2022年江苏省南京市建邺区中考数学一模试题及答案解析

2022年江苏省南京市建邺区中考数学一模试卷1. 2022的倒数是( )
A. −2022
B. 2022
C. 1
2022D. −1
2022
2. 下列计算中，结果正确的是( )
A. a2+a2=a4
B. a2⋅a3=a6
C. (a3)2=a5
D. a3÷a2=a
3. 估计√10的值在( )
A. 2与3之间
B. 3与4之间
C. 4与5之间
D. 5与6之间
4. 如图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且a+b=0.若AB=4，则点A表示的数为( )
A. −4
B. −2
C. 2
D. 4
5. 如图，把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AD：AB为( )
A. 3：2
B. 7：4
C. 9：5
D. 2：1
6. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是(−2,3)，将点A绕点C顺时针旋转90°得到点B.若点B的坐标是(5,−1)，则点C的坐标是( )
A. (−0.5,−2.5)
B. (−0.25,−2)
C. (0,−1.75)
D. (0,−2.75)
7. 若式子√x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
8. 第24届冬季奥林匹克运动会在北京举行．据报道，在赛事期间，创纪录地有超过6400万人使用奥林匹克网站和APP关注冬奥会．用科学记数法表示6400是．
9. 方程1
x−1=2
x−2
的解为．
10. 设x1，x2是方程x2−2x−1=0的两个根，则x1(1+x2)+x2=．
11. 科学家发现某种细菌的分裂能力极强，这种细菌每分钟可由1个分裂成2个，将一个细菌放在培养瓶中经过a(a>5)分钟就能分裂满一瓶．如果将8个这种细菌放入同样的一个培养瓶中，那么经过分钟就能分裂满一瓶．
12. 为了解某校“双减”政策落实情况，一调查机构从该校随机抽取100名学生，了解他们每天完成作业的时间，得到的数据如图(A：不超过30分钟；B：大于30不超过60分钟；C：大于60不超过90分钟；D：大于90分钟)，则该校2000名学生中每天完成作业时间不超过60分钟的学生约有人．
13. 如图，⊙O的直径AB=4cm，PB、PC分别与⊙O相切于B、C两点，弦CD//AB，AD//CP，则PB=cm．
14. 如图，在△ABC中，∠B=30°，点D是AC上一点，过点D作DE//BC交AB于点E，DF//AB 交BC于点F.若AE=5，CF=4，则四边形BFDE的面积为．
15. 如图，点A 是函数y =2
x 图象上的任意一点，点B 、C 在反比例函数y =k
x 的图象上．若AB/
/x 轴，AC//y 轴，阴影部分的面积为4，则k = ．
16. 如图，“爱心”图案是由函数y =−x 2+6的部分图象与其关于直线y =x 的对称图形组
成．点A 是直线y =x 上方“爱心”图案上的任意一点，点B 是其对称点．若AB =4√2，则点A 的坐标是 ．
17. 解不等式组{2−x >0
5x+12+1≥x ，并写出它的整数解． 18. 化简(1
a−b −
b
a 2−b
2)
÷a
a+b ．
19. 如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 的中点．
(1)求证：∠AEF =∠AFE ；
(2)若菱形ABCD 的面积为8，则△AEF 的面积为______．
20. 2021年7月24日，杨倩获得了东京奥运会的首枚金牌，这也激发了人们对射击运动的热情．李雷和林涛去射击场馆体验了一次射击，两人成绩如下：
李雷10次射击成绩统计表
命中环数命中次数
5环2
6环1
7环3
8环3
9环1
(1)完成下列表格：
平均数(单位：环)中位数(单位：环)方差(单位：环 2)
李雷77______
林涛7______ 5
(2)李雷和林涛很谦虚，都认为对方的成绩更好．请你分别为两人写一条理由．
21. 如图，高铁车厢一排有5个座位，其中A座、F座靠窗，C座、D座被过道隔开．甲、乙两人各买了一张同班次高铁的车票，假设系统已将两人分配到同一排，且在同一排分配各个座位的机会是均等的．
(1)甲的座位靠窗的概率是______；
(2)求甲、乙两人座位相邻(座位C、D不算相邻)的概率．
22. 尺规作图：如图，已知△ABC，AB=AC，作矩形MNPQ，使得点M、N分别在边AB、AC 上，点P、Q在边BC上，且MN=2MQ(不写作法，保留作图痕迹)．
23. 甲、乙两人从A地前往B地，先到终点的人在原地休息．已知甲先出发30s后，乙才出发．在运动过程中，甲、乙两人离A地的距离分别为y1(单位：m)、y2(单位：m)，都是甲出发时间x(单位：s)的函数，它们的图象如图①.设甲的速度为v1m/s，乙的速度为v2m/s．
(1)v1：v2=______，a=______；
(2)求y2与x之间的函数表达式；
(3)在图②中画出甲、乙两人之间的距离s(单位：m)与甲出发时间x(单位：s)之间的函数图
象．
24. 图①是一只消毒液喷雾瓶的实物图，其示意图如图②，AB=6cm，BC=4cm，∠ABC= 85°，∠BCD=120°.求点A到CD的距离．(精确到三位小数，参考数据：sin65°≈0.905，cos65°≈0.423，tan65°≈2.144，√3≈1.732)
25. 如图①，在△ABC中，CA=CB，D是△ABC外接圆⊙O上一点，连接CD，过点B作BE/ /CD，交AD的延长线于点E，交⊙O于点F．
(1)求证：四边形DEFC是平行四边形；
(2)如图②，若AB为⊙O直径，AB=7，BF=1，求CD的
长．
26. 已知二次函数y=x2−2(p+1)x+q的图象经过(1,0)、(0,−5)两点．
(1)求p、q的值；
(2)点A(x1,y1)、B(x2,y2)是该函数图象上两点，若x1+x2=2，求证y1+y2>0．
27. 如图①，在四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD=5√3，∠B=90°.点M在边AD上，AM=2，点N是边BC上一动点．以MN为斜边作Rt△MNP，若点P在四边形ABCD的边上，则称点P是线段MN的“勾股点”．
(1)如图①，线段MN的中点O到BC的距离是______．
A.√3
B.5
2
C.3
D.2√3
(2)如图②，当AP=2时，求BN的长度．
(3)是否存在点N，使线段MN恰好有两个“勾股点”？若存在，请直接写出BN的长度或取值范围；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了倒数，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键．
根据倒数的定义即可得出答案．
【解答】
解：2022的倒数是1
．
2022
故选：C．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，掌握它们的运算法则是解题的关键．
根据同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项法则逐项判断即可．【解答】
解：A.a2+a2=2a2，故本选项不合题意；
B.a2⋅a3=a2+3=a5，故本选项不合题意；
C.(a3)2=a3×2=a6，故本选项不合题意；
D.a3÷a2=a3−2=a，故本选项符合题意．
故选：D．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了估计无理数的大小．
先求出√10的范围√9<√10<√16，即可得出答案．
【解答】
解：∵√9<√10<√16，
∴3<√10<4，
∴√10在3与4之间，
故选：B．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查数轴上点表示的数，熟练掌握相反数的性质是解决本题的关键．
由a+b=0，AB=4即可推出点A表示的数．
【解答】
解：∵在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且a+b=0，
∴a=−b，a<0，b>0，
∵AB=4，
∴a=−2，b=2，
∴点A表示的数为−2，
故选：B．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
设圆锥的底面的半径为r cm，则DE=2rcm，AE=AB=(AD−2r)cm，利用圆锥的侧面展开图
=2πr，解方程求出r，然后计算AD：为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到90π(AD−2r)
180
AB即可．
【解答】
解：设圆的半径为r cm，则DE=2r cm，AE=AB=(AD−2r)cm，
=2πr，
则90π(AD−2r)
180
解得r=AD
，
6
则AD：AB=AD：(AD−AD
3
)=3：2．
故选：A．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查坐标与图形性质−旋转，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图，设AB的中点为Q，过点A作AN⊥x轴于点N，过点Q作QK⊥AN于点K，过点C作CT⊥QK于T，利用全等三角形的性质求解即可．
【解答】
解：如图，设AB的中点为Q，
∵A(−2,3)，B(5,−1)，
∴Q(1.5,1)，
过点A作AN⊥x轴于点N，过点Q作QK⊥AN于点K，过点C作CT⊥QK于T，
则K(−2,1)AK=2，QK=3.5，
∵∠AKQ=∠CTQ=∠AQC=90°，
∴∠AQK+∠CQT=90°，∠CQT+∠TCQ=90°，
∴∠AQK=∠TCQ，
在△AKQ和△QTC中，
{∠AKQ=∠CTQ ∠AQK=∠QCT QA=CQ
,
∴△AKQ≌△QTC(AAS)，
∴QT=AK=2，CT=QK=3.5，
∴C(−0.5,−2.5)
故选：A．
7.【答案】x≥2
【解析】解：由题意，得
x−2≥0，
解得x≥2，
故答案为：x≥2．
根据被开方数是非负数，可得答案．
此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子√a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
8.【答案】6.4×103
【解析】
【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【解答】
解：将6400用科学记数法表示为6.4×103．
故答案为：6.4×103．
9.【答案】x=0
【解析】
【分析】
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】
解：1
x−1=2
x−2
，
x−2=2(x−1)，
解得：x=0，
检验：当x=0时，(x−1)(x−2)≠0，
∴x=0是原方程的解，
故答案为：x=0．
10.【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+ x2=−b
，x1⋅x2=c a．
a
根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=−1，然后利用整体代入的方法计算x1(1+x2)+x2的值．
【解答】
解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=−1，
所以x1(1+x2)+x2=x1+x2+x1x2=2+(−1)=1．
故答案为：1．
11.【答案】(a−3)
【解析】
【分析】
本题考查了有理数的乘方，得到将8个这种细菌放入同样的一个培养瓶中，可以少用3分钟是解题的关键．
通过列举得到将8个这种细菌放入同样的一个培养瓶中，可以少用3分钟，从而得到答案．
【解答】
解：将1个细菌放在培养瓶中分裂1次，变成2个；
分裂2次，变成4个；
分裂3次，变成8个；
∴将8个这种细菌放入同样的一个培养瓶中，可以少用3分钟，
故答案为：(a−3)．
12.【答案】1500
【解析】
【分析】
本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，
这时对总体的估计也就越精确．
用总人数乘以样本中A、B部分对应的百分比即可．
【解答】
解：该校2000名学生中每天完成作业时间不超过60分钟的学生约有2000×(1−15%−10%)= 1500(人)，
故答案为：1500．
13.【答案】2√3
【解析】
【分析】
本题考查了切线长定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
连接AC，OD，PO，OC，OC与AD交于E，根据切线长定理和切线的性质得PC=PB，∠PCO=90°，根据全等三角形的性质得到AO=CD，推出△AOC与△COD是等边三角形，得到∠AOC=∠COD= 60°，求得点D在OP上，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：连接AC，OD，PO，OC，OC与AD交于E，
∵PB、PC分别与⊙O相切于B、C两点，
∴PC=PB，∠PCO=90°，
∴∠PCD+∠OCD=90°，
∵AD//PC，
∴∠PCD=∠ADC，
∴∠ADC+∠DCO=90°，
∴∠CED=90°，
∴AE=DE，
∵CD//AB，
∴∠CDE=∠OAD，∠DCO=∠AOC，
∴△AOE≌△DCE(AAS)，
∴AO=CD，
∴四边形AODC是平行四边形，
∴CD=OA，
∵OA=OD，
∴△AOC与△COD是等边三角形，
∴∠AOC=∠COD=60°，
∴∠BOP=60°，
∵∠PCO=∠PBO=90°，∠CPO=∠BPO，
∴∠COP=∠BOP，
∵∠COB=120°，
∴∠COP=∠BOP=60°，
∴点D在OP上，
∵AB=4cm，
∴OB=2cm，
∴PB=√3OB=2√3(cm)，
故答案为：2√3．
14.【答案】10
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是熟练判断三角形相似．已知DE//BC，DF//AB，得到△AED∽△DFC，从而得到比例式，继而得到四边形的面积．【解答】
解：∵DE//BC，
∴∠AED=∠B，∠ADE=∠C，
∵DF//AB，
∴∠B=∠DFC，
∴∠AED=∠DFC，
∴△AED∽△DFC，
∴AE DF =ED
FC
，
∴DE⋅DF=AE⋅FC=5×4=20，∵DE//BC，DF//AB，
∴四边形BEDF是平行四边形，
过点E作EM⊥BF，
∴S▱BEDF=DE⋅EM，EM=BE⋅sin∠B，
∵BE=DF，sin∠B=sin30°=1
2
，
∴S▱BEDF=DE⋅EM
=DE⋅BE⋅sin∠B
=DE⋅DF⋅sin∠B
=20×1 2
=10．
故答案为：10．
15.【答案】6
【解析】
【分析】
此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k的几何意义，解题关键是正确作辅助线，构建矩形．
过B作BD⊥x轴于D，过C作CE⊥y轴于E，设A(m,2
m )，则C(m,k
m
)，B(km
2
,2
m
)，根据S阴影=
S
矩形ODBF +S
矩形ACEF
−S△OCE−S△OBD=4，列出k的方程求得结果即可．
【解答】
解：过B作BD⊥x轴于D，过C作CE⊥y轴于E，
∴设A(m,2
m )，则C(m,k
m
)，B(km
2
,2
m
)，
∴S
阴影
=S
矩形ODBF
+S
矩形ACEF
−S△OCE−S△OBD =k+m(
k
m−
2
m)−
1
2k−
1
2k
=k−2=4，
解得k=6．
故答案为：6．
16.【答案】(−2,2)或(1,5)
【解析】
【分析】
本题考查的是二次函数及对称点，解题的关键是设出一个点的坐标，表示出对称点的坐标．两点间的距离公式要理解并熟记．
根据对称性，表示A、B两点的坐标，利用平面内两点间的距离公式，代入求值即可．
【解答】
解：如图，过点A作AD⊥x轴，交x轴于点E，交直线y=x于点D，连接BD，
∵A、B关于直线y=x对称，
设A(a,b)，
∴△ABD是等腰直角三角形，四边形OEDF是正方形，
∴B(b,a)，
∵AB=√(x B−x A)2+(y B−y A)2，
∴4√2=√(b−a)2+(a−b)2，
(4√2)2=(b−a)2+(b−a)2，
32=2(b−a)2，
(b−a)2=16，
b−a=4或b−a=−4(舍去)，
∴b=a+4，
又∵A(a,b)在y=−x2+6上，
∴b=−a2+6，
即a+4=−a2+6，
整理得，a2+a−2=0，
解得，a1=−2，a2=1，
∴当a1=−2时，b=a+4=−2+4=2，点A的坐标为(−2,2)；
当a2=1时，b=a+4=1+4=5，
点A的坐标为(1,5)．
故答案为：(−2,2)或(1,5)．
17.【答案】解：{2−x>0①
5x+1
2
+1≥x②
，
由①得：x<2，
由②得：x≥−1，
∴不等式组的解集为−1≤x<2，
则不等式组的整数解为−1，0，1．
【解析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可．
18.【答案】解：原式=a+b−b
(a+b)(a−b)⋅a+b
a
=a
(a+b)(a−b)
⋅a+b
a
=1
a−b
．
【解析】此题考查了分式的混合运算，掌握分式混合运算法则是解题的关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分即可得到结果．
19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D，
∵E、F分别是BC、DC的中点．
∴BE=1
2BC，DF=1
2
CD，
∴BE=DF，
在△ABE和△ADF中，
{AB=AD ∠B=∠D BE=DF
，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE；
(2)3．
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
(1)由“SAS”可证△ABE≌△ADF，可得AE=AF，即可求解；
(2)由菱形的性质和相似三角形的性质可证AC=4CH，即可求解．
【解答】
(1)见答案；
(2)解：连接AC交EF于H，连接BD交AC于点O，
∵菱形ABCD的面积为8，
∴S△ABC=S△ADC=4，AO=CO，AC⊥BD，
∵E、F分别是BC、DC的中点．
∴S△ACE=S△ACF=2，EF//BD，
∴△CEF∽△CBD，
∴CH CO =CE
BC
=1
2
，
∴CO=2CH，∴AC=4CH，
∴S△AEH=3
4S△AEC=3
2
，S△AFH=3
4
S△AFC=3
2
，
∴S△AEF=3．
故答案为：3．
20.【答案】解：(1)1.6，8；
(2)李雷的成绩好，理由为：由表格可知，李雷和林涛的平均数一样，但是李雷的方差小，波动小，成绩比较稳定，故李雷的成绩较好．
林涛的成绩好，理由为：林涛的中位数为8，表示其有一半的成绩都在8环及以上，所以林涛的成绩较好．
【解析】
【分析】
本题考查了中位数，方差的意义．平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
(1)根据中位数的定义和方差公式求解即可．
(2)对李雷和林涛两人分别从平均数，方差和中位数角度，分析两人各自的优势，即可得出答案．【解答】
解：(1)李雷方差为：
1
10
×[2×(5−7)2+(6−7)2+3×(7−7)2+3×(8−7)2+(9−7)2]=1.6，
林涛中位数为：(8+8)÷2=8，
故答案为：1.6，8；
(2)见答案．
21.【答案】解：(1)2
5
；
(2)根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有20种等可能情况，其中甲、乙两人座位相邻的情况有6种，
∴甲、乙两人座位相邻的概率为6
20=3
10
．
【解析】
【分析】
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有20种等可能情况，其中甲、乙两人座位相邻的情况有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】
，
解：(1)甲的座位靠窗的概率是2
5
；
故答案为：2
5
(2)见答案．
22.【答案】解：如图，矩形MNPQ为所作．
【解析】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质和矩形的判定．
先作∠BAC的平分线AH，再作∠AHB的平分线交AB于M，接着过M点作BC的垂线，垂足为Q，然后以H点为圆心，HM为半径画弧交AC于N，以H点为圆心，HQ为半径画弧交CH于P，则四边形MNPQ满足条件．
23.【答案】解：(1)5：6，75；
(2)设y2与x之间的函数表达式是y2=kx+b，
∵点(30,0)和点(430,1200)在该函数图象上，
∴{30k+b=0
430k+b=1200，
解得{k =3b =−90
， 即y 2与x 之间的函数表达式是y 2=3x −90；
(3)由题意可得，
当x =30时，此时s =75；
当x =180时，s =0，
当x =430时，s =(430−180)×(3−2.5)=125，
当x =1200÷2.5=480时，s =0，
由图①和题意可知：当0≤x ≤30时，s 随x 的增大而增大，符合正比例函数；
当30<x ≤180时，s 随x 的增大而减小，符合一次函数；
当180<x ≤430时，s 随x 的增大而增大，符合一次函数；
当430<x ≤480时，s 随x 的增大而减小，符合一次函数；
图象如右图所示．
【解析】
【分析】
本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
(1)根据图①中的数据，可知当x =180时，两人相遇，然后即可列出方程180v 1=(180−30)v 2，从而可以得到的v 1：v 2值，然后计算出乙的速度，从而可以得到甲的速度，进而可计算出a 的值；
(2)根据函数图象中的数据，可以利用待定系数法得出y 2与x 之间的函数表达式；
(3)根据图象和题目中的数据，可以计算出几个关键点的s 的值，然后画出相应的图象即可．
【解答】
解：(1)由图可得，180v 1=(180−30)v 2，
解得v 1：v 2=5：6，
乙的速度为：1200÷(430−30)=3(m/s)，
∴甲的速度为：3×56
=2.5(m/s)，
∴a =30×2.5=75，
故答案为：5：6，75；
(2)(3)见答案． 24.【答案】解：过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，过点B 作BF ⊥DC ，交DC 的延长线于点F ，过点A 作AG ⊥BF ，交FB 于点G ，则AE =FG ，∠BFC =∠AGB =90°，
∵∠BCD=120°．
∴∠BCF=180°−∠BCD=60°，
∴∠FBC=90°−∠BCF=30°，
在Rt△BCF中，BC=4cm，
=2√3(cm)，
∴BF=BC⋅sin60°=4×√3
2
∵∠ABC=85°，
∴∠ABG=180°−∠ABC−∠FBC=65°，
在Rt△ABG中，AB=6cm，
∴BG=AB⋅cos65°≈6×0.423=2.538(cm)，
∴AE=FG=BG+BF=2.538+2√3≈6.002(cm)，
∴点A到CD的距离约为6.002cm．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥DC，交DC的延长线于点F，过点A作AG⊥BF，交FB 于点G，根据题意可得AE=FG，∠BFC=∠AGB=90°，先利用平角定义求出∠BCF的度数，从而求出∠FBC的度数，然后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数定义求出BF的长，再利用平角定义求出∠ABG的度数，最后在Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，进行计算即可解答．25.【答案】(1)证明：∵BE//CD，
∴∠ADC=∠E，
∵AC=BC，
∴AC⏜=BC⏜，
∴∠ADC=∠BFC，
∴∠BFC=∠E，
∴ED//FC，
∴四边形DEFC是平行四边形；
(2)解：如图②，连接AF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠AFB=∠AFE=90°，
∵AB=7，BF=1，
∴AF=√AB2−BF2=√72−12=4√3，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=45°，
∴∠BFC=∠BAC=45°，
∵DE//CF，
∴∠E=∠BFC=45°，
∴△AFE是等腰直角三角形，
∴EF=AF=4√3，
∵四边形DEFC是平行四边形，
∴CD=EF=4√3．
【解析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，平行四边形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，掌握圆周角定理是解本题的关键．
(1)证明ED//CF，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得结论；
(2)连接AF，根据勾股定理计算AF的长，证明EF=AF=CD可得结论．
26.【答案】解：(1)将(1,0)、(0,−5)代入y =x 2−2(p +1)x +q 得，
{0=1−2(p +1)+q −5=q
，解得{p =−3q =−5． (2)由(1)得y =x 2+4x −5，
∵点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)是该函数图象上两点，
∴y 1=x 12+4x 1−5，y 2=x 22+4x 2−5，
∴y 1+y 2=x 12+x 22+4(x 1+x 2)−10，
∵x 1+x 2=2，
∴x 2=2−x 1，y 1+y 2=x 12+x 22−2，
∴y 1+y 2=x 12+(2−x 1)2−2=2x 12−4x 1+2=2(x 1−1)2，
∵点A ，B 是图象上两点，
∴x 1≠x 2≠1，
∴y 1+y 2=2(x 1−1)2>0．
【解析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，偶次方的非负性，待定系数法求函数解析式．
(1)将(1,0)、(0,−5)代入函数解析式求解．
(2)由抛物线解析式及x 1+x 2=2，可得y 1+y 2=2(x 1−1)2>0．
27.【答案】解：(1)C ；
(2)过点M 作MQ ⊥AB 交BA 的延长线于点Q ，
∵点P 是线段MN 的“勾股点”，
∴∠MPN =90°，
∴∠QPM =∠BNP ，
又∵∠Q =∠B =90°，
∴△QPM∽△BNP ，
∴QP BN =QM
BP
，
∴3 BN =√3
3
，
∴BN=3√3；
(3)当0<BN<5√3
3
且BN≠√3或BN=5√3时，线段MN恰好有两个“勾股点”．
【解析】
【分析】
本题是四边形综合题，考查了新定义“勾股点”，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确理解并运用新定义是解题的关键．
(1)，过点M作MQ⊥AB交BA的延长线于点Q，过点O作OE⊥BC，垂足为E，过点M作MF⊥BC于点F，连接AC，证明△ABC≌△ADC(SSS)，得出∠D=∠B=90°，由勾股定理求出AC=10，证明
OE//MF，得出ON
OM =NE
EF
，则可得出结论；
(2)过点M作MQ⊥AB交BA的延长线于点Q，证明△QPM∽△BNP，由相似三角形的性质可得出
QP BN =QM
BP
，则可得出答案；
(3)由题意画出图形，根据圆周角定理及直角三角形的性质可得出答案．
【解答】
解：(1)如图1，过点M作MQ⊥AB交BA的延长线于点Q，过点O作OE⊥BC，垂足为E，过点M作MF⊥BC于点F，连接AC，
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠D=∠B=90°，
∵AD=5，DC=5√3，
∴AC=√AD2+CD2=√52+(5√3)2=10，
∴∠DAC=∠BAC=60°，∠DCA=∠BCA=30°，
∴∠DAC=∠BAC=∠QAM=60°，∠DCA=∠BCA=∠QMA=30°，∴QA=1，QM=√3，
∵MQ⊥AB，OE⊥BC，∠B=90°，
∴四边形MQBF是矩形，
∴MF=QB=AB+QA=5+1=6，
∵MF⊥CB，OE⊥BC，
∴OE//MF，
∴ON OM =NE
EF
，
∵OM=ON，
∴NE=EF，
∴OE=1
2
MF=3，
故选：C；
(2)见答案;
(3)①如图，以MN为直径的圆经过点A时，此时线段MN恰好有两个“勾股点”，
∵∠NAM=∠D=90°，
∴AN//CD，
∴∠C=∠BNA=60°，
∴BN=5√3
3
，
如图，当BN=√3时，线段MN有一个“勾股点”，
∴当0<BN<5√3
且BN≠√3时，线段MN恰好有两个“勾股点”；
3
②如图，当以MN为直径的圆经过点C和D时，此时线段MN恰好有两个“勾股点”，
∴BN=BC=5√3．
且BN≠√3或BN=5√3时，线段MN恰好有两个“勾股点”．综上所述，当0<BN<5√3
3
且BN≠√3或BN=5√3时，线段MN恰好有两个“勾股点”．故答案为：当0<BN<5√3
3。