高考数学压轴专题人教版备战高考《复数》全集汇编及答案解析

数学《复数》知识点练习(1)
一、选择题
1．在复平面内与复数21i
z i
=+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） A ．1i -- B ．1i -
C ．1i +
D ．1i -+
【答案】D 【解析】 【分析】
根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数. 【详解】 由题()()()2122211112
i i i i z i i i i -+=
===+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+. 故选：D 【点睛】
此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.
2．若1z i =+，则31
i
zz =+（ ） A ．i - B ．i
C ．1-
D ．1
【答案】B 【解析】
因为1z i =+，所以1z i =- ，()()3112,
1
i
zz i i i zz =+-==+，故选B.
3．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线
【答案】A 【解析】 【分析】
设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】
设()z x yi x y R =+∈、，
()
2
211x yi x y ++=
++，()()
2
2111iz i x yi y x +=++=
-+，
则
()
()
2
2
2211x y y x ++-+＝
，得y x =-，
所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A. 【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．
4．已知复数2
1i
z =-+，则（ ） A ．2z =
B ．z 的实部为1
C ．z 的虚部为1-
D ．z 的共轭复数为
1i +
【答案】C 【解析】
分析：由题意首先化简复数z ，然后结合z 的值逐一考查所给的选项即可确定正确的说法. 详解：由复数的运算法则可得：()
()()
()21211112
i i z i i i ----==
=---+--，
则
2z =，选项A 错误；
z 的实部为1-，选项B 错误；
z 的虚部为1-，选项C 正确； z 的共轭复数为1z
i =-+，选项D 错误.
本题选择C 选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A ．2 B ．3
C ．2
D ．3
【答案】A 【解析】
()11z i i i =-=+，故2z =，故选A.
6．在复平面内复数83i +、45i -+对应的点分别为A 、B ，若复数z 对应的点C 为线段
AB 的中点，z 为复数z 的共轭复数，则z z ⋅的值为（ ） A ．61 B ．13 C ．20 D ．10
【答案】C 【解析】
由题意知点、的坐标为、，则点的坐标为，
则
，从而
,选C.
7．已知i 是虚数单位，则131i
i +=+（ ） A ．2i - B ．2i +
C ．2i -+
D ．2i --
【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数的除法运算计算复数的值即可. 【详解】
由复数的运算法则有：
13(13)(1)422(1)(11)2
i i i i
i i i i ++-+===++-+. 故选B . 【点睛】
对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.
8．设复数4273i
z i
-=-，则复数z 的虚部为（ ） A ．1729-
B ．
1729
C ．129
-
D ．
129
【答案】C 【解析】 【分析】
根据复数运算法则求解171
2929
z i =-，即可得到其虚部. 【详解】
依题意，()()()()4273422812146342171
73737358582929
i i i i i i z i i i i -+-+-+-=
====---+
故复数z的虚部为
1 29 -
故选：C
【点睛】
此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，准确计算，正确辨析虚部的概念.
9．已知i为虚数单位，,a b∈R，复数1
2
i
i a bi
i
+
-=+
-
，则a bi
-=（）
A．12
55
i
-B．
12
55
i
+C．
21
55
i
-D．
21
i
55
+
【答案】B 【解析】【分析】
由复数的除法运算，可得
(1)(2)12
(2)(2)55
i i
i i
i i
a b i=
++
+-=-
-+
，即可求解a b i
-，得到答
案．【详解】
由题意，复数1
2
i
i a bi
i
+
-=+
-
，得
(1)(2)1312
(2)(2)555
i i
a b i=
i
i i i
i i
+++
+-=-=-
-+
，
所以
12
55
a b i=i
-+，故选B．
【点睛】
本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
10．复数的共轭复数对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数的概念求出复数的共轭复数，进一步求出对应点的坐标得结果 .
【详解】
，
的共轭复数为
，
对应坐标是在第三象限，故选C.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
11．若202031i i
z i
+=+，则z 在复平面内对应点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A 【解析】 【分析】
化简得到2z i =+，得到答案. 【详解】
()()()()
202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限.
故选：A . 【点睛】
本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.
12．设(
)(
)
2
2
25322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C ．z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数
【答案】C 【解析】 【分析】
根据()2
222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定. 【详解】
()2
222110t t t ++=++>Q ，z ∴不可能为实数，所以D 错误；
z ∴对应的点在实轴的上方，又z Q 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下
方，所以C 正确；
21
3,25302
t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误；
21
,25302
t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.
故选：C 【点睛】
此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.
13．复数
1
1i +的共轭复数是 （ ） A ．1122i + B ．1122i -
C ．1i -
D ．1i +
【答案】A 【解析】 【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数1
1i
+，进而可得结果. 【详解】
因为
()()1111212
11i i i i i -+--==+， 所以
11i
+的共轭复数是1122i +，
故选：A. 【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
14．在复平面内，复数21i
z i
=+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】D 【解析】
分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可. 详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112
i i i i i z i i i i --=
===+++-，
则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限. 本题选择D 选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15．设2i
2i 1i
z =++-，则复数z =（ ） A ．12i - B ．12i +
C ．2i +
D ．2i -
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数的运算法则，求得12z i =+，再结合共轭复数的概念，即可求解． 【详解】
由题意，可得复数()()()
2i 1i 2i
2i 2i 12i 1i 1i 1i z +=++=++=+--+， 所以12i z =-． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的共轭复数的概念及应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了运算能力．
16．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ） A ．2 B ．2
C ．22
D ．5
【答案】D 【解析】
分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果. 详解：因为()13i z i +=+，所以31
(3)(1)212
i z i i i i +==+-=-+, 因此5,z = 选D.
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，
如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为
.-a bi
17．若复数满足
，则复数的虚部为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】
分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以，
因此复数的虚部为
，选B.
点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
. 其次要熟悉复数相关基本概念，
如复数
的实部为、虚部为、模为
、对应点为
、共轭为
18．复数z 满足|||3|z i z i -=+，则||z ( ) A ．恒等于1
B ．最大值为1，无最小值
C ．最小值为1，无最大值
D ．无最大值，也无最小值
【答案】C 【解析】 【分析】
设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈，由题意求出1y =-，再计算||z 的值． 【详解】
解：设复数z x yi =+，其中x ，y R ∈， 由|||3|z i z i -=+，得|(1)||(3)|x y i x y i +-=++，
2222(1)(3)x y x y ∴+-=++， 解得1y =-；
222||11z x y x ∴=++…，
即||z 有最小值为1，没有最大值． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题．
19．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B 【解析】 【分析】
设(,)z a bi a b R =+∈,则2
2
48z z a bi a b i +=+++=+,可得224
8
a a
b b ⎧⎪++=⎨
=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限. 【详解】
设(,)z a bi a b R =+∈,则2248z z a bi a b i +=+++=+,
2248
a a
b b ⎧⎪++=∴⎨=⎪⎩,6
,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨
=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限. 故选:B 【点睛】
本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.
20．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）
A ．-1
B ．1
C ．0
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案. 【详解】
为纯虚数，故
且
，即
.
故选：. 【点睛】
本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.。