有理数与无理数

谈谈有理数与无理数
实数通常分为有理数和无理数两类。

这两类数的性质，对于九年义务教育
阶段的初中学生来说，知道得较少。

本文试图对初中数学中关于有理数和无理
数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。

关于有理数，我们知道得较多，其特征有：
1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数；
m
2、每个有理数都可以写成分数的形式，即，其中m和n都是整数，且
n
n≠0。

利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数
不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。

我们不加证明地给出关于有理数的一条结论：
m
当有理数的分母n能分解质因数为2α×5β（其中α、β为自然数）n
m
时，有理数能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。

（关于有理数与小n
数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述）
2无理数是指那些无限不循环小数。

大家熟悉的无理数很多，、e、π等
等都是。

与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。

譬如，两个无理数的四
2
则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，=1。

2
根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处
理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用：
1、任何有理数≠任何无理数；
2、设是a有理数，b是无理数，则a+b，a-b，a·b（a≠0），a/b（a≠0）
都是无理数。

下面着重介绍实数无理性的判定方法。

在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算2311
有关，如，；与对数值有关，如log23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e（自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。

判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。

原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”
这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数
m
和无理数的关系，α就是有理数，故α=（n≠0），于是就得到一个具体的
n
等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。

下面我们介绍几种常见的初
等方法，主要适用于前三类无理数的判定。

一、利用整数的性质
整数特别是整数的奇偶性在判定实数的无理性方面起着重要的作用。

例1 求证：是无理数。

6证明：反证法。

设是有理数，则=
（为既约分数）。

将两边平66n m n m 方并整理，得6n 2=m 2， （1）由于6n 2是偶数，因此m 2是偶数，从而m 是偶数，设m=2k ，代入（1）式，得6n 2=4k 2， （2）化简得3n 2=2k 2。

同理3n 2也是偶数，而3是奇数，所以n 是偶数。

这与原假设为既约分数矛盾。

故是无理数。

n m 6请证明：+是无理数。

23二、利用算术基本定理算术基本定理是数论中的重要定理，它不仅在数论而且在其它数学问题中都有着广泛的应用。

有时它也被称作整数的唯一分解定理，内容如下：对于任意的自然数N （N ≠0，1），它总可以唯一地分解成一些质数相乘的形式。

即N=p 1p 2…p s ，其中p 1、p 2、…、p s 都是质数，并且p 1≤p 2≤…≤p s 。

例2 求证：是无理数。

2证明：反证法。

设是有理数，则= （其中m 和n 都是自然数）。

22n m 将两边平方并整理，得2n 2=m 2。

（1）由于m 和n 都是自然数，则根据算术基本定理，它们都可以分解为质数的乘积，设m=p 1p 2…p s ，n=q 1q 2…q t
其中每一个p 和q 都是质数。

代入（1）式，得
2（q 1q 2…q t ）2=（p 1p 2…p s ）2， （2）由于2也是质数，故（2）式的左右两边均是一些质数的乘积，并且结果都是自然数，既然相等，那么左右两边质数个数应该相同。

但这是不可能的，因为（2）式左边共有2t+1个质数，而右边却是2s 个质数，奇数不可能等偶数。

说明我们假设是有理数是错误的。

故是无理数。

22从以上的证明过程可以发现，2的作用就在于它是一个质数，这样可以推想：对于任意的质数p ，p 都是无理数。

与根式有关的无理数还有很多，基本上都有可以利用算术基本定理解决。

下面的两个问题更具有一般性。

问题1 若n ，N 均是自然数（n ≠0，1），而且不是整数，则是无n N n N 理数。

问题2 幂函数y=（n ＞1的自然数），当x 取无理数时，y 值必为无理n x 数；而仅当x 表成既约正分数的分子和分母均是整数的n 次完全乘方数时，y 值才是有理数。

请证明：是无理数。

10例3 求证：log 221是无理数。

证明：反证法。

设log 221是有理数，即log 221= （其中m 和n 都是自然n m 数）。

由对数定义，得
=21，n m
2两边n 次方，得2m =21n ，由于21=3·7，则2m =3n ·7n 。

显然这个等式是不能成立的，因为2，3，7都是质数，这样等式左右两边出现的质因数不相同，这与算术基本定理矛盾。

故log 221是无理数。

关于对数值的无理性有以下结果：设a ，b 均为正整数，并且其中之一包含的某个质因数不为另一个所包含，则log a b 是无理数。

三、利用整系数方程有理根的性质
在一元多项式方程的理论中，有一个关于整系数一元方程是否有有理根的重要定理，即
设一元k 次方程为
n 0x k +n 1x k-1+…+n k-1x+n k =0 （*）其中n 0，n 1，…n k-1，n k 均是整数，这样的方程称为整系数方程。

如果 n
m （n ≠0）是方程（*）的一个有理数根，则
（1）m 一定是n k 的约数；
（2）n 一定是n 0的约数。

在利用这个定理判定实数α的无理性时，需有以下三个步骤：
（1）构造一个整系数多项式方程，使得α是它的根；
（2）求出n 0和n k 的所有因数，只有它们的组合才能是方程的有理根；
（3）检验这些组合是否为方程的根，于是或者方程没有有理数根，而α是方程的根，故α为无理数；或者方程有有理数根，但经比较这些有理根都与α不相等，从而α为无理数。

例4 求证：cos20°是无理数。

证明：讨论三角函数值的无理性时，三角函数公式起着非常重要的作用。

首先注意到余弦函数的三倍角公式，即cos3θ=4cos 3θ-3cos θ，将θ=20°代入公式，有
cos60°=4cos 320°-3cos20°，由于cos60°=，则有2
1=4cos 320°-3cos20°，整理，得218cos 320°-6cos20°-1=0， （1）
这说明cos20°是整系数方程8x 3-6x-1=0的根。

由定理方程（1）若有有理根，则m 一定是-1的因数，n 是8的因数，从而只可能是±1，±，±n m n m 21，±，逐一检验可知，它们均不满足方程（1），故方程（1）只可能有无理4181根，即cos20°是无理数。

请证明：-是无理数。

323四、利用“有理数不等于无理数”这一基本性质例5 设m 和n 是两个正有理数，并且和都是无理数。

求证：+
m n m 是无理数。

n 证明：首先我们知道有
（+）（-）=m -n （1）m n m n 和（+）+（-）=2 （2）m n m n m 设+是有理数。

则由（1）式，得m n -=，由于+是有理数，m -n 也是有理数，则根m n n
m n
m +-m n 据有理数的性质，-也必是有理数；进一步由（2）式，得m n （+）+（-）=2是有理数，这显然与已知是无理m n m n m m 数矛盾。

故+是无理数。

m n 由以上证明可以看出：+和-的有理性无理性是相同的。

作m n m n 为特例有+和-都是无理数。

2323一般地，请证明：++…+（n 是大于1的自然数）是无理数。

23n 例6 求证：若有有理数a ，b ，c 使得a+b +c =0 （1）23
成立，则a=b=c=0。

证明：反证法。

分情况讨论如下：i)a ，b ，c 中只有一个不为0。

当a ≠0，b=c=0时，有a=0，矛盾；
当b ≠0，a=c=0时，有b =0，矛盾；2当c ≠0，a=b=0时，有c =0，矛盾。

3ii)a ，b ，c 中恰有两个不为0。

当a=0，b ，c ≠0时，有有理数=-，易证-是无理数，矛盾；b c 3232当b=0，a ，c ≠0时，有有理数=-，矛盾；c a 3当c=0，a ，b ≠0时，有有理数=-，矛盾。

b a 2iii)a ，b ，c 全不为0。

那么（1）式可变形为
a+b =-c （2）23将（2）式两边平方，得
（a+b ）2=（-c ）2，23整理为a 2+2ab+2b 2=3c 2,2将用a ，b ，c 表示，有2= （3）2ab b a c 2232
22--（3）式左边是一个无理数；由于a ，b ，c 均为不为0的有理数，从而右边是一个有理数，出现“无理数=有理数”的情形，矛盾。

综上述，待证结论正确。

作为结束，我们再给出一个是无理数的例子。

例7 求证：无限小数A=0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）是无理数。

证明：反证法。

若A 是有理数，则它必是无限循环小数。

设其循环节的长度为t ，显然t ≠1。

一方面，根据A 的构造，102t+1一定出现在A 的某一位置上，即在A 中有一个包含2t+1个0的片断，而在这个片断中至少包含一个循环节。

而另一方面，A 的循环节内不可能每个数字都是0。

此矛盾说明A 是一个无理数。

一般地，可证明：无限小数 (a ，b ，c 为数字，
b c c b c c bcb a A c
s c s 个个121.++=b ≠c ，s 为大于0的自然数，相邻两个b 之间c 的个数逐次加s)是无理数。

请证明：无限小数B=0.12345678910111213…（小数部分由相继的正整数组成）是无理数。

最后请论证sin1°也是无理数。