云南省保山市2021届新高考数学一模试卷含解析

云南省保山市2021届新高考数学一模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3578122()3()66a a a a a ++++=，则14S = A ．56 B ．66 C ．77 D ．78
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
根据等差数列的性质可得3578125102()3()6666a a a a a a a ++++=+=，即5a +1011a =， 所以11414
51014()
7()772
a a S a a +=
=+=，故选C ． 2．如图，在ABC ∆中，23AN NC =u u u v u u u v ，P 是BN 上一点，若13
AP t AB AC =+u u u v u u u v u u u v
，则实数t 的值为（ ）
A ．
2
3
B ．
25
C ．
16
D ．
34
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意，可根据向量运算法则得到25
AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r
，从而由向量分解的唯一性得出关于t
的方程，求出t 的值. 【详解】
由题意及图，()
()1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，
又，23AN NC =u u u r u u u r ，所以25AN AC =u u u r u u u r ，∴25
AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r ，
又AP =u u u r t 13AB AC +u u u r u u u r ，所以1215
3m t m -=⎧⎪
⎨=⎪⎩，解得m 56=，t 16=，
【点睛】
本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题. 3．如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA AD
=，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）
A．
2
6
B
．
3
C．
3
6
D．
2
3
【答案】C
【解析】
【分析】
分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz
-,再利用向量法求异面直线EF与BD所成角的余弦值.
【详解】
由题可知，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz
-. 设2
AD=.则
3
(2,2,0),(1,2,1),cos,
6
86
BD EF BD EF
=-=-〈〉==
⨯
u u u r u u u r u u u r u u u r
.
故异面直线EF与BD
3
故选：C
本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．已知实数,x y 满足,10,1,x y x y y ≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥-⎩
则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．
32
C ．1
D ．0
【答案】B 【解析】 【分析】
作出可行域，平移目标直线即可求解. 【详解】 解：作出可行域：
由2z x y =+得，1122y x z =-
+ 由图形知，11
22
y x z =-+经过点时，其截距最大，此z 时最大
10y x x y =⎧⎨
+-=⎩得121
2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，11,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 当121
2x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时，max 1232222z =+⨯=
故选：B 【点睛】
考查线性规划，是基础题.
5．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱
11B C 上任意一点，则22PM MN 的最小值为（ ）
A ．
22
B ．2
C ．3
D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】
取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111D C B A ，可得MFN ∆为等腰直角三角形，由APM AEM ∆≅∆，可
得PM EM =，当11MN B C ⊥时， MN 最小，由 2
2
MF MN =
，故()12
2222222PM MN PM MN EM MF AA ⎛⎫+=+=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭
，即可求解.
【详解】
取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111D C B A ，如图：
则APM AEM ∆≅∆，故PM EM =，
而对固定的点M ，当11MN B C ⊥时， MN 最小．
此时由MF ⊥面1111D C B A ，可知MFN ∆为等腰直角三角形，2
MF =
， 故()12
2222222PM MN PM MN EM MF AA ⎛⎫=+=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
6．设a r ，b r
是非零向量，若对于任意的R λ∈，都有a b a b λ-≤-r r r r 成立，则
A ．//a b
B ．a b ⊥v v
C ．()
-⊥r r r a b a
D ．()
-⊥a b b r
r r
【答案】D 【解析】 【分析】
画出a r ，b r ，根据向量的加减法，分别画出()a b λ-r r
的几种情况，由数形结合可得结果.
【详解】
由题意，得向量()a b -r r 是所有向量()a b λ-r r
中模长最小的向量，如图，
当AC BC ⊥，即()
-⊥a b b r r r 时，||AC 最小，满足a b a b λ-≤-r r r r
，对于任意的R λ∈，
所以本题答案为D. 【点睛】
本题主要考查了空间向量的加减法，以及点到直线的距离最短问题，解题的关键在于用有向线段正确表示向量，属于基础题.
7．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（ ）
A ．24π+
B ．48π+
C ．48π+
D ．144π+
【答案】C 【解析】 【分析】
由三视图知几何体是一个从圆锥中截出来的锥体,圆锥底面半径为r =,圆锥的高
h =截去的底面劣弧的圆心角为
23π
，底面剩余部分的面积为221412sin
2323
S r r ππ=⋅+,利用锥体的体积公式即可求得. 【详解】
由已知中的三视图知圆锥底面半径为6r ==，圆锥的高6h ==，圆锥母线
l =120°
，底面剩余部分的面积为
2222212212sin 66sin 24323323S r r ππ
πππ=+=⨯+⨯⨯=+11
(2464833
V Sh ππ==⨯+⨯=+故选C. 【点睛】
本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题,考查了学生空间想象,数学运算能力,难度一般. 8．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，22x x >，则下列命题中为真命题的是（ ）
A ．p q ∧
B ．p q ⌝∧
C ．p q ∧⌝
D ．p q ⌝∧⌝
【答案】B 【解析】 【分析】
根据∆<0，可知命题p 的真假，然后对x 取值，可得命题 q 的真假，最后根据真值表，可得结果.
【详解】 对命题p ：
可知()2
140∆=--<， 所以x ∀∈R ，210x x -+> 故命题p 为假命题 命题
q ：
所以x ∃∈R ，22x x > 故命题q 为真命题 所以p q ⌝∧为真命题 故选：B 【点睛】
本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题. 9．已知角a 的终边经过点()()4,30P m m m -≠，则2sin cos a a +的值是( ) A ．1或1- B ．
25或25
- C ．1或2
5
-
D ．1-或
25
【答案】B 【解析】 【分析】
根据三角函数的定义求得sin ,cos a a 后可得结论． 【详解】
由题意得点P 与原点间的距离5r m ==．
①当0m >时，5r m =，
∴3344
sin ,cos 5555
m m a a m m -=
===-， ∴342
2sin cos 2555
a a +=⨯-=．
②当0m <时，5r m =-， ∴3344
sin ,cos 5555
m m a a m m -=
=-==--， ∴34
22sin cos 255
5a a ⎛⎫+=⨯-+
=- ⎪⎝⎭．
综上可得2sin cos a a +的值是25或25
-． 故选B ． 【点睛】
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ，然后再根据三角函数的定义求解即可．
10．直线1y kx =+与抛物线C ：2
4x y =交于A ，B 两点，直线//l AB ，且l 与C 相切，切点为P ，记PAB
V 的面积为S ，则S AB -的最小值为( ) 9
273264
【解析】 【分析】
设出,A B 坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得AB ，再由点到直线的距离公式求得P 到
AB 的距离，得到PAB ∆的面积为S ，作差后利用导数求最值．
【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y ，联立214y kx x y
=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=
则124x x k +=，()2
1212242y y k x x k +=++=+
则2
1244AB y y p k =++=+
由2
4x y =，得2
4
x y =
12y x ⇒'= 设()00,P x y ，则
01
2
x k = 02x k ⇒=，20y k =
则点P 到直线1y kx =+的距离1d =≥
从而()
21
212
S AB d k =
⋅=+()()
()22322141241S AB k k d d d -=++=-≥．
令()3
2
24f x x x =- ()()2
681f x x x x ⇒-'=≥
当413
x ≤≤
时，()0f x '<；当4
3x >时，()0f x '>
故()min 464327f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
，即S AB -的最小值为64
27- 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题．解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值. 11．复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（ ） A ．33i - B ．33i +
C ．13i +
D ．13i -
【答案】D 【解析】 【分析】
∵21()()13z i i i =++=+ ∴其共轭复数为13i -. 故选：D 【点睛】
熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.
12．一小商贩准备用50元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（ ） A ．甲7件，乙3件 B ．甲9件，乙2件
C ．甲4件，乙5件
D ．甲2件，乙6件
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决. 【详解】
设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 利润为z 元，由题意*
4750,
,,x y x y N +≤⎧⎨∈⎩
1.8z x y =+， 画出可行域如图所示，
显然当55
99
y x z =-+经过(2,6)A 时，z 最大. 故选：D. 【点睛】
本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断x ，y 是否是整数，是否是非负数，并准确的画出可行域，本题是一道基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2
切点为T.若PT PO =，则PC 的长是______. 【答案】13 【解析】 【分析】
作出图像，设点(),2P p p ，根据已知可得2PC ，222PT PC TC =-，且PT PO =，可解出p ，计算即得. 【详解】
如图，设(),2P p p ，圆心坐标为(4,0)，可得()2
222445816PC p p p p =-+=-+，
2222588PT PC TC p p =-=-+，225PO p =，
PT PO =Q ，225885p p p ∴-+=，解得1p =，22581613PC p p ∴=-+=，
即PC 的长是13.
13【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，以及求平面两点间的距离，运用了数形结合的思想. 14．设α、β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m ∥n ，则m ∥α；
②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ；
④若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n ，则n ⊥β； 其中正确命题的序号为_____． 【答案】④ 【解析】 【分析】
【详解】
对于①，当m ∥n 时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出m ∥α，①错误；
对于②，当m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β时，由两平面平行的判定定理，不能得出α∥β，②错误； 对于③，当α∥β，且m ⊂α，n ⊂β时，由两平面平行的性质定理，不能得出m ∥n ，③错误；
对于④，当α⊥β，且α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n 时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n ⊥β，④正确； 综上知，正确命题的序号是④． 故答案为：④． 【点睛】
本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.
15．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且4AP AC ==，过A 点分别作AE PB ⊥于点E ，AF PC ⊥于点F ，连接EF ，则三棱锥P AEF -的体积的最大值为__________．
【答案】42
3
【解析】 【分析】
由已知可得△AEF 、△PEF 均为直角三角形，且AF ＝2，由基本不等式可得当AE ＝EF ＝2时，△AEF 的面积最大，然后由棱锥体积公式可求得体积最大值． 【详解】
由PA ⊥平面ABC ，得PA ⊥BC ，
又AB ⊥BC ，且PA∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面PAB ，则BC ⊥AE ， 又PB ⊥AE ，则AE ⊥平面PBC ，
于是AE ⊥EF ，且AE ⊥PC ，结合条件AF ⊥PC ，得PC ⊥平面AEF ， ∴△AEF 、△PEF 均为直角三角形，由已知得AF ＝2， 而S △AEF ＝
1124AE EF ⨯⨯≤（AE 2+EF 2）＝1
4
AF 2＝2，
三棱锥P ﹣AEF 的体积的最大值为： V P ﹣AEF ＝
13AEF PF S n ⨯⨯
＝123⨯
＝3
．
故答案为3
【点睛】
本题主要考查直线与平面垂直的判定，基本不等式的应用，同时考查了空间想象能力、计算能力和逻辑推理能力，属于中档题．
16．已知以x±2y =0为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为________.
【答案】221123
y x -=
【解析】 【分析】
设双曲线方程为2
2
4x y λ-=，代入点(4,1)，计算得到答案. 【详解】
双曲线渐近线为20x y ±=，则设双曲线方程为：2
2
4x y λ-=，代入点(4,1)，则12λ=.
故双曲线方程为：221123y x -=.
故答案为：221123
y x -=.
【点睛】
本题考查了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为2
2
4x y λ-=是解题的关键. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列的前n 项和为n S ，且满足*1
1()2
n n a S n N =+∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2log n n b a =，1
1
n n n c b b +=
，且数列{}n c 前n 项和为n T ，求n T 的取值范围． 【答案】（1）2n
n a =（2）112n T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
，
【解析】 【分析】 （1）由111
12
a S =
+，可求1a ，然后由2n …
时，1n n n a s s -=-可得12n n a a -=，根据等比数列的通项可求 （2）由log log 2n
b a n ===，而1111
n c =
==-，利用裂项相消法可求T .
【详解】
（1）当1n =时，111
12
a S =
+，解得12a =， 当2n …
时，111
12
n n a S --=+⋯① 1
12
n n a S =
+⋯② ②-①得11
2
n n n a a a --=
，即12n n a a -=， ∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴2n n a =；
（2）22log log 2n
n n b a n ===
∴11111
(1)1
n n n c b b n n n n +=
==-++， ∴11111111112233411
n T n n n =-+-+-+⋯+-=-++， *n N
∈Q ，∴11(0,]12n ∈+ ∴1
[,1)2
n T ∈.
【点睛】
本题考查递推公式1n n n a s s -=-(2)n …在数列的通项求解中的应用，等比数列的通项公式、裂项求和方法，
考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力． 18．设函数()2x
f x e ax e =+-，()ln
g x x ax a =-++.
（1）求函数()f x 的极值；
（2）对任意1x ≥，都有()()f x g x ≥，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）当0a ≥时， ()f x 无极值；当0a <时， ()f x 极小值为()22ln 2a a a e -+--；（2）
[)1,e --+∞.
【解析】 【分析】
（1）求导，对参数a 进行分类讨论，即可容易求得函数的极值；
（2）构造函数()()()h x f x g x =-，两次求导，根据函数单调性，由恒成立问题求参数范围即可. 【详解】
（1）依题2x
f x e a '=+，
当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在R 上单调递增，此时函数()f x 无极值； 当0a <时，令()20x
f x e a '=+>，得()ln 2x a >-，
令()20x
f x e a '=+<，得()ln 2x a <-
所以函数()f x 在()()
ln 2,a -+∞上单调递增， 在()()
,ln 2a -∞-上单调递减. 此时函数()f x 有极小值，
且极小值为()()
()ln 222ln 2f a a a a e -=-+--. 综上：当0a ≥时，函数()f x 无极值； 当0a <时，函数()f x 有极小值，
极小值为()()
()ln 222ln 2f a a a a e -=-+--.
（2）令()()()()ln 1x
h x f x g x e ax x a e x =-=++--≥
易得()10h =且()()1
1x
h x e a x x
'=+
+≥， 令()()()1
1x
t x h x e a x x
'==+
+≥ 所以()()21
1x
t x e x x '=-
≥， 因为x e e ≥，21
01x
<≤，从而()0t x '>，
所以，()t x 在[
)1,+∞上单调递增. 又()11t a e =++
若1a e ≥--，则()()()110t x h x t a e '=≥=++≥ 所以()h x 在[
)1,+∞上单调递增，从而()()10h x h ≥=， 所以1a e ≥--时满足题意. 若1a e <--，
所以()()min 110t x t a e ==++<，()1a
t a e a a
--=+-
， 在()f x 中，令1
2
a =-
，由（1）的单调性可知， ()x f x e x e =--有最小值()01f e =-，从而1x e x ≥+.
111
所以()()10t t a ⋅-<，由零点存在性定理：
0(1,)x a ∃∈-，使0()0t x =且
()h x 在()01,x 上单调递减，在[)0,x +∞上单调递增.
所以当()01,x x ∈时，()()10h x h <=. 故当1a e <--，()()f x g x ≥不成立. 综上所述：a 的取值范围为[
)1,e --+∞. 【点睛】
本题考查利用导数研究含参函数的极值，涉及由恒成立问题求参数范围的问题，属压轴题.
19．已知椭圆2222:1(0)
x y E a b a b +=>>的离心率为3
，且过点73(,)4，点P 在第一象限，A 为左顶
点，B 为下顶点，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .
（1）求椭圆E 的标准方程； （2）若//CD AB ，求点P 的坐标.
【答案】（1）22
14x y +=；（2）22,2⎫⎪⎪⎭
【解析】 【分析】
（1）由题意得222223
791416c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩
，求出22
,a b ，进而可得到椭圆E 的方程；
（2）由（1）知点A ，B 坐标，设直线AP 的方程为(2)y k x =+，易知1
02
k <<
，可得点C 的坐标为(0,2)k ，联立方程22
(2)14
y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩，得到关于y 的一元二次方程，结合根与系数关系，可用k 表示P 的坐标，进而
值，即可求得点P 的坐标. 【详解】
（1
）由题意得222
2279
1416c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩
，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，
所以椭圆E 的方程为2
214
x y +=.
（2）由（1）知点(2,0)A -，(0,1)B -， 由题意可设直线AP 的斜率为k ，则1
02
k <<
，所以直线AP 的方程为(2)y k x =+，则点C 的坐标为(0,2)k ，
联立方程22
(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2222
(14)161640k x k x k +++-=. 设11(,)P x y ，则212164214k x k --⋅=+，所以212
82
14k x k -=-+， 所以2122824(2)1414k k y k k k -=-+=++，所以222
824(,)1414k k
P k k --++.
设D 点的坐标为0(,0)x ，因为点,,P B D 三点共线，所以BD PB k k =，即
2202
41
1148214k
k k x k ++=--
+，所以0
2412k x k -=+，所以24(,0)12k D k -+. 因为//CD AB ，所以CD AB k k =，即21
24212k k k
=-
--
+，
所以24410k k +-=
，解得12
k -±=
， 又1
02
k <<
，所以1
2
k =符合题意，
计算可得228214k k --=+
2
4142
k k =+， 故点P
的坐标为)2
.
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查平行线的性质，考查学生的计算求解能力，属于难题.
20．在①53A B =，②122
114a a B -=，③535B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，等差数列{}n b 的公差为2d .设,n n A B 分别是数列{}{},n n a b 的前n 项和，且123,3b A ==， ， （1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；
（2）设1
3
2n
a
n n n c b b +=+
，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）,21n n a n b n ==+；（2）1
3(2)
223
n n n ++-
+
【解析】 【分析】
方案一：（1）根据等差数列的通项公式及前n 项和公式列方程组，求出1a 和d ，从而写出数列{}{},n n a b 的通项公式；
（2）由第（1）题的结论，写出数列{}n c 的通项311222123n
n c n n ⎛⎫
=+
- ⎪++⎝⎭
，采用分组求和、等比求
和公式以及裂项相消法，求出数列{}n c 的前n 项和n S . 其余两个方案与方案一的解法相近似. 【详解】 解：方案一：
（1）∵数列{}{}n n a b ，都是等差数列，且2533,A A B ==，
112351096a d a d d +=⎧∴⎨+=+⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩
1(1)n a a n d n ∴=+-=， 1(1)221n b b n d n =+-=+
综上,21n n a n b n ==+ （2）由（1）得：
331122(21)(23)22123n n n c n n n n ⎛⎫
=+
=+- ⎪++++⎝⎭
23111111
(222)[()()()]235572123
n n S n n ∴=++++-+-++-++L L
(
)21231112
23
23n n -⎛⎫=
+-
⎪-+⎝⎭
13(2)
223
n n n ++=-
+
方案二：
（1）∵数列{}{}n n a b ，都是等差数列，且2122
114
3,
A a a
B =-=， ()111
234(62)a d a a d d d +=⎧∴⎨+=+⎩解得111a d =⎧⎨=⎩ 1(1)n a a n d n ∴=+-=， 1(1)221n b b n d n =+-=+.
综上，,21n n a n b n ==+ （2）同方案一 方案三：
（1）∵数列{}{}n n a b ，都是等差数列，且523,35A B ==.
123
54352352a d d +=⎧⎪
∴⎨⨯⨯+⨯=⎪⎩
，解得111a d =⎧⎨=⎩， (1)n t a a n d n ∴=+-=， 1(1)221n b b n d n =+-=+.
综上，121n n a n b n ==+ （2）同方案一 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式的应用，考查了分组求和、等比求和及裂项相消法求数列的前n 项和，属于中档题.
21．山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将
每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为、、、、、、、共8个等级。

参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩.
举例说明.
某同学化学学科原始分为65分，该学科等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属等级.而等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：
设该同学化学科的转换等级分为，，求得.
四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.
（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布.
（i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩；
（ii）求物理原始分在区间的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记表示这4人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望.
（附：若随机变量，则，，
）
【答案】(1)（i）83.;（ii）272.(2)见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据原始分数分布区间及转换分区间，结合所给示例，即可求得小明转换后的物理成绩；根据正态分布满足，结合正态分布的对称性即可求得内的概率，根据总人数即可求得在该区间的人数。

（2）根据各等级人数所占比例可知在区间内的概率为，由二项分布即可求得的分布列及各情况下的概率，结合数学期望的公式即可求解。

（1）（i）设小明转换后的物理等级分为，
，
求得.
小明转换后的物理成绩为83分；
（ii）因为物理考试原始分基本服从正态分布，
所以
.
所以物理原始分在区间的人数为（人）；
（2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间内的概率为，
随机抽取4人，则.
，，
，，
.
的分布列为
0 1 2 3 4
数学期望.
本题考查了统计的综合应用，正态分布下求某区间概率的方法，分布列及数学期望的求法，文字多，数据多，需要细心的分析和理解，属于中档题。

22．如图，设椭圆1C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>，长轴的右端点与抛物线2C ：28y x =的焦点F 重合，且
椭圆1C 的离心率是
3．
（Ⅰ）求椭圆1C 的标准方程；
（Ⅱ）过F 作直线l 交抛物线2C 于A ，B 两点，过F 且与直线l 垂直的直线交椭圆1C 于另一点C ，求
ABC ∆面积的最小值，以及取到最小值时直线l 的方程．
【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）ABC ∆面积的最小值为9，5
2x y =+.
【解析】 【分析】
（Ⅰ）由已知求出抛物线的焦点坐标即得椭圆中的a ，再由离心率可求得c ，从而得b 值，得标准方程； （Ⅱ）设直线l 方程为2x my =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，把直线方程代入抛物线方程，化为y 的一元二次方程，由韦达定理得1212,y y y y +，由弦长公式得AB ，同理求得C 点的横坐标，于是可得FC ，将面积表示为参数的函数，利用导数可求得最大值. 【详解】
（Ⅰ）∵椭圆1C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>，
长轴的右端点与抛物线2C ：2
8y x =的焦点F 重合， ∴2a =，
又∵椭圆1C 3
3c =1b =， ∴椭圆1C 的标准方程为2
214
x y +=．
（Ⅱ）过点()2,0F 的直线l 的方程设为2x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，
联立2
28x my y x
=+⎧⎨
=⎩得2
8160y my --=， ∴128y y m +=，1216y y =-， ∴
()
281AB m ==+．
过F 且与直线l 垂直的直线设为()2y m x =--，
联立()22
214
y m x x y ⎧=--⎪⎨+=⎪⎩得()2222
14161640m x m x m +-+-=， ∴2
216214C m x m +=+，故()
2224141
C m x m -=+，
∴2
4
41
C F CF x x m =-=
+ ABC ∆面积(
)
22
1611241m S AB CF m +=⋅=+
t =，则()3
21643
t
S f t t ==-，()()
()
42
2
2
1649'43
t t f t t
-=
-，
令()'0f t =，则2
94
t =
，即2
914m +=时，ABC ∆面积最小，
即当m =时，ABC ∆面积的最小值为9， 此时直线
l 的方程为2x y =±+． 【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，抛物线中弦长的求解，涉及三角形面积范围问题，利用导数求函数的最值问题，属综合困难题.
23．某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示．
（1）已知此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求()3679.5P Z <≤；
（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案. （ⅰ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； （ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.
现市民甲要参加此次问卷调查，记X 为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列及数学期望．
14.5≈，若()2
,X N
μσ:，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，
()220.9545P X μσμσ-<≤+=，()330.9973P X μσμσ-<≤+=.
【答案】（1）0.8186；（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据题中所给的统计表，利用公式计算出平均数μ的值，再利用数据之间的关系将36、79.5表示为362μσ=-，79.5μσ=+，利用题中所给数据，以及正态分布的概率密度曲线的对称性，求出对应的概率；
（2）根据题意，高于平均数和低于平均数的概率各为
1
2
，再结合得20元、40元的概率，分析得出话费的可能数据都有哪些，再利用公式求得对应的概率，进而得出分布列，之后利用离散型随机变量的分布列求出其数学期望. 【详解】
（1）由题意可得352545150552006525075225851009550
651000
μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==，
易知14.5σ=
≈，36652965214.52μσ∴=-=-⨯=-，
79.56514.5μσ=+=+，
()()()()
3679.522P Z P Z P Z P Z μσμσμσμμμσ∴<≤=-<≤+=-<≤+<≤+()()0.95450.6827
022.818622
P X P X μσμσμσμσ+=
==-<≤++-<≤+；
（2）根据题意，可得出随机变量X 的可能取值有20、40、60、80元，
()13320248P X ==⨯=，()1113313
402424432P X ==⨯+⨯⨯=，
()113360224416P X ==⨯⨯⨯=，()1111
8024432
P X ==⨯⨯=.
所以，随机变量X 的分布列如下表所示：
EX=⨯+⨯+⨯+⨯=.
所以，随机变量X的数学期望为20406080
83216322
【点睛】
本题考查概率的计算，涉及到平均数的求法、正态分布概率的计算以及离散型随机变量分布列及其数学期望，在解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式计算对应事件的概率，考查计算能力，属于中等题.。