位似图形

议一议☞
观察下图中的五个图，回答下列问题：
（1）在各图中，位似图形的位似中心与这两个图形有什么位置关 系？
位似中心可以在两个图形的同侧，或两个图形之间，或 图形内还可以在一个图形的边上或顶点.
议一议☞
观察下图中的五个图，回答下列问题：
（2）在各图中，任意一对对应点到位似中心的距离比与位似比有 什么关系？
( 4 , 6 ) 或（-4 ，-6） ( 4 , 2)或（-4，-2）
点B的对应点B′的坐标为____________
( 12 , 4 )或（-12，-4） 点C的对应点C′的坐标为____________
例题.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐标
分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个 以原点O为位似中心,相似比为1/2的位似图形. y
若△ABC∽△DEF， 那么，它们位似吗？ 位似中心在哪儿呢？
E B
A D F C
你能得到的是正立放大的“像”、 正立缩小的“像”、倒立缩小的“像” 吗？
P
得到的是倒立放大的“像”
思考：位似图形有何性质？
判断下面的正方形是不是位似图形？
A D
不是
E （1） B C F G
显然，位似图形是相似图形的特殊情形.相 似图形不一定是位似图形，可位似图形一定 是相似图形
下面请欣赏如下图形的变换
☞ 观察与思考
下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形 A′B′C′D′都是相似图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边 形各对应点的连线有什么特征？对应边有何位置关系？
概念与性质
1．位似图形的概念
如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的
直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似
1:2
A’ A B O C B’
C’
图形与画法
O D
1．如图，已知△ABC和点O.以O为位 似中心，求作△ABC的位似图形，并把 △ABC的边长扩大到原来的两倍. E B F C A
D O
C
B
F E
A
利用位似可以把一个图形放大或缩小 如果把位似图形放到直角体系中，又如何 去探究位似变换与坐标之间的关系呢？
图形,这个点叫做位似中心.这时两个相似图形的
相似比又叫做它们的位似比. 对应线段的比 相似
对应点的连线交于一点
• 作出下列位似图形的位似中心：
O
.
.
O
请指出下列图形那些是位似图形？
并指出位似图形图的位似中心?
o
它 们是相似图形， 但不是位似图 形？
Why?
P
D
5 2
A
2.5
4
B
3
C
6
E
这幅图的位似中心在 哪儿?位似比是多少?
B A
D
E
C
解：（1） ∆ADE和 ∆ABC是位似图形.理由是：
因为 DE∥BC，所以∠ADE＝∠B， ∠AED ＝∠C. 所以∆ADE∽ ∆ABC.
又因为 点A是∆ADE和 ∆ABC的公共点，点D和点B 是对应点，点E和点C是对应点，直线BD与CE交于 点A，所以∆ADE和 ∆ABC是位似图形.
如图，D，E分别AB，AC上的点.
A
（1）如果DE∥BC，那么∆ADE和 ∆ABC是位似图形吗？为什么？ （2）如果∆ADE和 ∆ABC是位似图 形，那么DE∥BC吗？为什么？ 解：（2） DE∥BC.理由是： 因为 ∆ADE和 ∆ABC是位似图形， 所以 ∆ADE∽ ∆ABC
B
D
E
C
所以 ∠ADE＝∠B
所以 DE∥BC.
课堂小结 一、定义及性质： 二、位似图形的画法： 1.画出基本图形 2.选取位似中心 3.根据条件确定对应点，并描出对应点 4.顺次连结各对应点，所成的图形就是 所求的图形 三、位似变换与坐标的关系： 在平面直角坐标系中，如果位似变换 是以原点为位似中心，相似比为k， 那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k
A
D
A′
B
D′ B′
C
C′
o
x
A′( -3,3 ), B′( -4,1 ), C′( -2,0 ), D′( -1,2 ) 你还有其他办法吗?试试看.
练一练:
如图表示△AOB和把它缩小后得到的△COD,写出它们的 相似比 y
A
C
o
D
B
x
如图，D，E分别AB，AC上的点. （1）如果DE∥BC，那么∆ADE和 ∆
• 位似图形的概念： 如果两个图形不仅形状相同,而且所在的直线都 经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比. • 位似图形的性质： 1.位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质 2.位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离 之比等于对应边的比(位似比) 3.位似图形中的对应线段平行（或在一条直线上）.
E
①
F
.C
A
.D
②
③
④
⑤
P
B
回顾与反思
1. 前面我们已经学习了图形的哪些变换？ 平移：平移的方向,平移的距离. 轴对称：对称轴, 旋转：（中心对称）旋转中心,旋转方向,旋转角度. 相似：相似比.
注：图形这些不同的变换是我们学习几何必不可少的重要 工具,它不但装点了我们的生活,而且是学习后续知识的基础.
位似变换与坐标
A′(2,1), B′(2,0)
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原 点O为位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小. y
A
A'
x o
B'
B
观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以 原点O为位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小.
我们学过的图形变换有：平移，轴对称，旋转，位似。
（1）平移： 上下移：横坐标不变，纵坐标随之平移 左右移：纵坐标不变，横坐标随之平移 （2）轴对称 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数 （3）旋转 绕原点旋转180度（中心对称）：横坐标、纵坐标都 互为相反数 （4）位似 以原点为位似中心，相似比为k：位似图形对应点的 坐标的比等于k或-k
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都 等于对应边的比（位似比）.
概念与性质
2. 位似图形的性质 （1）位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质
（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的 距离之比都等于对应边的比（相似比）.
（3）位似图形中的对应线段平行（或在一条直线上）.
• 若△ABC与△A’B’C’的相似比为：1:2，则OA：OA’= （ ）。
y A′(2,1),B′(2,0)
A
A〞(-2,-1),B〞(-2,0)
A' B〞 o A〞 观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现? B'
B
x
在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位 似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的 比等于k或-k.
归纳：
在平面直角坐标系中， 如果位似变换是以原点为位似中心， 相似比为k， 那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k
例如：点A(x,y)的对应点为A’，则A’点的 坐标可以这样确定 x =x ×k , y =y ×k 即A’（kx,ky）
A’ A A' A
或
x =x ×(-k) ，y =y ×(-k) 即A’（-kx,A’ A A' A
ky）
△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)， B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相 似比为2，将△ABC放大， 点A的对应点A′的坐标为____________