【万能解题模型】18 圆中常考基本模型(课件)中考数学

切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条 割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
如图，已知 PB，PD 是⊙O 的两条割线，分别与⊙O 交于 A，B， C，D 四点，PT 是圆的切线，则有 PT2＝PC·PD＝PA·PB.
8．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，以 CB 为半径作⊙C， 交 AC 于点 D，交 AC 的延长线于点 E，连接 BD，BE.
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△BDE 的面积为 4
．
证明：∵四边形 ABCD 内接于⊙O， ∴∠ABC＋∠ADC＝180°. ∵∠ABC＝60°，∴∠ADC＝120°. ∵DB 平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB＝60°. ∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°. ∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC. ∴△ABC 是等边三角形．
A．20° B．40° C．60° D．80°
模型 5 相交弦定理
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘 积相等．如图，已知⊙O，弦 AB，CD 相交于点 M，则 AM·BM＝CM·DM.
7．如图，已知 BC 是⊙O 的直径，AH⊥BC，垂足为 D，点 A 为 B︵F的中点，BF 交 AD 于点 E，且 BE·EF＝32，AD＝6.
2．如图，△ABC 的外角∠BAM 的平分线与它的外接圆相交于点 E，连接 BE，CE，过点 E 作 EF∥BC，交 CM 于点 D.求证：
(1)BE＝CE. (2)EF 为⊙O 的切线．
证明：(1)∵四边形 ACBE 是圆内接四边形， ∴∠EAM＝∠EBC. ∵AE 平分∠BAM， ∴∠BAE＝∠EAM. ∵∠BAE＝∠BCE， ∴∠BCE＝∠EAM. ∴∠BCE＝∠EBC. ∴BE＝CE.
(2)连接 EO 并延长交 BC 于点 H，连接 OB，OC， ∵OB＝OC，EB＝EC， ∴直线 EO 垂直平分 BC.∴EH⊥BC. ∵EF∥BC，∴EH⊥EF. ∵OE 是⊙O 的半径， ∴EF 为⊙O 的切线．
3．如图，AB 是⊙O 的直径，Q 在 BC 的延长线上，且∠PCQ＝ ∠PCA，P 为圆上一点，连接 PA，PB.
(1)求证：AE＝BE. (2)DE 的长为 2 ．
证明：连接 AB. ∵A 是B︵F的中点，∴B︵A＝A︵F. ∵AH⊥BC，BC 为⊙O 的直径， ∴A︵B＝B︵H. ∴A︵F＝B︵H. ∴∠ABF＝∠BAH. ∴AE＝BE.
模型 6 切割线定理
切割线定理：圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线 与圆交点的两条线段长的比例中项．
如图，等边△ABC 内接于⊙O，P 为⊙O 上一点，连接 PA，PB，PC. 结论：PB＋PC＝PA. 证明：延长 PB 至点 D，使 BD＝PC，连接 AD. 在△ABD 和△ACP 中， AB＝AC，
∠ABD＝∠ACP， BD＝CP，
∴△ABD≌△ACP(SAS)． ∴AD＝AP. ∴∠DAB＝∠PAC. ∴△ADP 为等边三角形，PB＋PC＝PA. 结论延伸：S 四边形 ABPC＝S . 等边△APD
在△PAD 和△PBC 中， ∠PAD＝∠PBC， AD＝BC，
∴△PAD≌△PBC(SAS)． ∴PD＝PC，∠APD＝∠BPC. ∴∠CPD＝∠BPD＋∠BPC＝∠BPD＋∠APD＝90°， 即△PCD 是等腰直角三角形． ∴AC－BC＝CD＝ 2PC. ∴AC－BC＝ 2.
PC
模型 3 等边三角形与圆
(1)求证：PA＝PB. (2)求ACP－CBC的值．
解：(1)在⊙O 中有∠PAB＋∠PCB＝180°， 又∵∠PCQ＋∠PCB＝180°， ∴∠PAB＝∠PCQ. ∵∠PCA＝∠PBA，∠PCQ＝∠PCA， ∴∠PAB＝∠PBA. ∴PA＝PB.
(2)在 AC 边上截取 AD＝BC，连接 PD， PA＝PB，
模型 4 弦切角定理
(1)顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． (2)弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一 半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 如图，∠MBD＝∠MAB＝21∠MOB.
6．如图，CD 是⊙O 的切线，T 为切点，A 是T︵B上的一点．若∠TAB ＝100°，则∠BTD 的度数为( D )
∵DC＝CH，∠CDH＝60°，
∴△DCH 是等边三角形．
∵S 四边形 ADBC＝S△ADC＋S△BDC
＝S△BH C＋S△BDC ＝S△CDH ＝
3CD2， 4
∴S＝ 43x2.
5．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠ABC＝60°，对角线 BD 平分 ∠ADC.
(1)求证：△ABC 是等边三角形． (2)过点 B 作 BE∥CD 交 DA 的延长线于点 E，若 AD＝2，DC＝3，则
(2)∵AB∶BC＝4∶3， ∴设 AB＝4a，BC＝3a， 则在 Rt△ABC 中， AC＝ AB2＋BC2＝5a. ∵BC＝CD＝3a， ∴AD＝AC－CD＝2a.
由(1)可知：△ABD∽△AEB， ∴BBDE＝AADB＝12. 在 Rt△DBE 中，tan E＝BBDE＝12.
4．如图，⊙O 为等边△ABC 的外接圆，半径为 2，点 D 在A︵B上 运动(不与点 A，B 重合)，连接 DA，DB，DC.
(1)求证：DC 是∠ADB 的平分线． (2)四边形 ADBC 的面积 S 是线段 DC 的长 x 的函数吗？如果是， 求出函数解析式；如果不是，请说明理由．
解：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°. ∵∠ADC＝∠ABC，∠BDC＝∠BAC， ∴∠ADC＝∠BDC. ∴DC 是∠ADB 的平分线．
(2)四边形 ADBC 的面积 S 是线段 DC 的长 x 的函数，理由如下： 将△ADC 绕点 C 逆时针旋转 60°，得到△BHC， ∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC. ∵四边形 ACBD 是圆内接四边形， ∴∠DAC＋∠DBC＝180°. ∴∠DBC＋∠HBC＝180°. ∴点 D，B，H 三点共线．
万能解题题型18 圆中常考基本模型
模型 1 构造直径所对的圆周角
1．如图，AB 是半圆的直径，C，D 是半圆上的两点，∠ADC＝106°， 则∠CAB 等于( C )
A．10° B．14° C．16° D．26°
模型 2 圆内接三角形与外角平分线
如图，CD 平分△ABC 的外角交外接圆于点 D. 结论：AD＝BD. 证明：∵∠DCE＝∠DAB，∠DCA＝∠DBA， 又∵CD 平分∠AC)求证：△ABD∽△AEB. (2)当ABCB＝43时，求 tan E 的值．
解：(1)证明：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD＝90°－∠DBC. 由题意知：DE 是⊙C 的直径， ∴∠DBE＝90°. ∴∠E＝90°－∠BDE. ∵BC＝CD， ∴∠DBC＝∠BDE.∴∠ABD＝∠E. ∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△AEB.