快速写出对称矩阵的正定分解

快速写出对称矩阵的正定分解
【原创版】
目录
1.对称矩阵的定义与性质
2.正定分解的定义与性质
3.对称矩阵的正定分解方法
4.举例说明对称矩阵的正定分解
正文
1.对称矩阵的定义与性质
对称矩阵是指一个方阵，其转置等于其本身。

换句话说，如果一个矩阵 A 是一个 n×n 的方阵，并且满足 A^T=A，那么矩阵 A 就是一个对称矩阵。

对称矩阵具有一些重要的性质，如：对称矩阵的特征值是实数，对称矩阵可以正交对角化等。

2.正定分解的定义与性质
正定分解是指将一个对称矩阵分解为两个正定矩阵的乘积，即 A = PDP^T，其中 P 是正交矩阵，D 是对角矩阵。

正定分解具有一些重要的性质，如：正定分解是唯一的，即对于一个给定的对称矩阵，其正定分解是唯一的；正定分解可以有效地用于求解线性方程组，迭代算法等。

3.对称矩阵的正定分解方法
对称矩阵的正定分解可以通过求解线性方程组或者使用正交矩阵来
进行。

其中，最常用的方法是使用正交矩阵进行分解。

具体步骤如下：（1）计算对称矩阵的特征值和特征向量；
（2）将特征向量单位化，并按照特征值大小的顺序排列；
（3）构造一个正交矩阵 P，其中 P 的列向量是按特征值大小顺序排
列的特征向量；
（4）计算对角矩阵 D，其中 D 的对角线元素是特征值；
（5）计算 PDP^T，即为对称矩阵的正定分解。

4.举例说明对称矩阵的正定分解
假设有一个对称矩阵 A = [[2, 1], [1, 2]]，我们需要对其进行正定分解。

（1）计算特征值和特征向量：特征值λ1 = 2, λ2 = 1，对应的特征向量分别为 v1 = [1, 1]^T 和 v2 = [1, -1]^T。

（2）将特征向量单位化，并按照特征值大小的顺序排列：v1 = [1/√2, 1/√2]^T，v2 = [1/√2, -1/√2]^T。

（3）构造正交矩阵 P：P = [[1/√2, 1/√2], [1/√2, -1/√2]]。

（4）计算对角矩阵 D：D = diag(2, 1)。

（5）计算 PDP^T：PDP^T = PDP = [[2, 1], [1, 2]] * [[1/√2, 0], [0, -1/√2]] = [[2/√2, 1/√2], [1/√2, 2/√2]]。