2021_2022学年新教材高中数学第3章排列组合与二项式定理3.3第1课时二项式定理课件新人教B版

类型 3 求展开式中的特定项
1．如何求x＋1x4展开式中的常数项？ [提示] 利用二项展开式的通项 Cr4x4－r·x1r＝Cr4x4－2r 求解，令 4－2r ＝0，则 r＝2，所以x＋1x4展开式中的常数项为 C24＝4×2 3＝6．
2．(a＋b)(c＋d)展开式中的每一项是如何得到的？ [提示] (a＋b)(c＋d)展开式中的各项都是由 a＋b 中的每一项分 别乘以 c＋d 中的每一项再把积相加而得到．
则 10－2r＝3k，即 r＝5－23k．∵r∈Z，∴k 应为偶数， k＝2,0，－2，即 r＝2,5,8， 所以第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项， 它们分别为 405x2，－61 236,295 245x－2．
1．求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第 r 项，Tr＝Crn－1an－r＋1br－1； (2)求含 xr 的项(或 xpyq 的项)； (3)求常数项； (4)求有理项．
单问题．(重点、难点)
养．
情境导学·探新知
三个箱子均装着标有 a，b 字母的两个大小，形状一样的球，从 每个箱子摸出一个球，共摸出 3 个球，有哪些可能结果？每一种结果 有多少种情形？
问题：类比上述结果你能联想出(a＋b)3 展开式的形式吗？
[提示] (a＋b)3＝C03a3·b0＋C13a2b＋C23a·b2＋C33a0b3．
[跟进训练]
1．(1)求3
x＋ 1x4的展开式；
(2)化简：1＋2C1n＋4C2n＋…＋2nCnn．
[解]
(1)法一：3
x＋ 1x4＝C04(3
x)4＋C14(3
x)3
·1x＋C24(3
x)2·
1x2＋C34(3
x)
1x3＋C44
1
4
x
＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12．
法二：3
3．如何求x＋1x(2x＋1)3 展开式中含 x 的项？ [提示] x＋1x(2x＋1)3 展开式中含 x 的项是由 x＋1x中的 x 与1x分 别与(2x＋1)3 展开式中常数项 C33＝1 及 x2 项 C1322x2＝12x2 分别相乘再
把积相加得 x·C33＋1x·C13(2x)2＝x＋12x＝13x．即x＋1x(2x＋1)3 展开式中 含 x 的项为 13x．
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4．(1－x)10 的展开式中第 7 项为________． 210x6 [T7＝C610(－x)6＝210x6．]
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5．化简：C0n2n＋C1n2n－1＋…＋Ckn2n－k＋…＋Cnn＝________． 3n [原式＝(1＋2)n＝3n．]
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回顾本节内容，自我完成以下问题： 1．二项式定理有何特点？ [提示] 展开式的特点：(1)展开式共有 n＋1 项，各项中 a，b 的 指数和都是 n；(2)a 按降幂排列，指数由 n 逐项减 1 直到 0；b 按升 幂排列，指数由 0 逐项加 1 直到 n．(3)二项展开式的通项公式中 b 的 指数和组合数的上标相同，a 与 b 的指数之和为 n．
[跟进训练]
3．(1)在(1－x3)(1＋x)10 的展开式中，x5 的系数是________．
(2)若x－ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2a6展开式的常数项为
60，则常数
a
的值为________．
(1)207 (2)4 [(1)x5 应是(1＋x)10 中含 x5 项、
含 x2 项分别与 1，－x3 相乘的结果，
∴其系数为 C510＋C210(－1)＝207．
【例 3】 已知在3 x－33xn的展开式中，第 6 项为常数项． (1)求 n； (2)求含 x2 项的系数． [思路点拨] 写出通项Tr＋1 → 令r＝5，x的指数为零 → 1求出n值 → 修正通项公式 → 2求x2项的系数
[解] 通项公式为：
n－r
－r
n－2r
Tr＋1＝Crnx 3 (－3)rx 3＝Crn(－3)rx 3 ．
1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定 理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．
2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便． 3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对 于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以 及各项的系数．
[提示] 二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念． 二项式系数是指 C0n，C1n，…，Cnn，而项的系数是指该项中除了 变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与 a，b 的值 有关．
2．二项式(a＋b)n 与(b＋a)n 展开式的第 k＋1 项是否相同？
[提示] 不同．(a＋b)n 展开式中第 k＋1 项为 Cknan－kbk，而(b＋a)n 展开式中第 k＋1 项为 Cknbn－kak．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(a＋b)n 展开式中共有 n 项．
()
(2)在公式中，交换 a，b 的顺序对各项没有影响．
()
(3)Crnan－rbr 是(a＋b)n 展开式中的第 r 项．
()
(4)(a－b)n 与(a＋b)n 的二项式展开式的二项式系数相同． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
(2)Tr＋1＝Cr9x9－r·－1xr＝(－1)r·Cr9·x9－2r， 令 9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含 x3，其系数为(－1)3·C39 ＝－84．
1．二项式系数都是组合数 Crn(r＝0,1,2，…，n)，它与二项展开 式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式 展开式中“项的系数”这两个概念．
二项式定理
二项式通 Crnan－rbr 是展开式中的第 r＋1 项，可记做 Tr＋1＝Crnan－ 项 rbr(其中 0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)
二项展开 C0nan＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N
式
＋)
1．二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗？
2．(x＋1)n 的展开式共 11 项，则 n 等于( )
A．9
B．10
C．11
D．12
B [由 n＋1＝11，可知 n＝10．]
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 二项式定理的正用、逆用 【例 1】 (1)用二项式定理展开2x－23x25； (2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)rCrn(x＋ 1)n－r＋…＋(－1)nCnn． [思路点拨] (1)二项式的指数为 5，且为两项的和，可直接按二 项式定理展开；(2)可先把 x＋1 看成一个整体，分析结构形式，逆用 二项式定理求解．
2．第 r＋1 项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项 式系数为 Crn．例如，在(1＋2x)7 的展开式中，第四项是 T4＝C3717－3(2x)3， 其二项式系数是 C37＝35，而第四项的系数是 C3723＝280．
[跟进训练]
2．求x3＋32x25的展开式的第三项的系数和常数项． [解] T3＝C25(x3)332x22＝C25·49x5，所以第三项的系数为 C25·94＝490． 通项 Tr＋1＝Cr5(x3)5－r32x2r＝23r·Cr5x15－5r，令 15－5r＝0，得 r＝3， 所以常数项为 T4＝C35(x3)232x23＝8207．
第三章 排列、组合与二项式定理
二项式定理与杨辉三角 第1课时 二项式定理
学习任务
核心素养
1．能用计数原理证明二项式定理．1．通过二项式定理的学习，培养
2．掌握二项式定理及二项展开式 逻辑推理的素养．
的通项公式．(重点)
2．借助二项式定理及展开式的通
3．能解决与二项式定理有关的简 项公式解题，提升数学运算的素
A．－27C610
B．27C410
C．－9C610
D．9C410
D [含 x6 的项是 T5＝C410x6(－ 3)4＝9C410x6．]
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2．在2x－31x8的展开式中常数项是(
)
A．－28 B．－7 C．7 D．28
C [Tr＋1＝Cr8·2x8－r·－31xr＝(－1)r·Cr8·128－r·x8－43r，当 8－43r＝0，
和第 6 项的系数；
(2)(对接教材 P33 习题 3-3AT2)求x－1x9的展开式中 x3 的系数．
[思路点拨] 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二
项展开式的通项公式进行求解．
[解] (1)由已知得二项展开式的通项为 Tr＋1 ＝Cr6(2 x)6－r·－1xr ＝(－1)rCr6·26－r·x3－32r， ∴T6＝－12x－92． ∴第 6 项的二项式系数为 C56＝6， 第 6 项的系数为 C56·(－1)·2＝－12．
知识点 二项式定理及相关的概念
二项式定理
概念
公式_(a_＋__b_)_n_＝__C_0n_a_n＋__C__1na_n_－_1b_＋__C__2na_n_－_2_b_2＋__…__＋__C__rna_n_－_r_b_r＋__…_ _＋__C_nn_b_n(_n_∈__N_＋_)_称为二项式定理
二项式系 各项系数 Crn (r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数 数
[解] (1)2x－23x25＝C05(2x)5＋C15(2x)4·－23x2＋…＋C55－23x25 ＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310． (2)原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋ Crn(x＋1)n－r(－1)r＋…＋Cnn(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn．
即 r＝6 时，T7＝(－1)6·C68·122＝7．]
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3．2x－3 14x6的展开式的中间项为(
)
A．－40 B．－40x2 C．40
B
[2x－3
1 6 的展开式的通项为
4x
Tk＋1＝Ck6(2x)6－k－
3
1 k ，
4x
D．40x2
则中间项为
T4＝C36(2x)3－3
14x3＝20×23×－41×x3－13×3＝－40x2．]
2．二项展开式的通项公式有哪些方面的应用？
[提示] 二项展开式的通项公式体现了二项展开式的项数、系 数、a 与 b 的指数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式 的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最 大项等)及系数等方面有着广泛的应用．
谢谢观看！
谢谢观看 THANK YOU!
(1)∵第 6 项为常数项，
∴r＝5 时，有n－32r＝0，即 n＝10．
(2)令10－3 2r＝2，得 r＝12(10－6)＝2，
∴所求的系数为 C210(－3)2＝405．
(变结论)求展开式中所有的有理项．
10－3 2r∈Z， [解] 由题意得，0≤r≤10，
r∈Z.
令10－3 2r＝k(k∈Z)，
2．求二项展开式的特定项的常用方法 (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项)； (2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数 恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指 数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解； (3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数 应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
(2)x－
x2a6的展开式的通项是
Tr＋1＝Cr6x6－r·(－ a)rx－2r＝Cr6x6－3r(－ a)r，
令 6－3r＝0，得 r＝2，
即当 r＝2 时，
Tr＋1 为常数项，即常数项是 C26a， 根据已知得 C26a＝60，解得 a＝4．]
当堂达标·夯基础
1．在(x－ 3)10 的展开式中，含 x6 的项的系数是( )
x＋ 1x4＝3x＋x2 14
＝x12(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)
＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12．
(2)原式＝1＋2C1n＋22C2n＋…＋2nCnn＝(1＋2)n＝3n．
类型 2 二项式系数与项的系数问题
【例 2】
(1)求二项式2
x－1x6的展开式中第 6 项的二项式系数