数字信号处理模拟测试题答案

数字信号处理模拟练习
一、 填空题：
1、 系统输入x(n)和输出y(n)的关系为y(n)=nx(n)，系统是否线性___是___,是否时不变__否____。

2、 若连续信号的最高频率为f m ，对该信号进行采样，采样的频率为f s 。

时域采样定理表明，若要从采样后的序列中
完全没有失真地恢复出原来的连续信号，f s 必须大于__2f m ___。

3、 系统的单位序列响应h(n)和频率响应H(e j ω
)的关系是：H(e j ω
)是h(n)的_DTFT 变换_____。

4、 FFT 是序列的_____DFT___变换的一种快速算法，而其中的基2-FFT 运算对输入序列的长度N 的要求是
_______N=2M
__________。

5、 运用模拟滤波器通过一定的转换关系来设计IIR 数字滤波器时，在双线性变换法和脉冲响应不变法两种方法中，
其中___双线性变换法____方法里，模拟频率到数字频率的转换是非线性的。

6、 FIR 滤波器如果具有线性的相位：αωωϕ-=)(，其中2
1
-N =
α，则其单位脉冲响应h(n)必须满足的条件是_h(n)=h(N-1-N)___。

10、运用窗口设计法来设计FIR 滤波器，如果由矩形窗改为汉宁窗，则设计出的滤波器的过渡带宽度会变___宽__，
而通带和阻带的波动将变____小____。

二、画出下列序列的波形：
（1）)5()()(1--=n u n u n x （2） )(21)(42n R n x n
⎪⎭⎫
⎝⎛= （3）)2()1()()(3-+--=n n n n x δδδ
三、（15分）已知某系统的单位脉冲响应()
)(2.0)(n n h n
ε=,
（1）
求系统函数H(z)；
（2） 判断系统是否具有稳定性？为什么？
（3） 写出系统频率响应H(e j ω
)的表达式；
（4）
什么是IIR 系统？什么是FIR 系统？该系统是IIR 系统还是FIR 系统？
注：)(n ε在有的资料和书上也用u(n)表示。

解：（1）∑∑∞
=-∞
-∞
=--=
==
2
020n n n n n
.z z
z ).(z
)n (h )z (H
（2）系统稳定，因为H(z)的极点为0.2，在单位圆内，即1<z
0 1 2 3 4 1 n
x 1(n) 0 1 2 3 4
n
0 1 -1
n
x 3(n) 1
2
（3）2
0.e e )z (H )e
(H j j e z j j -===ωω
ω
ω
（4）IIR 是无限长单位脉冲响应系统，FIR 为有限长单位脉冲响应系统，该系统是IIR 系统。

四、（12分）（1）写出序列x(n)的傅里叶变换X(e j ω
)的定义式；
（2）若序列)2()2()(--+=n n n x εε，求X(e j ω
)。

解：（1）∑∞
-∞
=-=
n n
j j e
)n (x )e
(X ωω
（2）ω
ω
ωωωω
j j j n n
j n n
j j e
e e e
e
)n (x )e
(X ---=-∞
-∞
=---==
=
∑∑1221
2
（参看《信号与系统》教材P100 数列求和公式） （或者ωωω
j j j e e e
-+++=12）
五、（15分）已知序列)2()1()()(-+-+=n n n n x δδδ，
（1） 写出离散傅里叶变换DFT 的定义式；
（2） 求x(n)的4点的离散傅立叶变换X(k)的函数表达式，并计算X(0)、X(1)、X(2)、X(3)的值； （3） 傅里叶变换和离散傅立叶变换的两个频率（ω和k ）之间有怎样的关系？ 解：（1） ∑-==
1
N n kn N
W
)n (x )k (X , 10-≤≤N k
（2）k k n kn N n kn
N
W W W W )]n ()n ()n ([W
)n (x )k (X 244041
40
41
21++=-+-+==
∑∑-=-=δδδ
300
24
0404=++=⨯W W W )(X ，j )()j (W W W )(X -=-+-+=++=⨯1111241404
111122242404=+-+=++=⨯)(W W W )(X ，j )(j W W W )(X =-++=++=⨯1133243404
（注：2
42π
πj
N
j N e
W e
W --=⇒=）
（3）k N
πω2=
六、（12分）
（1）运用蝶形运算符画出8点的按频率抽取的基2 FFT 的运算流图；
（2）在16点的时间抽取的基2-FFT 的运算，共多少个不同数值的W 加权因子？分别是什么？ 解：（1）见书p73图2.14
（2）8个，0
N W ，1
N W ，2
N W ，3
N W ，4
N W ，5
N W ，6
N W ，7
N W 。

（注：要会计算倒序数和第i 级的W 因子）
七、（14分）某模拟滤波器的系统函数2
31
)(2++=
s s s H a ，
分别运用脉冲响应不变法和双线性变换法求数字滤波器的系统函数H(z)，已知采样间隔T=1秒。

解：脉冲响应不变法：
21
112112312+-
+=++=++=
s s )s )(s (s s )s (H 1
2111
111
111----=----=-=∑
z e z e z e A )z (H N
i T s i i 双线性变换法：
z
z )z (|s s )z (H z z T s 41212312
2
112211-+=++=--+-= 八、（12分）利用窗函数法设计一个线性相位FIR 数字低通滤波器，要求写出滤波器的单位脉冲响应h(n)的表达式，同时写出其相频特性的表达式。

在设计中，选择汉宁(hanning)窗，窗函数的表达式是：
)()]1
2cos(1[21)(n R N n
n w N --=π。

滤波器的阶数为15，通带3dB 处的截止角频率为0.35π(rad)。

解：（1）
)
n (R )]n
cos([)n ()]n (.sin[)n (w )n ()]n (.sin[)
n (w )n (h )n (h d 157
1217735077350πππππ-⨯--=--=
= （2）ωαωωϕ7-=-=)(。