第4章 平面问题的极坐标解答

d 4 1 d 3 d 2 1 d 1 d 1 d ( ) ( ) 0, (b) 4 3 2 d d d d d d 1 d 1 d 1 1 d 2 1 d 1 d 2 1 d ( ) ( 2 ) 2 3 , 第四项: 2 2 d d d d d d d 2 1 d d d 1 d 1 d 3 2 d 2 2 d ( ) [ ( )] 2 3 2 , 第三项: 2 3 2 d d d d d d d d
1 d d 2 , , 0, (4 9) 应力分量为： 2 d d
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第四章 平面问题的极坐标解答
§4.5 轴对称应力和相应的位移 对于轴对称应力，采用逆解法： 设： ( ), 与 无关。 应力分量为： 相容方程(4-6)简化为： 2 1 d d 2 d 1 d 2 , , 0, (4 9) ( 2 ) 0, (a) 2 d d d d d2 1 d d 2 1 d )( 2 ) 0, 求解式(a): ( 2 d d d d
1 d 2 d d 1 d t 1 t 2( 2 ), [ ( ) (e ) e ] dt dt dt dt
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第四章 平面问题的极坐标解答
§4.5 轴对称应力和相应的位移 d 4 d 3 d 2 d 4 3 2 2 0, 求解欧拉方程: 4 3 2 d d d d t d 1 d d 2 1 d 2 d 设: e , 即: t ln 。 , 2( 2 ), 2 d dt d dt dt d 3 d 1 d 2 d dt 1 d 3 d 2 d [ 2( 2 )] 3 ( 3 3 2 2 ), 3 d dt dt dt d dt dt dt d 1 2 [ ( 2 ) 2 ] dt d 4 1 d 4 d 3 d 2 d 4 ( 4 6 3 11 2 6 ), 4 d dt dt dt dt
第四章 平面问题的极坐标解答
§4.5 轴对称应力和相应的位移 对于轴对称应力，采用逆解法： 设： ( ), 与 无关。 应力分量为： 相容方程(4-6)简化为： 2 1 d d 2 d 1 d 2 , , 0, (4 9) ( 2 ) 0, (a) 2 d d d d d 4 1 d 3 d 2 1 d 1 d 1 d ( ) ( ) 0, (b ) 求解式(a): 4 3 2 d d d d d d 1 d 1 d 1 d 2 1 d ( ) 2 3 , 将第四项: 2 d d d d d 2 1 d 1 d 3 2 d 2 2 d ( ) 2 3 , 及第三项: 2 3 2 d d d d d
A


应变分量也是 1 A [(1 ) 2 (3 ) B 2(1 ) B ln 2(1 )C ], 轴对称的。 E 94.5 轴对称应力和相应的位移 轴对称问题的应变与位移 位移分量: 将应变分量代入极坐标的几何方程(4-2) ：
§4.5 轴对称应力和相应的位移 轴对称问题的应变与位移 应变分量（按平面应力问题考虑） : 将式(4-11)代入平面应力问题的物理方程式(4-3)：
1 ( ), 2 B (1 2 ln ) 2C , E 1 A (4 11) ( ), (4 3) 2 B (3 2 ln ) 2C , E 2(1 ) , 0, E 1 A [(1 ) 2 (1 3 ) B 2(1 ) B ln 2(1 )C ], E
第四章 平面问题的极坐标解答
§4.5 轴对称应力和相应的位移 轴对称问题的应变与位移 位移分量:
u u


1 u 0,
(c )
1 A u [(1 ) (1 3 ) B 2(1 ) B (ln 1) 2(1 )C ] f ( ),(d ) E u A 4B [(1 ) 2 (1 3 ) B 2(1 ) B ln 2(1 )C ] u f ( ), E E 4B f ( )d f1 ( ), (e) 以φ为变量积分： u E 将式(d)、(e)代入式(c)第三式：
d 4 2 d 3 1 d 2 1 d 2 3 0, 4 3 2 d d d d
d 4 d 3 d 2 d 4 3 2 2 0, 四阶变系数常微分方程 即: 4 3 2 d d d d
方程特征:ρ的幂指数等于Φ的导数的阶数。称为欧拉方程。
u 1 A , [(1 ) 2 (1 3 ) B 2(1 ) B ln 2(1 )C ], E u 1 u 1 A , (4 2) [(1 ) 2 (3 ) B 2(1 ) B ln 2(1 )C ], E u u 1 u , 0,
第四章 平面问题的极坐标解答
§4.5 轴对称应力和相应的位移
在许多过程问题中，应力分量与φ无关，且切应力为零。 这类问题称为轴对称应力，如：炮筒、气缸、氧气瓶 及某些高压容器等。 对于轴对称应力，采用逆解法： 设： ( ), 与 无关。 2 d 2 d 2 此时： 2 0, , , 2 2 d d 2 2 相容方程(4-6)简化为： d 2 1 d 0, ( a ) d d
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第四章 平面问题的极坐标解答
§4.5 轴对称应力和相应的位移 对于轴对称应力，采用逆解法： 设： ( ), 与 无关。 d2 1 d 2 相容方程(4-6)简化为： ( 2 ) 0, (a) d d 4 3 2 求解式(a)。 d 4 d 3 d 2 d 2 0, 即求解欧拉方程: 4 3 2 d d d d t 设: e , 即: t ln 。 ( ) [t ( )] 相当于复合函数。 d d dt 1 d dt 1 , ( ) d dt d dt d d 2 d d d d dt d 1 d 1 ( ) ( ) ( ) 2 d d d dt d d dt dt
2 A 2 B (3 2 ln ) 2C , (4 11) 0,

A
B (1 2 ln ) 2C
轴对称应力分量只与ρ有关，与φ无关，无切应力。
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第四章 平面问题的极坐标解答
(c )
第一式对ρ积分： 1 A u [(1 ) (1 3 ) B 2(1 ) B (ln 1) 2(1 )C ] f ( ),(d ) E 第二式移项后，再将uρ代入： u A 4B [(1 ) 2 (3 ) B 2(1 ) B ln 2(1 )C ] u f ( ), 11 E E
u



(c ) 10
第四章 平面问题的极坐标解答
§4.5 轴对称应力和相应的位移 轴对称问题的应变与位移 位移分量:
1 A [(1 ) 2 (1 3 ) B 2(1 ) B ln 2(1 )C ], E u 1 u 1 A [(1 ) 2 (3 ) B 2(1 ) B ln 2(1 )C ], E u u 1 u 0, u
d 4 2 d 3 1 d 2 1 d 2 3 0, 代入式(b)，有： 4 3 2 d d d d
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第四章 平面问题的极坐标解答
§4.5 轴对称应力和相应的位移 对于轴对称应力，采用逆解法： 设： ( ), 与 无关。 d2 1 d 2 相容方程(4-6)简化为： ( 2 ) 0, (a) d d d 4 1 d 3 d 2 1 d 1 d 1 d ( ) ( ) 0, (b ) 求解式(a): 4 3 2 d d d d d d 即:
d 4 d 3 d 2 4 3 4 2 0, 四阶常系数常微分方程 转换为: 4 dt dt dt 2 2 特征方程为: 4 4 3 4 2 0, 即: ( 2) 0,
有两组重根: 1 2 0, 3 4 2, 通解为: e 0 t ( A Bt ) e 2t (C Dt )
d 4 d 3 d 2 4 3 4 2 0, 故有: 4 dt dt dt
四阶常系数常微分方程
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第四章 平面问题的极坐标解答
§4.5 轴对称应力和相应的位移 d 4 d 3 d 2 d 4 3 2 2 0, 求解欧拉方程: 4 3 2 d d d d
A Bt Ce 2t Dte 2t A B ln C 2 D 2 ln
按教材调整为为:
A ln B 2 ln C 2 D, (4 10)
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第四章 平面问题的极坐标解答
§4.5 轴对称应力和相应的位移 将: A ln B 2 ln C 2 D, (4 10) 1 d d 2 , , 0, (4 9) 代入式(4-9)： 2 d d
1 A [(1 ) 2 (1 3 ) B 2(1 ) B ln 2(1 )C ], 有： E u 1 u 1 A [(1 ) 2 (3 ) B 2(1 ) B ln 2(1 )C ], E u u 1 u 0,