【数学】湖北省荆州市江陵中学2013-2014学年高一下学期期中考试(理)

一、择题题 1.已知集合}023{},01
1
2{2>++-=>+-=x x x N x x x
M ,则M N =（ ）
A ．),1()1,(+∞--∞
B ．)1,21(
C ．),1(+∞
D ．),3
2
()1,(+∞---∞ 2.已知四个数2，a, b, 5 成等比数列，则等ab lg 于 ( ) A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
3.在ABC ∆中，60,B=A a b ︒
===则( )
A.45︒
B.135︒
C.45135︒︒
或 D.以上答案都不对
4.若
01
1<<b
a ，则下列不等式： ①
b a >；②ab b a >+；③2>+a b b a ；④b a b
a -<22
中，正确的不等式有（ ）
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
8.在△ABC 中，若(a 2
＋b 2
)sin(A －B )＝(a 2
－b 2
)sin C ，则△ABC 是 ( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
9．,A B 两地相距200m ，且A 地在B 地的正东方。

一人在A 地测得建筑C 在正北方，建
筑D 在北偏西60；在B 地测得建筑C 在北偏东45，建筑D 在北偏西15，则两建筑C 和
D 之间的距离为（ ）
A.
B. C
． D
．1)m 10.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ， 且
757
3
n n A n B n +=+，则使得n n a b 为整数的正整数n 的个数是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
二、填空题
16.(本题满分12分)设函数()f x a b =∙，其中向量(,cos ),(1sin ,1),a m x b x x R ==+∈，且()22
f π
=
（1）求实数m 的值；（2）求函数()f x 的最小值及此时x 的值.
17.(本题满分12分) 已知不等式2
520ax x +->的解集是M ． （1）若2M ∈，求a 的取值范围； （2）若{
}
1
22
M x x =<<，求不等式22510ax x a -+->的解集．
18．(本题满分12分)已知ABC ∆内接于单位圆，且2)tan 1)(tan 1(=++B A , (1)求角C (2)求ABC ∆面积的最大值.
19.（本题满分12分）设数列{}n a 满足1
112
3,2-+⋅+==n n n a a a .
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（2）令)1(+=n n a n b ，求数列{}n b 的前n 项和n S .
20.(本题满分13分)在ABC ∆中，已知9.AB AC ⋅= sin cos sin B A C =，面积6ABC S ∆=，
（1）求ABC ∆的三边的长c b a ,,；
（2）设P 是ABC ∆（不含边界）内的一点，P 到三边AC BC AB 、、 的距离分别是.x y z 、、
且+
=
①写出.x y z 、、所满足的等量关系； ②求y
x 1
2+的最小值.
b
C
理科参考答案
17.（1）∵2M ∈，∴2
25220a ⋅+⋅->，∴2a >- ………5分 （2）∵{
}
1
22M x
x =<<，∴1,22
是方程2520ax x +-=的两个根， ∴由韦达定理得15221222
a
a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩∴2a =- ………8分
∴不等式2
2
510ax x a -+->
即为：22530x x --+>其解集为{
}
1
32
x x -<<
． ………12分 18.由 得
…………6分
(2) ，
所以面积S ………………12分
或者S A) 或者数形结合
(2)1
2
3)1(-⨯=+=n n n n a n b
)2...232221(31210-⋅++⋅+⋅+⋅=∴n n n S
设1
2
1
2
...232221-⋅++⋅+⋅+⋅=n n x ①
n n n n x 22)1(...23222121321⋅+-++⋅+⋅+⋅=-②
①-②
n n n x 22...22211321⋅-+++++=-- n
n
n n n n ⋅-+-=⋅---+=-)1(122
1)21(211 12)1(+⋅-=∴n n x
12)1(3+⋅-=∴n n n S …………………………………12分
20.解（1）设ABC ∆中角ABC 所对边分别为a b c 、、 由sin cos sin B A C =得sin()cos sin A C A C +=
sin cos 0A C ∴= 2
C π∴=
又由9AB AC ⋅=得cos 9bc A =即2
9b = 3.b ∴= 又1
62
ABC S a b ∆=
⋅= 4a ∴= 又222c a b =+得5c = 即ABC ∆的三边长4,3,5a b c ===……………………6分
（2）①PAC PBC PAB ABC S S S S ∆∆∆∆++=得
111
3456222
x y z ⋅+⋅+⋅= 故34512x y z ++=……………………8分 ②因为点P 在角A 的平分线上，所以z x =
34512x y z ++=故)0,0(32>>=+y x y x ……………………10分
y x 12+
=3)45(31)1224(31)12)(2(31=+≥+++=++x y y x y x y x 当且仅当y x =
时上式取 “=”. …………………………………13分
21.（1）由121
)1)(12(113221
+=+++=+++=+n n n n n n n n a a a a a a a a ，
得)1(211+=++n n a a ，011≠+a }1{+∴n a 是等比数列。

………………………………………… 4分 （2）由n n a a ≥+1，而11=a ，1≥∴n a
n n n n a a m a a ≥+++∴1
322
，n n a a m 22--≥∴，………6分
1)1(2++-≥∴n a m 恒成立
1≥n a ，3122-=+-≥∴m ……………… 9分
（3）由（2）得当13-<≤m 时，0,1>∴≥+n n n a a a ， 设1
)1(211
1
321
11,112211-+++=
++++=+=∴+=
++m a a a m a a a c a c n n n n n n n n n
01,1<-∴<m m ，故n n n n n c a a a c 21
)1(21)
1(212
1=+=++>
+ )2(2
1
212121,21111122111≥=>>>>∴=+=
---n c c c c a c n n n n n )2(2112
11)
21
1(2
12121212132321≥-=--=+++>+++∴n c c c c n n n n 即12111111112
n n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥-+++……………………………………14分。