锐角三角函数sin cos tanppt课件

2
如图，任意画一个Rt△ABC， A
使∠C＝90°，∠A＝45°，计 算∠A的对边与斜边的比 BC = 2
AB 2
，你能得出什么结论？
C
B
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，
当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 1 ，
是一个固定值；
2
当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 2 ，
B
2
1
45°
A
C
1
sin30°=
A
的对边1
斜边 2
sin45°=
A的对边 2 斜边 2
∠B的对边 3 sin60°= 斜边 = 2
B
练习3Biblioteka 1、如图，求sinA和sin2 B的值．
A
5
C
2、在平面直角平面坐标系中，已知点A(3，0)
4
和B(0，-4)，则sin∠OAB等于__5 __.
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是BC边
B
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，AB=3，
3
2
求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值．
解：R在t ABC中，
A
C
AC AB2 BC2 32 22 5,
sinABC2， cosAAC 5， tanABC 2 2 5.
AB 3
AB 3
AC 5 5
sinBAC 5， cosBBC2， tanBAC 5.
5
6
解： sin A = BC ， AB
A
C
∴ AB =
BC
5 = 6× = 10.
sin A 3
又AC = AB 2 - BC 2 = 102 - 62 = 8,
∴ cos A =
AC
= 4 ，tan B =
AC
4 =.
AB 5
BC 3
延结伸论：由：上一面的个计锐算角，你的能正猜想弦∠等A，于∠它B的余正角弦、的余余弦弦值有什么规律吗？
AB 3
AB 3
BC 2
补充练习
A
2、如图所示，在△ABC中，∠ACB
＝90°，AC=12，AB=13，
B
∠BCM=∠BAC，求sin∠BAC和点B
到直线MC的距离．
MD
C
新知探索: 30°角的三角函数值
B
sin30°=
A
的对边1
2
斜边 2
1
C
30°
A cos30°=
A的邻边 3 斜边 2
3
tanA A A的 的邻 对边 边 ba
锐角A的正弦、余弦、 正切都叫做∠A的锐角三 角函数.
对于锐角A的B每一 个确定的值c，sinAa 有 唯一确定的值与它对 应，所A以sinbA是CA的函 数。
同样地， cosA， tanA也是A的函数。
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
BC=6，sin A 3 ，求cosA和tanB的值． B
▪ sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的 对边与斜边的比；
▪ sinA是∠A的函数，大小由∠A的度数决定，
B
即与三角形的形状有关，与大小无关 ▪ 在直角三角形中，因为0<a<c，
c
a
所以0< sinA<1
A
bC
例题示范
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求 sinA和sinB的值．
（ 4 ） 2 si4n 5 1c6 o 0 （ s 1 ） 20 （ 0 1 5 2 ） 0 . 2
B
例2 （1）如图，在Rt△ABC中，∠C
＝90°，AB 6,BC 3 ，
6
3
求∠A的度数．
A
C
解sinABC 3 2, AB 6 2
A45.
A
（2）如图，已知圆锥的高AO等于圆 锥的底面半径OB的 3 倍，求 a ．
▪ cosA，tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中 ∠A的邻边与斜边的比、对边与邻边的比；
▪ cosA，tanA是∠A的函数，大小由∠A的度数决定， 即与三角形的形状有关，与大小无关
▪ 在直角三角形中，因为0<a<c，
所以0< cosA <1, 0< tanA <1
sinAA斜 的边 对边ac coAsA斜 的边 邻边 bc
B
B 试着完成图（2）
3
13
5
A
4
C
(1)
C
A
(2)
解：如图1）（，在 RtABC中，
AB AC2 BC2 42 32 5.
因此sinA BC3， sinB AC4.
AB 5
AB 5
5、如图，在△ABC中， AB=CB=5，
4
sinA= ，求△ABC 的面积。
5
B
5
5
A
D
C
B
2
1
C
30° A
3
第28章 锐角三角函数
直角三角形有哪些知识？
B
c
a
A
bC
情
问题1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机 井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，
境 对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成
探
角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需 要准备多长的水管思？考：你能将实际问题归结为数学问题吗？
解 tanAO 3OB 3,
OBOB
O
B
60 .
当A，B为锐角 时，若A≠B，则
sinA≠sinB, cosA≠cosB, tanA≠tanB.
B
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，
7
BC 7,AC 21，
A
C
求∠A、∠B的度数．
21
2、求适合下列各式的锐角α
(1 )3 t an3 ( 22) s i n10
对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，
即
sinAA斜 的边 对边ac
c 斜边
B
a 对边
A
bC
例如，当∠A＝30°时，我们有
sinAsin301 2
当∠A＝45°时，我们有
sinAsin45 2 2
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
注意
▪ sinA是一个完整的符号，不表示“sin”乘以“A”。它表 示∠A的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”；
tan30°=
A的对边 3 A的邻边3
新知探索: 60°角的三角函数值
B
∠B的对边 3
2
1
sin60°= 斜边 = 2
C
30° A
∠B 的邻边 1
3
cos60°= 斜边 = 2
tan60°=
∠B的 对 边 ∠B的 邻 边 =
3
.
新知探索: 45°角的三角函数值
B
2
1
45°
A
C
1
sin45°=
A的对边 2 斜边 2
2
上的中线，AC=2，BC=4，则sin∠DAC=__2 _.
4、在Rt△ABC中, ∠C=90°, a 3 ,
则sin∠A=__3_0°.
b3
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
余弦（cosine），记作cosA， 即
coAsA斜 的边 邻边 bc
斜边c
B 对边a
A 邻边b C
★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的
正切（tangent），记作tanA， 即
tanA A A的 的邻 对边 边 ba
注意
▪ cosA，tanA是一个完整的符号，不表示“cos”乘以“A”， tanA不表示“tan”乘以“A” 它表示∠A的余弦、正切，符号里习惯省去角的符号“∠”；
1
2
2
3
2
2
cos a
3
2
1
2
2
2
tan a
3
1
3
3
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A
C
∠A＝∠A’＝ α
B' 所以Rt△ABC∽Rt△A’B’C’
A'
C'
∴BC=
AB ,
B'C' A'B'
即BC=
B'C' .
AB A' B'
探究
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数 一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与 斜边的比都是一个固定值．
正弦
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的
解：原 (1式 )2( 3)2 22
1
（2）cos45 sin45
tan4
5
解：原 式 2 21 22
0
求下列各式的值：
（ 1 ） 12si3 n0 co 3 s； 0
（ 2 ） 3 ta 3 n 0 ta 4 n 5 2 s6 i n ； 0
（3）co6s0 1 ； 1sin60 tan30
(32)co2s11
3、已2知 c os 3（ 0 为锐角）， 求t an的值。
4、如图,△ABC中,∠C=900,BD平分∠ABC,
BC=12,BD= 8 3 ,求∠A的度数及AD的长.
A
D
B
C
小结：30°、45°、60°角的正弦值、余弦
值和正切值如下表：
锐角a
三角函数
30°
45°
60°
sin a
也是一个固定值.
2
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的 对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究 任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得
∠C＝∠C’＝90°，∠A＝∠A‘＝α ，那么 BC AB
有什么关系．你能解释一下吗？
BC AB
与B 'C '
A'B '
B
由于∠C＝∠C’＝90°，
究
B
C A
这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， BC＝35m，求AB的长.
B
根据“在直角三角形中，
30°角所对的直角边等于斜
边的一半”，即
A
C
∠A的对边 BC 1 斜边=AB=2.
可得 AB=2BC=70m，即需要准备70m长的水管。
cos45°= A的邻边 2
斜边 2
tan45°= A的对边1 A 的 邻 边
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切 值如下表：
锐角A 三角函数
30°
45°
60°
sin A
1
2
2
3
2
2
cos A
3
2
1
2
2
2
tan A
3
1
3
3
例1 求下列各式的值： sin260表示（ sin60）2，
（1）cos260°＋sin260° 即(sin60)(sin60).
在上面的问题中，如果使出水口的高度为 50m，那么需要准备多长的水管？
结论：在一个直角三角形中，
如果一个锐角等于30°，那么
A
不管三角形的大小如何，这个
角的对边与斜边的比值都等
于
1 2
。
B' B
50m 30m
C C'
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°
时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角
的对边与斜边的比都等于 2 。