高中数学 电子题库 第二章 3.13.2知能演练轻松闯关 北

高中数学 电子题库 第二章 3.1-3.2知能演练轻松闯关 北师
大版必修4
1.(2012·宿州质检)式子4(a －b )－3(a ＋b )－b 等于( ) A ．a －2b B ．a C ．a －6b D ．a －8b 解析：选D.原式＝4a －4b －3a －3b －b ＝a －8b .
2.如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，λ，μ是实数，那么下列说法中不正确的是( )
①λe 1＋μe 2可以表示平面α内的所有向量；
②若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2
＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)；
③若实数λ≠0，λe 1＋e 2与e 2不共线． A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．②
解析：选D.由平面向量基本定理可知，①③正确．对于②，当两向量均为零向量，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，λ有无穷多个．
3.若向量方程2x －3(x －2a )＝0，则向量x 等于________． 解析：原方程可化为－x ＋6a ＝0，即x ＝6a . 答案：6a
4.(2012·南阳调研)已知向量a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1－6e 2，c ＝－3e 1＋12e 2，则用b ，c 表示a ＝________．
解析：a ＝m b ＋n c ，
∴－e 1＋3e 2＝m (4e 1－6e 2)＋n (－3e 1＋12e 2)，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧4m －3n ＝－1，
－6m ＋12n ＝3，解得⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝－110，
n ＝15
. ∴a ＝－110b ＋1
5c .
答案：－110b ＋1
5
c
[A 级 基础达标]
1.已知实数m ，n 和向量a ，b ，有下列说法： ①m (a －b )＝m a －m b ； ②(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b ，则a ＝b ；
④若m a ＝n a (a ≠0)，则m ＝n . 其中，正确的说法是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④
解析：选B.当m ＝0时，m a ＝m b ＝0，但a 与b 不一定相等，故③不正确．
2.(2012·铜川质检)设O 为平行四边形ABCD 的对称中心，AB →＝4e 1，BC →
＝6e 2，则2e 1－3e 2等于( )
A.OA →
B.OB →
C.OC →
D.OD →
解析：选B.如图，OB →＝12
DB →
＝12
(AB →－BC →) ＝2e 1－3e 2.
3.对于向量a ，b 有下列表示： ①a ＝2e ，b ＝－2e ；
②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2；
③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－1
10
e 2；
④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2.
其中，向量a ，b 一定共线的有( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④
解析：选A.对于①，a ＝－b ；对于②，a ＝－1
2
b ；对于③，a ＝4b ；对于④，若a ＝λb (λ≠0)，
则e 1＋e 2＝λ(2e 1－2e 2)，即(1－2λ)e 1＋(1＋2λ)e 2＝0，所以1－2λ＝1＋2λ＝0，λ＝0，矛盾，故④中a 与b 不共线．
4.(2012·安康调研)设a ，b 是两个非零不共线向量，若8a －k b 与－k a ＋b 共线，则实数k 值为________．
解析：由条件知，8a －k b ＝λ(－k a ＋b )， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧8＝－λk ，－k ＝λ，∴k 2＝8，解得k ＝±2 2. 答案：±2 2
5.如图，已知E ，F 分别是矩形ABCD 的边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →
＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示AG →
等于________．
解析：连结BD 交AC 于O (图略)，则O 为AC 中点，G 为OC 中点，∴AG ＝3
4
AC .
∴AG →＝34AC →＝34(AB →＋AD →)＝3
4(a ＋b )＝34a ＋34b .
答案：34a ＋34
b
6.计算：(1)3(6a ＋b )－9⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a ＋13
b ；
(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（3a ＋2b ）－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a . 解：(1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a .
(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋32b －a －3
4
b
＝a ＋34b －a －3
4
b ＝0.
(3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .
[B 级 能力提升]
7.(2012·咸阳质检)已知平面内有一点P 及一个△ABC ，若PA →＋PB →＋PC →＝AB →
，则( ) A ．点P 在△ABC 外部 B ．点P 在线段AB 上 C ．点P 在线段BC 上 D ．点P 在线段AC 上
解析：选D.∵PA →＋PB →＋PC →＝AB →
， ∴PA →＋PB →＋PC →－AB →
＝0， ∴PA →＋PB →＋BA →＋PC →
＝0， ∴PA →＋PA →＋PC →
＝0， ∴2PA →＝CP →
，∴点P 在线段AC 上．
8.已知向量a ，b 不共线，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b ，且A ，B ，C 三点共线，则关于
实数λ1，λ2一定成立的关系式为( )
A ．λ1＝λ2＝1
B ．λ1＝λ2＝－1
C ．λ1λ2＝1
D ．λ1＋λ2＝1 解析：选C.∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB →＝kAC →
(k ≠0)．
∴λ1a ＋b ＝k (a ＋λ2b )＝k a ＋kλ2b . 又∵a ，b 不共线． ∴⎩
⎪⎨⎪⎧λ1＝k ，1＝k λ2.∴λ1λ2＝1.
9.(2012·宝鸡质检)如图，在△ABC 中，AB →＝a ，BC →
＝b ，AD 为BC 边的中线，G 为△ABC
的重心，以a ，b 为一组基底表示向量AG →
＝________．
解析：∵D 是BC 的中点，G 是重心， ∴AG →＝23AD →＝23(AB →＋BD →)＝23(AB →＋12BC →)
＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝23a ＋13
b . 答案：23a ＋13b
10.如图，△ABC 中，点D 是AC 中点，点E 是BD 中点，设BA →＝a ，BC →＝c ，
(1)用a ，c 表示向量AE →
；
(2)若点F 在AC 上，且BF →＝1
5
a ＋
4
5
c ，求AF ∶CF . 解：(1)∵AC →＝BC →－BA →
＝c －a ， ∴AD →＝12AC →＝1
2(c －a )，
∴AE →＝12(AB →＋AD →)
＝12AB →＋12AD → ＝－12a ＋14(c －a )＝14c －34a .
(2)设AF →＝λAC →， ∴BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋λAC → ＝a ＋λ(c －a ) ＝(1－λ)a ＋λc .
又BF →＝15a ＋4
5c ，∴λ＝45，
∴AF →＝45
AC →
，∴AF ∶CF ＝4∶1.
11.(创新题)已知e 1、e 2为平面γ的基底，对于非零向量p 、q ，如果存在不全为零的实常数α、β使得αp ＋βq ＝0，那么称向量p 、q 是线性相关的，否则称向量p 、q 是线性无关的．对于平面γ内两个向量a ＝3e 1－4e 2，b ＝e 1＋e 2，试判断向量a 、b 是线性相关的还是线性无关的，为什么？
解：假设存在不全为零的常数α、β(α、β∈R )， 满足αa ＋β·b ＝0，
则α(3e 1－4e 2)＋β(e 1＋e 2)＝0， 即(3α＋β)e 1＋(－4α＋β)e 2＝0.
∵e 1、e 2为平面γ的基底，即e 1、e 2是不共线的， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3α＋β＝0－4α＋β＝0
，解得α＝β＝0. ∴不存在不全为零的常数α、β，使得αa ＋βb ＝0(a ≠0，b ≠0)，故a 、b 线性无关．。