随机过程三(2)

3.3.2 冲激响应法和频谱法
★ 频谱法
对于平稳随机过程，有
RYX ( ) RX ( ) h( ) RXY ( ) RX ( ) h( ) RY ( ) RXY ( ) h( ) RY ( ) RYX ( ) h( ) RY ( ) RX ( ) h( ) h( )
dn d n 1 d L an n an 1 n 1 ... a1 a0 dt dt dt
(3.3.2)，其
(3.3.3)
3.3.1 微分方程法
★ 微分方程法的含义
微分方程法就是在已知输入过程X(t)的统计 特性的前提下，根据(3.3.1)式求出输出过程Y(t) 的统计特性。即已知X(t)的均值mX(t)和相关函 数RX(t1,t2) ，分别求得Y(t)的均值mY(t)和相关函 数RY(t1,t2) 。方法是先将(3.3.1)式演化为确定性 函数mY(t)或RY(t1,t2)的常规微分方程，然后再求 解mY(t)和RY(t1,t2) 。
随机信号分析
主讲：杜青松
第三章 随机过程的变换
本章学习的主要内容
★随机过程变换的基本概念 ★随机过程的导数和积分 ★随机过程通过线性系统分析
3.3 随机信号通过线性系统分析
★微分方程法 ★冲激响应法和频谱法
本堂课的作业
★第99页习题 3.13 ★第100页习题 3.14 3.19
3.3.1 微分方程法
R XY (t1 , t 2 )
h(t1 )
RY (t1 , t 2 )
3.3.2 冲激响应法和频谱法
★ 冲激响应法（续）
若X(t)为平稳随机过程，则有
X (t u )h(u )du X (t ) RYX ( ) E[Y (t ) X (t )] E RX ( u )h(u )du RX ( ) h( )
(3.3.20) (3.3.21) (3.3.22)
由此画出平稳过程输入输出相关函数之间的关 系如下图所示：
3.3.2 冲激响应法和频谱法
★ 冲激响应法（续）
R X ( )
h( )
h ( )
RYX ( )
h ( )
RY ( )
R X ( )
R XY ( )
h( )
RY ( )
3.3.2 冲激响应法和频谱法
★ 冲激响应法和频谱法的例题
[例3.3.2]设RC电路的输入为零均值的平稳随机 信号X(t)，且其相关函数为RX(τ)=e－|β|τ ，求输出Y(t) 的相关函数。

(3.3.18)
用类似步骤可得
RY ( 2 ) RYX ( v)h(v)dv RYX ( ) h( )

(3.3.19)
3.3.2 冲激响应法和频谱法
★ 冲激响应法（续）
同理可得
RXY ( ) RX ( ) h( ) RY ( ) RXY ( ) h( ) RY ( ) RX ( ) h( ) h( )
X (t u )h(u )du X (t ) RYX (t1 , t 2 ) E[Y (t1 ) X (t 2 )] E 2 1 RX (t1 u, t 2 )h(u )du RX (t1 , t 2 ) h(t1 )

(3.3.13)
3.3.2 冲激响应法和频谱法
★ 三种方法的比较 冲激响应法是随机过程线性变换的一种基本方法，它能 解得系统的平稳或非平稳输出过程的相关函数，也能解得 有限工作时间的瞬态过程的相关函数。当系统的冲激响应 为比较简单的函数时，应用此法比较方便。 微分方程法也具有冲激响应法的效能，但即使系统的结 构简单，运算上也显得很烦琐。 频谱法只能计算平稳输出过程的统计特性，这是它的局 限性，但方法简易，因而应用广泛。
E[Y (t )] E X (t )h( )d E[ X (t )]h( )d mX (t )h( )d






3.3.2 冲激响应法和频谱法
★ 冲激响应法（续）
即
mY (t ) mX (t )h( )d mX (t ) h(t )
3.3.2 冲激响应法和频谱法
★ 冲激响应法和频谱法的例题
[例3.3.1]设系统的响应特性为 Y’(t)+aY(t)=X(t)，a为常数 其中为平稳随机信号，在t=0时加入，且有 Y(0)=0 E[X(t)]=λ
RX(t1,t2)= λ2+λδ(t1－t2)
用冲激响应法和频谱法求Y(t)的相关函数
对(3.3.4)式两边取均值，可得mY(t)的起始条件如 下： mY (0) mY ' (0) ...... mY (n1) (0) 0 ，只要mX(t) 已知，就可以按照零起始条件求解(3.3.5)式，从而 得出mY(t)。
3.3.1 微分方程法
★ 微分方程法求相关函数
在(3.3.1)式中令t=t2，两边同时乘以X(t1)后取数 学期望，得
3.3.2 冲激响应法和频谱法
★ 冲激响应法
设线性系统 为
Y (t ) X (t )h( )d X ( )h(t )d h(t ) X (t )

(3.3.10)
上式两边取均值，则有
用类似步骤可得
RY (t1 , t2 ) RYX (t1 , t2 v)h(v)dv RYX (t1 , t2 ) h(t2 )

(3.3.14)
3.3.2 冲激响应法和频谱法
★ 冲激响应法（续）
同理可得
RXY (t1,t2 ) RX (t1,t2 ) h(t2 ) RY (t1,t2 ) RXY (t1,t2 ) h(t1 ) RY (t1,t2 ) RX (t1,t2 ) h(t1 ) h(t2 )
2
(3.3.25) (3.3.26) (3.3.27) (3.3.28)
3.3.2 冲激响应法和频谱法
★ 频谱法（续）
再根据傅立叶变换对偶的关系，可求出对 应的相关函数：
RYX ( ) GYX ( ) RXY ( ) GXY ( ) RY ( ) GY ( )
(3.3.29) (3.3.30) (3.3.31)
3.3.1 微分方程法
★ 微分方程法的条件
1、假定Y(t)的起始条件为零，且t<0时系统无 输出，即
Y (0) Y ' (0) ...... Y ( n1) (0) 0 Y (t ) 0, t 0 (3.3.4)
2、假设(3.3.1)式在t>0的每一时刻都成立。
3.3.1 微分方程法
n RY (t1 ,0) n1RY (t1 ,0) R (t ,0) RY (t1 ,0) ... Y 1 0 n 1 t1n t1 t1
(3.3.9)
3.3.2 冲激响应法和频谱法
★ 引言
线性系统最基本的特性是满足叠加原理。 根据这一原理，可把输入信号分成许多单元 信号，输出信号就是线性系统对各单元信号 的响应总和。经常用到的单元信号有两种， 一种为单元冲激信号，另一种为单元正弦信 号。前者引出冲激响应法，后者引出频谱法。
(3.3.15) (3.3.16) (3.3.17)
画出输入输出相关函数之间的关系如下图所示：
3.3.2 冲激响应法和频谱法
★ 冲激响应法（续）
R X (t1 , t 2 ) RYX (t1 , t 2 ) RY (t1 , t 2 )
h(t1 )
h(t 2 )
h(t 2 )
R X (t1 , t 2 )
3.3.2 冲激响应法和频谱法
★ 平稳性的讨论 对于物理不可实现系统（即h(t)在(－∞,∞)中都存在）， 如果输入X(t)是平稳，则输出Y(t)也是平稳，且输入与输出 是联合平稳的。 对于物理可实现系统（即t<0时，h(t)＝0的系统），则要 考虑两种情况：一种是输入X(t)始终作用于系统的输入端， 叫做无限工作时间的系统；另一种为X(t)在t=ti时刻才加入， 即输入为X(t)U(t-ti)，叫做有限时间工作的系统。如果X(t) 为平稳过程，则前者的输出一般也是平稳的，而后者的输 出则有瞬态过程。
杜青松第三章第三章随机过程的变换随机过程的变换本章学习的主要内容本章学习的主要内容随机过程变换的基本概念随机过程的导数和积分随机过程通过线性系统分析3333随机信号通过线性系统分析随机信号通过线性系统分析微分方程法冲激响应法和频谱法本堂课的作业本堂课的作业99313100314319331331微分方程法微分方程法线性时不变系统的响应特性线性时不变系统的响应特性通常可以用一个常系数线性微分方程来描述即上式可简写成lytxt332其331331微分方程法微分方程法微分方程法的含义微分方程法就是在已知输入过程xt的统计特性的前提下根据331式求出输出过程yt的统计特性
d nY (t2 ) d n 1Y (t2 ) dY (t2 ) E an X (t1 ) an 1 X (t1 ) ... a1 X (t1 ) a0 X (t1 )Y (t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] n 1 n dt2 dt2 dt2 n n 1 RXY (t1 , t2 ) RXY (t1 , t2 ) R (t , t ) an an1 ... a1 XY 1 2 a0 RXY (t1 , t2 ) RX (t1 , t2 ) (3.3.6) n 1 n t2 t2 t2
★ 微分方程法求均值
对(3.3.2)两边取数学期望，并交换均值和微分运 算的次序，得L{E[Y(t)]}=E[X(t)]，于是有 L[mY(t)]=mX(t)，即
d n mY (t ) d n1mY (t ) dm (t ) an an1 ... a1 Y a0 mY (t ) mX (t ) dt n dt n1 dt (3.3.5)
在(3.3.4)式两端同时乘以X(t1)后取数学期望，可 得(3.3.6)式的起始条件如下：
n RXY (t1 ,0) n1RXY (t1 ,0) R (t ,0) RXY (t1 ,0) ... XY 1 0 n 1 n t2 t2 t2 (3.3.7)
3.3.1 微分方程法

(3.3.11)
如果输出信号X(t)为平稳随机过程，则
mY mX h( )d mX h( )d mX H (0)

(3.3.12)
式中H(0)为系统的传递函数在ω=0时的值。
3.3.2 冲激响应法和频谱法
★ 冲激响应法（续）
在(3.3.10)式中，令t=t1，两边同乘以X(t2)， 并取均值，则有
(3.3.19) (3.3.20) (3.3.21) (3.3.23) (3.3.22)
3.3.2 冲激响应法和频谱法
★ 频谱法（续）
对上述五式两端同时作傅立叶变换，则有 GYX ( ) G X ( ) H ( ) (3.3.24)
G XY ( ) G X ( ) H * ( ) GY ( ) G XY ( ) H ( ) GY ( ) GYX ( ) H * ( ) GY ( ) G X ( ) | H ( ) |
★ 微分方程法求相关函数（续）
同理可得
n RY (t1 , t2 ) n1RY (t1 , t2 ) RY (t1 , t2 ) an an1 ... a1 a0 RY (t1 , t2 ) RXY (t1 , t2 ) n 1 n t1 t1 t1 (3.3.8)
★ 线性时不变系统的响应特性
线性时不变系统的响应特性通常可以
用一个常系数线性微分方程来描述，即
d nY (t ) d n1Y (t ) dY (t ) an an1 ... a1 a0Y (t ) X (t ) n n 1 dt dt dt (3.3.1)
上式可简写成L[Y(t)]=X(t) 中