 作MN BE ⊥交BE 于点N ，连接ME ，根据ABM NBM BCE NME EDM S
S S S S ++++=正方形ABCD ，通过计算即可完成求解．
【详解】
∵正方形ABCD
∴
90ADC BAD ∠=∠=，//AB CD ，AB BC CD AD ====
∴90CDF ADF ∠+∠=，90BAC CAD ∠+∠=，BAC ACD ∠=∠
∵过点D 且垂直于DF 的直线，与过点A 且垂直于AC 的直线交于点G
∴90FDG ADF ADG ∠=∠+∠=，90CAG CAD DAG ∠=∠+∠=
∴CDF ADG ∠=∠，BAC DAG ∠=∠
∴ACD DAG ∠=∠，即FCD DAG ∠=∠
∴FCD DAG CDF ADG CD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴CDF ADG △≌△
∴CDF ADG S S =△△
∵四边形AGDF 面积=12ADF ADG ADF CDF ACD S S S S
S +=+==△△△△△正方形ABCD 面积 ∴四边形AGDF 面积=1
6632⨯⨯= ∵1
1
622BCE S BC CE CE =⨯=⨯△，且满足四边形AGDF 面积2BCE
S =△
∴1
2632CE ⨯⨯= ∴3CE =
∴22633BE BC CE =+=+=
如图，过点M 作MN BE ⊥交BE 于点N ，连接ME
∵∠ABE 的平分线交AD 于点M
∴ABM NBM ∠=∠
∵BM BM =，90BAM BNM ∠=∠=
∴ABM NBM △≌△
∴6BN AB ==，MN AM =
设AM x =
1
6
2ABM NBM S S AB x ==⨯=△△
1
13
632222BCE S BC CE =⨯==△
()(111
3222NME S NE MN BE BN MN x =
⨯=-⨯=-△ ()())111
222EDM S ED DM CD CE AD AM x =
⨯=-⨯-=△ ∵ABM NBM BCE NME EDM S S S S S ++++=正方形ABCD
∴()1123222x x x ⨯
+=
∴3
x ==
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了正方形、全等三角形、一元一次方程、二次根式、三角形角平分线、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、三角形角平分线的性质，从而完成求解．
三、解答题
21．140°，40°，140°，40°
【分析】
由AE 、AF 分别为BC 、CD 上的高，且∠EAF=40°，即可求得∠C 的度数，又由平行四边形的性质，即可求得答案．
【详解】
解：∵AE 、AF 分别为BC 、CD 上的高，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∵∠EAF=40°，
∴∠C=360°-∠EAF-∠AEC-∠AFC=140°，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠BAD=∠C=140°，∠B=∠D=180°-∠C=40°．
∴平行四边形ABCD 各内角的度数分别为：140°，40°，140°，40°．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
22．（1）见解析；（2）DE =
，见解析
【分析】
（1）根据SAS 证明APD APB ≌△△可得PD=PB ，再结合PD=PE 即可得出结论； （2）证明DPE 是等腰直角三角形即可得出结论．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB AD =，
∵AC 是正方形ABCD 的对角线，
∴=45CAD CAB ∠=∠︒
∵AP AP =，
∴
()APD APB SAS ≌， ∴PD PB =， ∵PB PE =，
∴PD PE =． （2
）DE =
．理由如下： ∵由（1）知，APD APB ≌△△，PD PB PE ==，
∴设PEB PBE PDA x ∠=∠=∠=︒，
∴1802EPB x ∠=︒-︒，
∵45DAP ∠=︒，
∴18045135DPA BPA x x ∠=∠=︒-︒-=︒-︒，
∴1802(135)45APE EPB BPA x x x ∠=∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒-︒，
∴135(45)90DPE DPA APE x x ∠=∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒．
∴DPE 是等腰直角三角形，
∴DE =
=． 【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
23．（1）见解析；（2）24
【分析】
（1）依据平行四边形的性质，即可得到△AMB ≌△CND ；
（2）依据全等三角形的性质，即可得出四边形DEMN 是平行四边形，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠EMN 是直角，进而得到四边形DEMN 是矩形，即可得出四边形DEMN 的面积．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB CD =，//AB CD ，OA OC =，
∴BAC DCA ∠=∠，
又点M ，N 分别为OA 、OC 的中点， ∴1122
=
==AM AO CO CN ， 在AMB 和CND △中， AB CD BAC DCA AM CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AMB ≌△CND(SAS)
（2）∵△AMB ≌△CND ，
∴BM=DN ，∠ABM=∠CDN ，
又∵BM=EM ，
∴DN=EM ，
∵AB ∥CD ，
∴∠ABO=∠CDO ，
∴∠MBO=∠NDO ，
∴ME ∥DN ，
∴四边形DEMN 是平行四边形，
∵BD=2AB ，BD=2BO ，
∴AB=OB ，
又∵M 是AO 的中点，
∴BM ⊥AO ，
∴∠EMN=90°，
∴四边形DEMN 是矩形，
∵AM=3，DN=4，
∴AM=MO=3，DN=BM=4，
∴MN=6，
∴矩形DEMN 的面积=6×4=24．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及矩形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
24．（1）屋形有一条对角线与底平行且相等；（2）见解析；（3）60
【分析】
（1）根据屋形的特点可得结论；
（2）连接BE ，证明四边形BCDE 为平行四边形，再根据+CBE ABE DEB AEB ∠=∠+得出结论；
（3）连接BE ，过A 作AH BE ⊥，先利用勾股定理得出AH 的值，再利用三角形和矩形的面积公式求解即可．
【详解】
解：（1）屋形有一条对角线与底平行且相等
（2）求证：屋形的脊与腰夹角相等
证明：
连接BE
AB AE =，
ABE AEB ∴∠=∠，
C D ∠=∠，
//BC DE ∴，
又BC DE =，
∴四边形BCDE 为平行四边形，
90CBE DEB ︒∴∠=∠=
∵ABE AEB ∠=∠，
∴+CBE ABE DEB AEB ∠=∠+，
ABC AED ∴∠=∠．
【问题解决】
连接BE ，过A 作AH BE ⊥，
5AB =，
5AE ∴=，
,AH BE AB AE ⊥=， 142BH EH BE ∴===， 2222543AH AB BH ∴=-=-=，
∴BE=2BH=6，
183122
ABE S ∆∴=⨯⨯=， BCDE 8648S =⨯=矩，481260+=，
∴屋形ABCDE 的面积为60．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线． 25．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）先证明四边形ADCE 是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AB=AD ，即可得出四边形ADCE 为菱形；
（2）过点D 作DF ⊥CE ，垂足为点F ；先证明△BCD 是等边三角形，得出
∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，再由平行线的性质得出∠DCE=∠BDC=60°，在Rt△CDF中，求出DF即可．
【详解】
解：（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=AD，
∴四边形ADCE为菱形；
（2）过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：
DF即为菱形ADCE的高，
∵∠B=60°，CD=BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，
∵CE∥AB，
∴∠DCE=∠BDC=60°，
∴∠CDF=30°，
又∵CD=BC=6，
∴CF=3，
∴在Rt△CDF中，DF==．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
26．（1）见解析；（2）AC＝1
2 AB
【分析】
（1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE＝1
2
AB＝AE，再根据等边三角形的性
质可得AD＝CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE＝∠CDE＝30°，再有∠DCB＝150°可证明DE∥CB；
（2）当AC＝1
2
AB或AB＝2AC时，四边形DCBE是平行四边形．根据（1）中所求得出
DC ∥BE ，进而得到四边形DCBE 是平行四边形．
【详解】
解：（1）证明：连结CE ．
∵点E 为Rt △ACB 的斜边AB 的中点，
∴CE ＝1
2AB ＝AE ． ∵△ACD 是等边三角形，
∴AD ＝CD ．
在△ADE 与△CDE 中，
AD DC DE DE AE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴△ADE ≌△CDE （SSS ），
∴∠ADE ＝∠CDE ＝30°．
∵∠DCB ＝150°，
∴∠EDC +∠DCB ＝180°．
∴DE ∥CB ．
（2）当AC ＝
12AB 或AB ＝2AC 时，四边形DCBE 是平行四边形， 理由：∵AC ＝
12
AB ，∠ACB ＝90°， ∴∠B ＝30°，
∵∠DCB ＝150°，
∴∠DCB +∠B ＝180°，
∴DC ∥BE ，
又∵DE ∥BC ，
∴四边形DCBE 是平行四边形．
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，关键是掌握直角三角形的性质，以及等边三角形的性质．。