河南省罗山高中老校区2025届高三(最后冲刺)数学试卷含解析

河南省罗山高中老校区2025届高三（最后冲刺）数学试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若实数x ，y 满足条件25024001
x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-，则z 的最大值为( )
A ．
5
2
B ．1
C ．2
D ．0
2．复数
12i
i
--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动， 且AB 总是平行于x 轴， 则FAB ∆的周长的取值范围是（ ）
A ．(6,10)
B ．(8,12)
C ．[6,8]
D ．[8,12]
4．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( ) A 3B 3C 6D ．
62
5．已知圆22670x y x +--=与抛物线()2
20y px p =>的准线相切，则p 的值为（）
A ．1
B ．2
C ．
12
D ．4
6． 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪
≥=+⎨⎪≤⎩
，则的取值范围是
A ．[0,6]
B ．[0,4]
C ．[6, +∞）
D ．[4, +∞）
7．命题p ：2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+≥∈R 的否定为
A ．2
00
0(1,2],20()x x x a a ∃∈--+≥∈R B ．2(1,2],20()x x x a a ∀∈--+<∈R C ．2
00
0(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R D ．2(1,2],20()x x x a a ∀∉--+<∈R
8．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
9．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ） A ．若m //α，α//β，则m //β或m β⊂ B ．若m //
n ，m //α，n α⊄，则n //α
C ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥
D ．若m n ⊥，m α⊥，则n //
α
10．设i 为数单位，z 为z 的共轭复数，若1
3z i
=
+，则z z ⋅=（ ） A ．
110
B ．
110
i C ．
1100
D ．
1100
i 11．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）
A ．
203
π B ．6π
C ．
103
π D ．
163
π 12．复数()()2a i i --的实部与虚部相等，其中i 为虚部单位，则实数a =( )
A ．3
B ．13
-
C ．12
-
D ．1-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟.
14．某种圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位，当它的底面半径和高的比值为______.时，可使得所用材料最省. 15．我国古代数学著作《九章算术》中记载“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”设人数、物价分别为x 、y ，满足83
74
x y x y =+⎧⎨
=-⎩，则x =_____，y =_____．
16． “六艺”源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”．某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两讲座必须相邻的不同安排种数为________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x 与烧开一壶水所用时间y 的一组数据，且作了一定的数据处理（如下表），得到了散点图（如下图）.
x
y
w
()
10
2
1
i
i x x =-∑
()
10
2
1
i
i w w =-∑
()()10
1
i
i
i x x y y =--∑
()()10
1
i
i
i w w y y =--∑
1.47 20.6 0.78
2.35 0.81 19.3- 16.2
表中21i i w x =，10
1
110i i w w ==∑.
（1）根据散点图判断，y a bx =+与2d y c x
=+哪一个更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程
类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（3）若单位时间内煤气输出量t 与旋转的弧度数x 成正比，那么，利用第（2）问求得的回归方程知x 为多少时，烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据()()()()112233,,,,,,
,,n n u v u v u v u v ，其回归直线ˆˆv u αβ
=+的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为()()
()
1
2
1
ˆn
i
i
i n
i
i u u v v u u β
==--=-∑∑，ˆv u α
β=- 18．（12分）对于给定的正整数k ，若各项均不为0的数列{}n a 满足：()2111
1k
n k n k n n n k n k n a a a a a a a --+-++-+⋅⋅⋅=对
任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()Q k 数列”. （1）证明：等比数列{}n a 是“(3)Q 数列”；
（2）若数列{}n a 既是“(2)Q 数列”又是“(3)Q 数列”，证明：数列{}n a 是等比数列.
19．（12分）如图所示,直角梯形ABCD 中,AD BC ∥,AD AB ⊥,22AE AB BC AD ====,四边形EDCF 为矩形,3CF =.
（1）求证:平面ECF ⊥平面ABCD ;
（2）在线段DF 上是否存在点P ,使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为15
10
,若存在,求出线段BP 的长,若不存在,请说明理由.
20．（12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121()n n a S n N *
+=+∈
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）在n a 和1n a +之间插入n 个实数，使得这2n +个数依次组成公差为n d 的等差数列，设数列1
{}n
d 的前n 项和为n T ，求证：2n T <.
21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线l 的参数方程为22cos 323cos 2x y θθ=+⎧⎪
⎨=+⎪⎩
（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ. （1）求曲线C 的普通方程；
（2）求曲线l 和曲线C 的公共点的极坐标.
22．（10分）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为边长为2的菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E 是BC 的中点，PA AB =．
（Ⅰ） 证明：AE PD ⊥；
（Ⅱ） 若F 为PD 上的动点，求EF 与平面PAD 所成最大角的正切值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值. 【详解】
若实数x ，y 满足条件25024001
x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-
如图：
当3
,12
x y =
=时函数取最大值为2 故答案选C 【点睛】
求线性目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值:
当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小； 当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 2、A 【解析】
试题分析：由题意可得：
131
255i i i -=--. 共轭复数为3155
i +，故选A. 考点：1.复数的除法运算;2.以及复平面上的点与复数的关系 3、B 【解析】
根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出AF ；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得B 点横坐标的取值范围，即可由FAB ∆的周长求得其范围. 【详解】
抛物线28y x =，则焦点()2,0F ，准线方程为2x =-， 根据抛物线定义可得2A AF x =+，
圆()2
2
216x y -+=，圆心为()2,0，半径为4，
点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆224120x y x +--=的实线部分上运动，解得交点横坐标为2.
点A 、B 分别在两个曲线上，AB 总是平行于x 轴，因而两点不能重合，不能在x 轴上，则由圆心和半径可知()2,6B x ∈， 则FAB ∆的周长为246A B A B AF AB BF x x x x ++=++-+=+，
所以()68,12B x +∈， 故选：B. 【点睛】
本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题. 4、D 【解析】
将AO 、EC 用AB 、AC 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅中计算即可. 【详解】
由0OA OB OC ++=，知O 为ABC ∆的重心，
所以211
()323
AO AB AC =
⨯+=()AB AC +，又2AE EB =， 所以2
3
EC AC AE AC AB =-=-，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅2()3AC AB -
2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅，所以22
23AB AC =，||3622||
AB AC λ=
==.
故选：D 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题. 5、B 【解析】
因为圆22670x y x +--=与抛物线()2
20y px p =>的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心
到直线的距离等于 半径，可知p 的值为2，选B. 【详解】 请在此输入详解！ 6、D 【解析】
解：x 、y 满足约束条件，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由
解得C （2，1），
目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）． 故选D ．
7、C 【解析】
命题p 为全称命题，它的否定为特称命题，将全称量词改为存在量词，并将结论否定，可知命题p 的否定为
2000(1,2],20()x x x a a ∃∈--+<∈R ，故选C ．
8、C 【解析】
分析：根据复数的运算，求得复数，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案． 详解：由题意，复数
，则
所以复数在复平面内对应的点的坐标为
，位于复平面内的第三象限，故选C ．
点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四则运算求解复数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 9、D 【解析】
根据线面平行和面面平行的性质，可判定A ；由线面平行的判定定理，可判断B ；C 中可判断α，β所成的二面角为
090；D 中有可能n ⊂α，即得解.
【详解】 选项A ：若m //α，α//β，根据线面平行和面面平行的性质，有m //β或m β⊂，故A 正确； 选项B ：若m //
n ，m //α，n α⊄，由线面平行的判定定理，有n //α，故B 正确；
选项C ：若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，故α，β所成的二面角为090，则αβ⊥，故C 正确； 选项D ，若m n ⊥，m α⊥，有可能n ⊂α，故D 不正确. 故选：D
【点睛】
本题考查了空间中的平行垂直关系判断，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于中档题. 10、A 【解析】
由复数的除法求出z ，然后计算z z ⋅． 【详解】
13313(3)(3)1010
i z i i i i -=
==-++-， ∴223131311()()()()10101010101010
z z i i ⋅=-+=+=． 故选：A. 【点睛】
本题考查复数的乘除法运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键． 11、C 【解析】
由三视图可知，该几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，所以，半圆柱的体积为2112122V ππ=
⨯⨯⨯=，上部半圆锥的体积为2211422233V π
π=⨯⨯⨯=，所以该几何体的体积为12410233
V V V ππ
π=+=+=，故应选C ．
12、B 【解析】
利用乘法运算化简复数()()2a i i --即可得到答案. 【详解】
由已知，()()221(2)a i i a a i --=--+，所以212a a -=--，解得13
a =-. 故选：B 【点睛】
本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、7.5 【解析】
分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数. 【详解】
76+147+158410
7.5714154
⨯⨯⨯+⨯=+++
故答案为：7.5 【点睛】
此题考查求平均数，关键在于准确计算出所有数据之和，易错点在于概念辨析不清导致计算出错. 14、
12
【解析】
设圆柱的高为h ，底面半径为r ，根据容积为128π个立方单位可得2128r h ππ=，再列出该圆柱的表面积，利用导数求出最值，从而进一步得到圆柱的底面半径和高的比值． 【详解】
设圆柱的高为h ，底面半径为r .
∵该圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位 ∴2128r h ππ=，即2
128
h r =
. ∴该圆柱形的表面积为2
2
2
212825622222S r rh r r r r r
ππππππ=+=+⋅=+. 令()2
2562g r r r ππ=+
，则()2
2564g r r r
ππ'=-. 令()0g r '>，得4r >； 令()0g r '<，得04r <<.
∴()g r 在()0,4上单调递减，在()4,+∞上单调递增. ∴当4r =时，()g r 取得最小值，即材料最省，此时1
2
r h =. 故答案为：12
. 【点睛】
本题考查函数的应用，解答本题的关键是写出表面积的表示式，再利用导数求函数的最值，属中档题． 15、7 53 【解析】
利用已知条件，通过求解方程组即可得到结果． 【详解】
设人数、物价分别为x 、y ，满足8374x y x y =+⎧⎨=-⎩
，解得7x =，53y =. 故答案为：7；53.
【点睛】
本题考查函数与方程的应用，方程组的求解，考查计算能力，属于基础题．
16、24
【解析】
分步排课，首先将“礼”与“乐”排在前两节，然后，“射”和“御”捆绑一一起作为一个元素与其它两个元素合起来全排列，同时它们内部也全排列．
【详解】
第一步：先将“礼”与“乐”排在前两节，有222A =种不同的排法；第二步：将“射”和“御”两节讲座捆绑再和其他两艺全排有232312A A =种不同的排法，所以满足“礼”与“乐”必须排在前两节，“射”和“御”两节讲座必须相邻的不同安排种数为22322324A A A =．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查排列的应用，排列组合问题中，遵循特殊元素特殊位置优先考虑的原则，相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）选取2d y c x =+
更合适；（2）2
205y x =+；（3）2x =时，煤气用量最小. 【解析】 （1）根据散点图的特点，可得2
d y c x =+
更适合； （2）先建立y 关于w 的回归方程，再得出y 关于x 的回归方程； （3）写出函数关系，利用基本不等式得出最小值及其成立的条件.
【详解】
（1）选取2d y c x
=+
更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型； （2）y c dw =+
由公式可得：()()()10
1102116.2ˆ200.81
i i
i i
i w w y y d w w ==--===-∑∑， ˆˆ20.6200.785c
y dw =-=-⨯=， 所以所求回归直线方程为：2
205y x =+
； （3）根据题意，设,0t kx k =>，
则煤气用量220205520k S yt kx kx k x x ⎛⎫===+≥+
= ⎪⎝⎭， 当且仅当205k kx x
=时，等号成立， 即2x =时，煤气用量最小.
【点睛】
此题考查根据题意求回归方程，利用线性回归方程的求法得解，结合基本不等式求最值.
18、（1）证明见详解；（2）证明见详解
【解析】
（1）由{}n a 是等比数列，由等比数列的性质可得：
32112333222222311n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ---+++-+-++⨯-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅即可证明.
（2）{}n a 既是“(2)Q 数列”又是“(3)Q 数列”，可得2122412n n n n n n a a a a a a ⨯--++⋅===⋅⋅，
321123623n n n n n n n n a a a a a a a a ---+++⨯=⋅⋅=⋅，则233n n n a a a -+⋅=对于任意()4n N n *∈≥都成立，则345,,,,a a a 成等比数列，设公比为q ，验证1223,a q a a q a ==得答案.
【详解】
（1）证明：由{}n a 是等比数列，由等比数列的性质可得：
32112333222222311n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ---+++-+-++⨯-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅
∴等比数列{}n a 是“(3)Q 数列”.
（2）证明：{}n a 既是“(2)Q 数列”又是“(3)Q 数列”，
可得2112224n n n n n n a a a a a a --++⨯⋅⋅=⋅=，（3n ≥） （*）
321123623n n n n n n n n a a a a a a a a ---+++⨯=⋅⋅=⋅，（4n ≥）
可得：233n n n a a a -+⋅=对于任意()4n N
n *∈≥都成立， 即33,,,
,n n n a a a -+ 成等比数列， 即147,,,,a a a 成等比数列，
258,,,,a a a 成等比数列，
369,,,,a a a 成等比数列，
设33n n a a q -=⋅，（0q ≠）
数列{}n a 是“(2)Q 数列”
3n ∴=时，由（*）可得：
224124533a a a a a a ⨯⋅==⋅⋅
4n ∴=时，由（*）可得：
224235644a a a a a a ⨯⋅==⋅⋅，
可得34a q a ⋅=，同理可证45a q a ⋅=
∴345,,,,a a a 成等比数列，
∴ 数列{}n a 是等比数列
【点睛】
本题是一道数列的新定义题目，考查了等比数列的性质、通项公式等基本知识，考查代数推理、转化与化归以及综合运用数学知识探究与解决问题的能力，属于难题.
19、（1）见解析；（2）存在，长【解析】
（1）先证CF ⊥面ABCD ,又因为CF ⊂面BCF ,所以平面ECF ⊥平面ABCD .
（2）根据题意建立空间直角坐标系. 列出各点的坐标表示,设DP DF λ=,则可得出
向量()
1,2BP λλ=---,求出平面ABE 的法向量为(),,n x y z =,利用直线与平面所成角的正弦公式sin cos ,BP n
BP n BP n θ⋅==⨯列方程求出0λ=或34
λ=,从而求出线段BP 的长. 【详解】
解:（1）证明:因为四边形EDCF 为矩形, ∴3DE CF ==. ∵222AD DE AE +=∴DE AD ⊥ ∴DE CD ⊥∴DE ⊥面ABCD
∴CF ⊥面ABCD
又∵CF ⊂面BCF
∴平面ECF ⊥平面ABCD
（2）取D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系.
如图所示:则()1,0,0A ,()1,2,0B ,()1,2,0C -,()0,0,3E ,()1,2,3F -,
设()1,2,3DP DF λλ==-(),2,3λλλ=-,[]0,1λ∈;
∴(),2,3P λλλ-,()1,22,3BP λλλ=---,
设平面ABE 的法向量为(),,n x y z =,
∴23020x y z y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩
,不防设()3,0,1n =. ∴sin cos ,BP n θ==BP n
BP n ⋅=⨯()()()
()22231312232λλλλλ--+--+-+⨯1510=, 化简得2860λλ-=,解得0λ=或34λ=
; 当0λ=时,()1,2,0BP =--,∴5BP =;
当34λ=时,7133,,424BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
,∴5BP =; 综上存在这样的P 点,线段BP 的长5.
【点睛】
本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用,考查利用线面所成角求参数问题,是几何综合题,考查空间想象力以及计算
能力.
20、（Ⅰ）13-=n n a ；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）121n n a S +=+，121(2)n n a S n -=+，两式相减化简整理利用等比数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）由题设可得1(1)n n n a a n d +=++，可得1111123n n n n n n d a a -+++==-，利用错位相减法即可得出． 【详解】
解：（Ⅰ）因为121n n a S +=+，故121(2)n n a S n -=+≥，两式相减可得， 112()2(2)n n n n n a a S S a n +--=-=≥，故13(2)n n a a n +=≥，
因为{}n a 是等比数列，∴213a a =，又2121a a =+，所以11321a a =+，
故11a =，所以13-=n n a ；
（Ⅱ）由题设可得1(1)n n n a a n d +=++，所以
1111123n n n n n n d a a -+++==-⋅， 所以213411232323n n n T -+=++++⋅⋅⋅，① 则21113133232323
n n n n n T -+=++++⋅⋅⋅，② ①－②得：21211111323232323n n n
n T -+=+++-⋅⋅⋅⋅， 111(1)1233112313
n n n --+⋅=+-⋅- 所以115251528838
n n n T -+=-
<<⋅，得证. 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21、（1）22(2)4x y +-=（2）3
π)． 【解析】
（1）利用极坐标和直角坐标的转化公式cos ,sin x y ρθρθ==求解.
（2）先把两个方程均化为普通方程，求解公共点的直角坐标，然后化为极坐标即可.
【详解】
（1）∵曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，
∴24sin ρρθ=，则224x y y +=,
即22(2)4x y +-=.
（2
）22222cos 2cos 121)22x y αααα⎧=+=+⎪⎪⎨⎪==+⎪⎩
，
∴y =，1x >
联立22(2)4x y +-=
可得223x x +=，
0x =
（舍）或x
公共点
3)，化为极坐标
3π)． 【点睛】
本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及交点的求解，熟记极坐标和直角坐标的转化公式是求解的关键，交点问题一般是统一一种坐标形式求解后再进行转化，侧重考查数学运算的核心素养.
22、（Ⅰ）见解析；
（Ⅱ）
2【解析】
试题分析：（Ⅰ）由底面ABCD 为边长为2的菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，易证AE ⊥平面PAD ，可得AE PD ⊥；（Ⅱ）连结AF ，由（Ⅰ）易知AFE ∠为EF 与平面PAD 所成的角，在Rt PAD ∆
中，可求得tan AE AFE AF ∠==试题解析：（Ⅰ）∵ 四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒，
∴ABC ∆为正三角形，又E 为BC 中点，
∴AE BC ⊥；又//AD BC ，
∴AE AD ⊥，
∵PA ⊥平面ABCD ，又AE ⊂平面ABCD ，
∴PA AE ⊥，
∴AE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，
∴AE PD ⊥；
(Ⅱ)连结AF ，由（Ⅰ）知AE ⊥平面PAD ，
∴AFE ∠为EF 与平面PAD 所成的角，
在Rt AEF ∆中，3AE =AFE ∠最大当且仅当AF 最短， 即AF PD ⊥时AFE ∠最大，
依题意，此时，在Rt PAD ∆中，PA AD PD AF ⋅=⋅， ∴2AF =，6tan AE AFE AF ∠== ∴EF 与平面PAD 6 考点：1.线线垂直证明；2.求线面角.。