2018年高考物理一轮复习资料 专题8.3 带电粒子在匀强磁场中的运动教学案 含解析

1.掌握带电粒子在混合场中的运动规律
2.解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题
一、带电粒子在混合场中的运动
1．速度选择器 正交的匀强磁场和匀强电场组成速度选择器。

带电粒子必须以唯一确定的速度（包括大小、方向）才能匀速（或者说沿直线）通过速度选择器。

否则将发生偏转。

这个速度的大小可以由洛伦兹力和电场力的平衡得出：qvB=Eq ，
B E v 。

在本图中，速度方向必须向右。

（1）这个结论与离子带何种电荷、电荷多少都无关。

（2）若速度小于这一速度，电场力将大于洛伦兹力，带电粒子向电场力方向偏转，电场力做正功，动能将增大，洛伦兹力也将增大，粒子的轨迹既不是抛物线，也不是圆，而是一条复杂曲线；若大于这一速度，将向洛伦兹力方向偏转，电场力将做负功，动能将减小，洛伦兹力也将减小，轨迹是一条复杂曲线。

2．回旋加速器
回旋加速器是高考考查的的重点内容之一，但很多同学往往对这类问题似是而非，认识不深，甚至束手无策、，因此在学习过程中，尤其是高三复习过程中应引起重视。

（1）有关物理学史知识和回旋加速器的基本结构和原理
1932年美国物理学家应用了带电粒子在磁场中运动的特点发明了回旋加速器，其原理如图所示。

A 0处带正电的粒子源发出带正电的粒子以速度v 0垂直进入匀强磁场，在磁场中匀速转动半个周期，到达A 1时，在A 1 A 1/处造成向上的电场，粒子被加速，速率由v 0增加到v 1，
然后粒子以v 1在磁场中匀速转动半个周期，到达A 2/时，在A 2/ A 2处造成向下的电场，粒子又一次被加速，速率由v 1增加到v 2，如此继续下去，每当粒子经过A A /的交界面时都是它被加速，从而速度不断地增加。

带电粒子在磁场中作匀速圆周运动的周期为qB T ｍπ2=
，为达到不
断加速的目的，只要在A A /上加上周期也为T 的交变电压就可以了。

即T 电=
qB T ｍ
π2=
实际应用中，回旋加速是用两个D 形金属盒做外壳，两个D 形金属盒分别充当交流电源的两极，同时金属盒对带电粒子可起到静电屏蔽作用，金属盒可以屏蔽外界电场，盒内电场很弱，这样才能保证粒子在盒内只受磁场力作用而做匀速圆周运动。

（2）带电粒子在D 形金属盒内运动的轨道半径是不等距分布的
设粒子的质量为m ，电荷量为q ，两D 形金属盒间的加速电压为U ，匀强磁场的磁感应强度为B ，粒子第一次进入D 形金属盒Ⅱ，被电场加速1次，以后每次进入D 形金属盒Ⅱ都要被电场加速2次。

粒子第n 次进入D 形金属盒Ⅱ时，已经被加速（2n -1）次。

由动能定理得（2n －1）qU =２１
Mv n 2。

……①
第n 次进入D 形金属盒Ⅱ后，由牛顿第二定律得qv n B =m
n n
r v 2 …… ②
由①②两式得ｒn =qB qU n m )12(2- ……③
同理可得第n +1次进入D 形金属盒Ⅱ时的轨道半径r n+1=qB qU n m
)12(2+ ……④
所以带电粒子在D 形金属盒内任意两个相邻的圆形轨道半径之比为12121
+-=+n n r r n n ，可见带电粒子在D 形金属盒内运动时，轨道是不等距分布的，越靠近D 形金属盒的边缘，相邻两轨道的间距越小。

（3）带电粒子在回旋加速器内运动，决定其最终能量的因素
由于D 形金属盒的大小一定，所以不管粒子的大小及带电量如何，粒子最终从加速器内
设出时应具有相同的旋转半径。

由牛顿第二定律得qv n B =m n n
r v 2……①
和动量大小存在定量关系 m v n =kn mE 2…… ②
由①②两式得E k n =m r B q n 22
22……③
可见，粒子获得的能量与回旋加速器的直径有关，直径越大，粒子获得的能量就越大。

（4）决定带电粒子在回旋加速器内运动时间长短的因素
带电粒子在回旋加速器内运动时间长短，与带电粒子做匀速圆周运动的周期有关，同时还与带电粒在磁场中转动的圈数有关。

设带电粒子在磁场中转动的圈数为n ，加速电压为U 。

因每加速一次粒子获得能量为qU ，每圈有两次加速。

结合E k n =m r B q n 2222知，2nqU =m r B q n 22
22，
因此n =m U r qB n 422 。

所以带电粒子在回旋加速器内运动时间t =nT =m U r qB n 422.qB m π2=U Br n
22π。

3．带电微粒在重力、电场力、磁场力共同作用下的运动
（1）带电微粒在三个场共同作用下做匀速圆周运动。

必然是电场力和重力平衡，而洛伦兹力充当向心力。

高频考点一 带电粒子在磁场中运动的多解问题
例1．如图8所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是它的两条边界．现有质量为m 、电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能从边界NN ′射出，求粒子入射速率v 的最大值可能是多少．
图8
答案 (2＋2)Bqd m
(q 为正电荷)或 (2－2)Bqd m
(q 为负电荷)
【变式探究】 (多选)长为l 的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图10所示．磁感应强度为B ，板间距离也为l ，极板不带电．现有质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )
图10
A ．使粒子的速度v <Bql 4m
B ．使粒子的速度v >5Bql 4m
C ．使粒子的速度v >Bql m
D ．使粒子的速度Bql 4m <v <5Bql 4m
答案 AB
解析 若带电粒子刚好打在极板右边缘，有r 21＝(r 1－l 2)2＋l 2，又因r 1＝mv 1Bq ，解得v 1＝5Bql 4m
；若粒子刚好打在极板左边缘时，有r 2＝l 4＝mv 2Bq ，解得v 2＝Bql 4m
，故A 、B 正确． 【举一反三】某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图11所示．装置的长为L ，上、
下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B 、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d .装置右端有一收集板，M 、N 、P 为板上的三点，M 位于轴线OO ′上，N 、P 分别位于下方磁场的上、下边界上．在纸面内，质量为m 、电荷量为－q 的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P 点．改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置．不计粒子的重力．
图11
(1)求磁场区域的宽度h ；
(2)欲使粒子到达收集板的位置从P 点移到N 点，求粒子入射速度的最小变化量Δv ；
(3)欲使粒子到达M 点，求粒子入射速度大小的可能值．
答案 (1)(23L －3d )(1－32) (2)qB m (L 6－34
d ) (3)qB m (L n ＋1－3d )(1≤n <3L 3d
－1，n 取整数)
(2)设改变入射速度后粒子在磁场中的轨迹半径为r ′，洛伦兹力提供向心力，则有
m v 2
r ＝qvB ，m v ′2r ′
＝qv ′B ， 由题意知3r sin 30°＝4r ′sin 30°，
解得粒子速度的最小变化量Δv ＝v －v ′＝qB m (L 6－34
d ) (3)设粒子经过上方磁场n 次
由题意知L ＝(2n ＋2)d cos 30°＋(2n ＋2)r n sin 30°
且m v 2n r n ＝qv n B ，解得v n ＝qB m (L n ＋1－3d )(1≤n <3L 3d
－1，n 取整数) 【方法技巧】求解带电粒子在磁场中运动的多解问题的技巧
1．分析题目特点，确定题目多解性形成原因．
2．作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)．
3．若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件．
高频考点二带电粒子在有界磁场中的临界极值问题
例2．(2015·四川理综·7)(多选)如图15所示，S处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN垂直于纸面，在纸面内的长度L＝9.1 cm，中点O与S间的距离d＝4.55 cm，MN与直线SO的夹角为θ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B＝2.0×10－4 T．电子质量m＝9.1×10－31 kg，电荷量e＝－1.6×10－19 C，不计电子重力．电子源发射速度v＝1.6×106m/s的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为l，则()
图15
A．θ＝90°时，l＝9.1 cm B．θ＝60°时，l＝9.1 cm
C．θ＝45°时，l＝4.55 cm D．θ＝30°时，l＝4.55 cm
答案AD
【变式探究】(多选)如图16所示，在y 轴右侧存在与xOy 平面垂直且范围足够大的匀强磁场，磁感应强度的大小为B ，位于坐标原点的粒子源在xOy 平面内发射出大量完全相同的带负电粒子，所有粒子的初速度大小均为v 0，方向与x 轴正方向的夹角分布在－60°～60°范围内，在x ＝l 处垂直x 轴放置一荧光屏S .已知沿x 轴正方向发射的粒子经过了荧光屏S 上y ＝－l 的点，则( )
图16
A ．粒子的比荷为q m ＝v 0lB
B ．粒子的运动半径一定等于2l
C ．粒子在磁场中运动时间一定不超过πl v 0
D ．粒子打在荧光屏S 上亮线的长度大于2l
答案 AC
【举一反三】如图17所示，在半径为R ＝mv 0Bq
的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，圆形区域右侧有一竖直感光板，圆弧顶点P 有一速度为v 0的带正电粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为m ，电荷量为q ，粒子重力不计．
图17
(1)若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间；
(2)若粒子对准圆心射入，且速率为3v 0，求它打到感光板上时速度的垂直分量；
(3)若粒子以速度v 0从P 点以任意角射入，试证明它离开磁场后均垂直打在感光板上．
答案 (1)πm 2Bq (2)32
v 0 (3)见解析
解析 (1)设带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r ，由牛顿第二定律得Bqv 0＝m v 2
0r
r ＝R
带电粒子在磁场中的运动轨迹为四分之一圆周，轨迹对应的圆心角为π2
，如图甲所示，则
t ＝π2R v 0＝πm 2Bq
(2)由(1)知，当v ＝3v 0时，带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为3R ，其运动轨迹如图乙所示，
由几何关系可知∠PO 2O ＝∠OO 2J ＝30°，所以带电粒子离开磁场时偏转角为60°.v ⊥＝v sin
60°＝32
v 0
【方法技巧】解决带电粒子的临界问题的技巧方法
以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径r 和速度v (或磁感应强度B )之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，如：
1．刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，据此可以确定速度、
磁感应强度、轨迹半径、磁场区域面积等方面的极值．
2．当速度v 一定时，弧长(或弦长)越大，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长(前提条件为弧是劣弧)．
3．当速率变化时，圆心角大的，运动时间长．
4．在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时(所有的弦长中直径最长)，轨迹对应的偏转角最大．
1．【2016·全国卷Ⅱ】一圆筒处于磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图所示．图中直径MN 的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动．在该截面内，一带电粒子从小孔M 射入筒内，射入时的运动方向与MN 成30°角．当筒转过90°时，该粒子恰好从小孔N 飞出圆筒．不计重力．若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为( )
图1­
A.ω3B
B.ω2B
C.ωB
D.2ωB
2．【2016·全国卷Ⅲ】平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图1­所示，平面OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量
为m ，电荷量为q (q >0)．粒子沿纸面以大小为v 的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到两平面交线O 的距离为( )
图1­
A.mv 2qB
B.3mv qB
C.2mv qB
D.4mv qB
3．【2016·北京卷】如图1­所示，质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，以初速度v 沿垂直磁场方向射入磁感应强度为B 的匀强磁场，在磁场中做匀速圆周运动．不计带电粒子所受重力．
(1)求粒子做匀速圆周运动的半径R 和周期T ；
(2)为使该粒子做匀速直线运动，还需要同时存在一个与磁场方向垂直的匀强电场，求电场强度E 的大小．
图1­ 【答案】(1)mv qB 2πm qB
(2)vB
【解析】(1)洛伦兹力提供向心力，有f ＝qvB ＝m v 2
R
带电粒子做匀速圆周运动的半径R ＝mv
qB
匀速圆周运动的周期T ＝2πR v ＝2πm
qB
.
(2)粒子受电场力F ＝qE ，洛伦兹力f ＝qvB .粒子做匀速直线运动，则 qE ＝qvB
场强E 的大小E ＝vB .
4．【2016·四川卷】如图1­所示，正六边形abcdef 区域内有垂直于纸面的匀强磁场．一带正电的粒子从f 点沿fd 方向射入磁场区域，当速度大小为v b 时，从b 点离开磁场，在磁场中运动的时间为t b ，当速度大小为v c 时，从c 点离开磁场，在磁场中运动的时间为t c ，不计粒子重力．则( )
图1­
A ．v b ∶v c ＝1∶2，t b ∶t c ＝2∶1
B ．v b ∶v c ＝2∶1，t b ∶t c ＝1∶2
C ．v b ∶v c ＝2∶1，t b ∶t c ＝2∶1
D ．v b ∶v c ＝1∶2，t b ∶t c ＝1∶2
1.【2015·重庆·1】题1图中曲线a 、b 、c 、d 为气泡室中某放射物质发生衰变放出的部分粒子的经迹，气泡室中磁感应强度方向垂直纸面向里。

以下判断可能正确的是
A．a、b为β粒子的经迹B．a、b为γ粒子的经迹
C．c、d为α粒子的经迹D．c、d为β粒子的经迹
【答案】D
【解析】
γ射线是不带电的光子流，在磁场中不偏转，故选项B错误。

α粒子为氦核带正电，
由左手定则知受到向上的洛伦兹力向上偏转，故选项A、C错误；β
粒子是带负电的电子流，
应向下偏转，选项D正确。

故选D。

2．(多选)(2015·全国卷Ⅱ)有两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ中的磁感应强度是Ⅱ中的k倍。

两个速率相同的电子分别在两磁场区域做圆周运动。

与Ⅰ中运动的电子相比，Ⅱ中的电子() A．运动轨迹的半径是Ⅰ中的k倍
B．加速度的大小是Ⅰ中的k倍
C．做圆周运动的周期是Ⅰ中的k倍
D．做圆周运动的角速度与Ⅰ中的相等
1.(2014·江苏卷，14)某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图4所示。

装置的长为L，上、下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d。

装置右端有一收集板，M、N、P为板上的三点，M位于轴线OO′上，N、P分别位于下方磁场的上、下边界上。

在纸面内，质量为m、电荷量为－q的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点。

改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置。

不计粒子的重力。

图4
(1) 求磁场区域的宽度h ；
(2)欲使粒子到达收集板的位置从P 点移到N 点，求粒子入射速度的最小变化量Δv ； (3)欲使粒子到达M 点，求粒子入射速度大小的可能值。

解析 (1)设粒子在磁场中的轨道半径为r ，画出带电粒子的运动轨迹如图所示。

由几何关系得L ＝3r sin 30°＋3·d
2/tan 30°①
又由h ＝r (1－cos 30°)②
联立①②解得：h ＝(23L －3d )(1－3
2
)③
答案 (1)(23L －3d )(1－3
2)
(2)qB m (L 6－3
4
d ) (3)qB m (L n ＋1－3d )(1≤n ＜3L 3d
－1，n 取整数) 2.(2014·山东卷，24)如图6甲所示，间距为d 、垂直于纸面的两平行板P 、Q 间存在匀强磁场。

取垂直于纸面向里为磁场的正方向，磁感应强度随时间的变化规律如图乙所示。

t ＝0时刻，一质量为m 、带电荷量为＋q 的粒子(不计重力)，以初速度v 0由Q 板左端靠近板面的位置，沿垂直于磁场且平行于板面的方向射入磁场区。

当B 0和T B 取某些特定值时，可使t ＝0时刻入射的粒子经Δt 时间恰能垂直打在P 板上(不考虑粒子反弹)。

上述m 、q 、d 、v 0为已知量。

图6
(1)若Δt ＝1
2
T B ，求B 0；
(2)若Δt ＝3
2T B ，求粒子在磁场中运动时加速度的大小；
(3)若B 0＝4mv 0
qd
，为使粒子仍能垂直打在P 板上，求T B 。

(3)设粒子做圆周运动的半径为R ，周期为T ，由圆周运动公式得T ＝2πR
v 0⑦
由牛顿第二定律得qv 0B 0＝mv 20
R
⑧
由题意知B 0＝4mv 0
qd ，代入⑧式得d ＝4R ⑨
粒子在1个T B 内的运动轨迹如图所示，
O 1、O 2为圆心，O 1O 2连线与水平方向的夹角为θ，在每个T B 内，只有A 、B 两个位置才有可能垂直击中P 板，且均要求0<θ<π
2
，由题意可知
π2＋θ2π
T ＝T B
2⑩
设经历完整T B 的个数为n (n ＝0,1,2,3，…) 若在A 点击中P 板，据题意由几何关系得 R ＋2(R ＋R sin θ)n ＝d ⑪ 当n ＝0时，无解⑫
当n ＝1时，联立⑨⑪式得θ＝π6(或sin θ＝1
2)⑬
联立⑦⑨⑩⑬式得T B ＝πd
3v 0
⑭
答案 (1)mv 0qd (2)3v 20
d
(3)见解析
3．(2014·广东卷，36)如图5所示，足够大的平行挡板A 1、A 2竖直放置，间距6 L ，两板间存在两个方向相反的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，以水平面MN 为理想分界面。

Ⅰ区的磁感应强度为B 0，方向垂直纸面向外。

A 1、A 2上各有位置正对的小孔S 1、S 2，两孔与分界面MN 的距离为L 、质量为m 、电量为＋q 的粒子经宽度为d 的匀强电场由静止加速后，沿水平方向从S 1进入Ⅰ区，并直接偏转到MN 上的P 点，再进入Ⅱ区、P 点与A 1板的距离是L 的k 倍。

不计重力，碰到挡板的粒子不予考虑。

图5
(1)若k ＝1，求匀强电场的电场强度E;
(2)若2<k <3，且粒子沿水平方向从S 2射出，求出粒子在磁场中的速度大小v 与k 的关系式和Ⅱ区的磁感应强度B 与k 的关系式。

解析 (1)若k ＝1，则有MP ＝L ，① 即该情况粒子的轨迹半径为R ＝L ，②
粒子做匀速圆周运动，其向心力由洛伦兹力提供： qvB 0＝m v 2
R ③
v ＝qB 0R m
④
粒子在匀强电场中，据动能定理有： qEd ＝1
2
mv 2⑤
解得：E ＝qB 20L
2
2dm
⑥
据几何关系，由相似三角形得kL PQ 2＝R ′
r ⑪
又有qvB ＝m v 2
r
⑫
解得Ⅱ区磁场与k 关系为B ＝kB 0
3－k
⑬
答案 (1)qB 20L
2
2dm (2)v ＝qB 0 L ＋k 2L 2m B ＝kB 03－k
4．（2014·全国卷）如图，在第一象限存在匀强磁场，磁感应强度方向垂直于纸面(xy 平面)向外；在第四象限存在匀强电场，方向沿x 轴负向．在y 轴正半轴上某点以与x 轴正向平行、大小为v 0的速度发射出一带正电荷的粒子，该粒子在(d ，0)点沿垂直于x 轴的方向进入电场．不计重力．若该粒子离开电场时速度方向与y 轴负方向的夹角为θ，求：
(1)电场强度大小与磁感应强度大小的比值； (2)该粒子在电场中运动的时间． 【答案】 (1)12v 0tan 2θ (2)2d
v 0tan θ
设电场强度大小为E ，粒子进入电场后沿x 轴负方向的加速度大小为a x ，在电场中运动的时间为t ，离开电场时沿x 轴负方向的速度大小为v x .由牛顿定律及运动学公式得
Eq ＝ma x ③ v x ＝a x t ④ v x
2
t ＝d ⑤ 由于粒子在电场中做类平抛运动(如图)，有
tan θ＝v x
v 0
⑥
联立①②③④⑤⑥式得
E B ＝1
2
v 0tan 2 θ⑦ (2)联立⑤⑥式得
t ＝
2d
v 0tan θ⑧
5．(2014·重庆卷)如题9图所示，在无限长的竖直边界NS 和MT 间充满匀强电场，同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM 平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B 和2B ，KL 为上下磁场的水平分界线，在NS 和MT 边界上，距KL 高h 处分别有P 、Q 两点，NS 和MT 间距为1.8h ，质量为m ，带电荷量为＋q 的粒子从P 点垂直于NS 边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g .
题9图
(1)求电场强度的大小和方向．
(2)要使粒子不从NS 边界飞出，求粒子入射速度的最小值．
(3)若粒子能经过Q 点从MT 边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值． 【答案】 (1)E ＝
mg q ，方向竖直向上 (2) (9－62)qBh m (3)可能的速度有三个：0.68qBh m
，0.545qBh m ，0.52qBh
m
本题考查了带电粒子在复合场、组合场中的运动．
答题9图1 答题9图2 【解析】(1)设电场强度大小为E . 由题意有mg ＝qE
得E ＝mg
q
，方向竖直向上．
(2)如答题9图1所示，设粒子不从NS 边飞出的入射速度最小值为v min ，对应的粒子在上、下区域的运动半径分别为r 1和r 2，圆心的连线与NS 的夹角为φ. 由r ＝mv qB
有r 1＝mv min qB ，r 2＝12
r 1
由(r 1＋r 2)sin φ＝r 2 r 1＋r 1cos φ＝h v min ＝(9－62)qBh
m
6．（20
14·浙江卷）离子推进器是太空飞行器常用的动力系统．某种推进器设计的简化原理如图1所示，截面半径为R 的圆柱腔分为两个工作区．Ⅰ为电离区，将氙气电离获得1价正离子；Ⅱ为加速区，长度为L ，两端加有电压，形成轴向的匀强电场．Ⅰ区产生的正离子以接近0的初速度进入Ⅱ区，被加速后以速度v M 从右侧喷出．
Ⅰ区内有轴向的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，在离轴线R
2处的C 点持续射出一定速率范围
的电子．假设射出的电子仅在垂直于轴线的截面上运动，截面如图2所示(从左向右看)．电子的初速度方向与中心O 点和C 点的连线成α角(0＜α≤90°)．推进器工作时，向Ⅰ区注入稀薄的氙气．电子使氙气电离的最小速率为v 0，电子在Ⅰ区内不与器壁相碰且能到达的区域越大，电离效果越好．已知离子质量为M ；电子质量为m ，电量为e .(电子碰到器壁即被吸收，不考虑电子间的碰撞)
第25题图1
(1)求Ⅱ区的加速电压及离子的加速度大小；
(2)为取得好的电离效果，请判断Ⅰ区中的磁场方向(按图2说明是“垂直纸面向里”或“垂直
纸面向外”)；
第25题图2
(3)α为90°时，要取得好的电离效果，求射出的电子速率v 的范围； (4)要取得好的电离效果，求射出的电子最大速率v max 与α角的关系． 【答案】 v 2M
2L (2)垂直纸面向外 (3)v 0≤v ≤3eBR 4 m
(4)v max ＝
3eBR
4m （2－sin α）
(3)设电
子运动的最大半径为r 2r ＝3
2
R .⑤
eBv ＝m v 2
r
⑥
所以有v 0≤v <3eBR
4m
⑦
要使⑦式有解，磁感应强度B >4mv 0
3eR .⑧
(4)如图所示，OA ＝R －r ，OC ＝R
2
，AC ＝r
根据几何关系得r ＝3R
4（2－sin α）⑨
由⑥⑨式得v max ＝3eBR
4m （2－sin α）
.
1.（2013·福建卷）如图甲，空间存在一范围足够大的垂直于 xOy 平面向外的匀强磁场， 磁感应强度大小为B.让质量为m ，电量为q(q>0)的粒子从坐标原点O 沿 xOy 平面以不同的初速度大小和方向入射到该磁场中．不计重力和粒子间的影响．
(1)若粒子以初速度v 1沿 y 轴正向入射，恰好能经过 x 轴上的A (a ，0)点，求v 1的大小； (2)已知一粒子的初速度大小为v (v>v 1) ，为使该粒子能经过A (a ，0) 点，其入射角θ(粒子初速度与x 轴正向的夹角)有几个？并求出对应的 sin θ值；
(3)如图乙，若在此空间再加入沿 y 轴正向、大小为E 的匀强电场，一粒子从O 点以初速度v 0沿 y 轴正向发射．研究表明：粒子在 xOy 平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的 x 分量v x 与其所在位置的 y 坐标成正比，比例系数与场强大小E 无关．求该粒子运动过程中的最大速度值v m .
【解析】(1)带电粒子以速率v 在匀强磁场B 中做匀速圆周运动，半径为R ，有qvB ＝m v 2
R ①
当粒子沿y 轴正向入射，转过半个圆周至A 点，该圆周半径为R 1，有：R 1＝a
2②
由②代入①式得v 1＝
qBa
2m
(2)如图，O 、A 两点处于同一圆周上，且圆心在x ＝a
2的直线上，半径为R.当给定一个初速率
v 时，有2个入射角，分别在第1、2象限，有sin θ′＝sin θ＝a
2R ④
由①④式解得sin θ＝aqB
2mv
⑤
2.（2013·北京卷）如图所示，两平行金属板间距为d，电势差为U，板间电场可视为匀强电场；金属板下方有一磁感应强度为B的匀强磁场．带电量为＋q、质量为m的粒子，由静止开始从正极板出发，经电场加速后射出，并进入磁场做匀速圆周运动．忽略重力的影响，求：
(1)匀强电场场强E的大小；
(2)粒子从电场射出时速度v的大小；
(3)粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R.
3.（2013·江苏卷）在科学研究中，可以通过施加适当的电场和磁场来实现对带电粒子运动的控制．如图1所示的xOy平面处于匀强电场和匀强磁场中，电场强度E和磁感应强度B随时
间t 作周期性变化的图象如图2所示．x 轴正方向为E 的正方向，垂直纸面向里为B 的正方向．在坐标原点O 有一粒子P ，其质量和电荷量分别为m 和＋q.不计重力．在t ＝τ
2时刻释放P ，它
恰能沿一定轨道做往复运动．
(1)求P 在磁场中运动时速度的大小v 0； (2)求B 0 应满足的关系； (3)在t 0(0<t 0< τ
2
)时刻释放 P, 求P 速度为零时的坐标.
图1 图2
【解析】(1)τ
2～τ做匀加速直线运动，τ～2τ做匀速圆周运动
电场力F ＝QE 0 加速度a ＝F
m
速度v 0＝at ，且t ＝τ
2
解得v 0＝qE 0τ
2m
(2)只有当t ＝2τ时，P 在磁场中做圆周运动结束并开始沿x 轴负方向运动，才能沿一定轨道做往复运动，如图所示．设P 在磁场中做圆周运动的周期为T.
则⎝
⎛⎭⎫m －1
2T ＝τ，(n ＝1，2，3…) 匀速圆周运动qvB 0＝m v 2
r ，T ＝2πr v
解得B 0＝（2n －1）πm
q τ
，(n ＝1，2，3…)
相应的纵坐标为y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧2[kr 1－（k －1）r 2]
2k （r 1－r 2），(k ＝1，2，3…)
解得y ＝⎩⎨⎧2E 0
[k （τ－2t 0
）＋t 0
]
B
2kE 0
（τ－2t 0
）B
，(k ＝1，2，3…
)
4.（2013·重庆卷）如图所示，一段长方体形导电材料，左右两端面的边长都为a 和b ，内有带电量为q 的某种自由运动电荷．导电材料置于方向垂直于其前表面向里的匀强磁场中，内部磁感应强度大小为B.当通以从左到右的稳恒电流I 时，测得导电材料上、下表面之间的电压为U ，且上表面的电势比下表面的低．由此可得该导电材料单位体积内自由运动电荷数及自由运动电荷的正负分别为( ) A.IB |q|aU ，负 B.IB
|q|aU ，正 C.IB |q|bU ，负 D.IB |q|bU ，正 【答案】C
5.（2013·山东卷）如图所示，一质量m＝0.4 kg的小物块，以v0＝2 m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t＝2 s 的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L＝10 m．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ
＝
3
3.重力加速度g取10 m/s
2.
(1)求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小．
(2)拉力F与斜面夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？
【解析】(1)设物块加速度的大小为a，到达B点时速度的大小为v，由运动学公式得
L＝v0t＋1
2at
2①
v＝v0＋at②
联立①②式，代入数据得a＝3 m/s2③
v＝8 m/s④
1．一个重力不计的带电粒子垂直进入匀强磁场，在与磁场垂直的平面内做匀速圆周运动。

则下列能表示运动周期T 与半径R 之间的关系图像的是( )
解析：选D 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，qvB ＝m v 2R ⇒R ＝mv
qB ，由圆周运动规律，
T ＝2πR v ＝2πm
qB
，可见粒子运动周期与半径无关，故D 项正确。

2. (多选)如图3所示，垂直纸面向里的匀强磁场以MN 为边界，左侧磁感应强度为B 1，右侧磁感应强度为B 2，B 1＝2B 2＝2 T ，比荷为2×106 C/kg 的带正电粒子从O 点以v 0＝4×104 m/s 的速度垂直于MN 进入右侧的磁场区域，则粒子通过距离O 点4 cm 的磁场边界上的P 点所需的时间为( )。